第二章-航天器的轨道与轨道力学课件.ppt

1、第二章第二章 航天器的轨道与轨道力学航天器的轨道与轨道力学 “1642“1642年圣诞节，在柯斯特沃斯河畔的沃尔索普庄年圣诞节，在柯斯特沃斯河畔的沃尔索普庄园，诞生了一个非常瘦小的男孩。如同孩子的母亲后来园，诞生了一个非常瘦小的男孩。如同孩子的母亲后来告诉他的那样，出生时他小得几乎可以放进一只一夸脱告诉他的那样，出生时他小得几乎可以放进一只一夸脱的杯子里，瘦弱得必须用一个软垫围着脖子来支起他的的杯子里，瘦弱得必须用一个软垫围着脖子来支起他的头。这个不幸的孩子在教区记事录上登记的名字是头。这个不幸的孩子在教区记事录上登记的名字是 伊伊萨克和汉纳萨克和汉纳牛顿之子伊萨克牛顿之子伊萨克 。虽然没有什

2、么贤人哲。虽然没有什么贤人哲士盛赞这一天的记录，然而这个孩子却将要改变全世界士盛赞这一天的记录，然而这个孩子却将要改变全世界的思想和习惯。的思想和习惯。” 牛顿牛顿2.1 2.1 航天器轨道的基本定律航天器轨道的基本定律 如果说如果说16421642年的圣诞节迎来了理性的时代年的圣诞节迎来了理性的时代, , 那么完那么完全是由于有两个人为大约全是由于有两个人为大约5050年后年后牛顿牛顿最伟大的发现奠定最伟大的发现奠定了基础。一个是了基础。一个是第谷第谷布拉赫布拉赫, , 他几十年如一日他几十年如一日, ,极为细极为细致地收集和记录了行星精确位置的大量数据；另一个是致地收集和记录了行星精确位置

3、的大量数据；另一个是约翰约翰开普勒，他以其极具的耐心和天赋的数学才能，揭开普勒，他以其极具的耐心和天赋的数学才能，揭示了隐藏在第谷的观测数据背后的秘密。这两人就是用示了隐藏在第谷的观测数据背后的秘密。这两人就是用肩膀托起牛顿的肩膀托起牛顿的“巨人巨人”。 第谷布拉赫第谷布拉赫约翰开普勒约翰开普勒2.1.1 2.1.1 开普勒定律开普勒定律1 1第一定律第一定律椭圆律椭圆律 每个行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的每个行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。一个焦点上。因此，行星在运行过程中，离太阳的距离是变化的，离因此，行星在运行过程中，离太阳的距离是变化的，离太阳最近的一点为

4、近日点，离太阳最远的一点为远日点，太阳最近的一点为近日点，离太阳最远的一点为远日点，如图如图2 21 1所示。所示。 2 2第二定律第二定律面积律面积律 由太阳到行星的矢径在相等的时间间隔内扫过相等的由太阳到行星的矢径在相等的时间间隔内扫过相等的面积。面积。 在图所示中，在图所示中，S S1,1,S S2 2,S,S3 3,S,S4 4,S,S5 5,S,S6 6, ,分别表示行星运行到分别表示行星运行到t t1 1,t,t2 2,t,t3 3,t,t4 4,t,t5 5,t,t6 6, , 时刻的位置。如果从时刻的位置。如果从S S1 1到到S S2 2的时间间的时间间隔和隔和S S3 3到

5、到S S4 4 ， S S5 5到到S S6 6的时间间隔相等，则矢径扫过的面的时间间隔相等，则矢径扫过的面积积S S1 1OSOS2, 2, S S3 3OSOS4, 4, S S5 5OSOS6 6也都相等，可表示为也都相等，可表示为 dA/dt=dA/dt=常量常量开普勒第二定律 开普勒第二定律 式中，式中， dA/dtdA/dt表示单位时间内矢径扫过的面积，叫表示单位时间内矢径扫过的面积，叫做做面积速度面积速度。 为了保持面积速度相等，行星在近日点附近运行的为了保持面积速度相等，行星在近日点附近运行的路程路程 S S1 1S S2 2较长，速度相应地要快些；在远日点附近运行较长，速度相

6、应地要快些；在远日点附近运行的路程的路程S S5 5S S6 6较短，因而速度相应地要慢些。这种变化规较短，因而速度相应地要慢些。这种变化规律，叫做律，叫做面积速度守恒面积速度守恒。 3 3第三定律第三定律周期律周期律 行星绕太阳公转的周期行星绕太阳公转的周期T T的平方与椭圆轨道的长半径的平方与椭圆轨道的长半径a a的立方成正比。即的立方成正比。即 a a3 3/T/T2 2=K=K它说明，行星椭圆轨道的长半径越大，周期就越长，而它说明，行星椭圆轨道的长半径越大，周期就越长，而且周期仅取决于长半径。且周期仅取决于长半径。图23 开普勒第三定律图图2 23 3表示表示3 3种不同椭圆度的轨道，

7、它们的长半径都种不同椭圆度的轨道，它们的长半径都相等，周期也就相同相等，周期也就相同。2.1.2 2.1.2 牛顿定律牛顿定律 第一运动定律第一运动定律 任一物体将保持其静止或是匀速直线运任一物体将保持其静止或是匀速直线运动的状态，除非有作用在物体上的力强迫其改变这种状动的状态，除非有作用在物体上的力强迫其改变这种状态。态。第二运动定律第二运动定律 动量变化速率与作用力成正比，且与作动量变化速率与作用力成正比，且与作用力的方向相同。用力的方向相同。 第三运动定律第三运动定律 对每一个作用，总存在一个大小相等的对每一个作用，总存在一个大小相等的反作用。反作用。 万有引力定律：万有引力定律： 任何

8、两个物体间均有一个相互吸引的力，这个力与任何两个物体间均有一个相互吸引的力，这个力与它们的质量乘积成正比，与两物体间距离的平方成反比。它们的质量乘积成正比，与两物体间距离的平方成反比。数学上可以用矢量形式把这一定律表示为数学上可以用矢量形式把这一定律表示为 2gGMmrrrF 式中，式中， F Fg g为由于质量引起的作用在质量为由于质量引起的作用在质量m m上的力矢量；上的力矢量；r r为从到为从到m m的距离矢量。万有引力常数的距离矢量。万有引力常数G G的值为的值为 G G =6=66706701010-13-13 N Ncmcm2 2g g2 2。2.2 2.2 二体轨道力学和运动方程

9、二体轨道力学和运动方程 2.2.1 N2.2.1 N体问题体问题 为不失一般性，假定存在某个合适的惯性坐标系，为不失一般性，假定存在某个合适的惯性坐标系，在该坐标系内，在该坐标系内，n n个质量的位置分别为个质量的位置分别为 . .此系此系统如图统如图2.42.4所示。所示。 12,nr rr 由牛顿万有引力定律得出，由牛顿万有引力定律得出， 作用在作用在 上的力上的力 为为 (2.5)(2.5)式中式中 (2.6)(2.6)作用在第作用在第i i个物体上的所有引力的矢量和个物体上的所有引力的矢量和 为为 (2.7)(2.7)nmimgnF 3()ingnniniGm mrFr niinrr

10、r gF1()njgijijjij imGmrFr 图图2.42.4中所示的其他外力中所示的其他外力 ，包括阻力、推力、太阳辐，包括阻力、推力、太阳辐射压力、由于非球形造成的摄动力等。作用在第射压力、由于非球形造成的摄动力等。作用在第i i个物体个物体上的合力称为上的合力称为 ，其表达式为，其表达式为 (2.8) (2.8) (2.9) (2.9) 现在应用牛顿第二运动定律现在应用牛顿第二运动定律 (2.10)(2.10) F其他F总gFFF总其他FFFFF其他阻力推力太阳压力干扰()iidmdtvF总把对时间的导数展开，得到把对时间的导数展开，得到 (2.11)(2.11)如前所述，物体可能

11、不断排出某些质量以产生推力。在如前所述，物体可能不断排出某些质量以产生推力。在这种情况下，式这种情况下，式(2.11)(2.11)中的第二项就不等于零。某些与中的第二项就不等于零。某些与相对论有关的效应也会导致质量相对论有关的效应也会导致质量 随时间变化。式随时间变化。式(2.11)(2.11)各项除以各项除以 ，就得出第，就得出第 i i个物体的一般运动方程个物体的一般运动方程为为 (2.12)(2.12) iiiiddmmdtdtvvF总imimiiiiimmmFrr总im 方程式方程式(2.12)(2.12)是一个二阶非线性矢量微分方程，这种是一个二阶非线性矢量微分方程，这种形式的微分方

12、程是很难求解的。假定第形式的微分方程是很难求解的。假定第i i个物体的质量保个物体的质量保持不变（即无动力飞行，持不变（即无动力飞行， =0=0），同时还假定阻力和其），同时还假定阻力和其他外力也不存在。这样，惟一存在的力为引力，于是方他外力也不存在。这样，惟一存在的力为引力，于是方程式程式(2.12)(2.12)简化成简化成 (2.13)(2.13) im 31()njijijjij imGrrr 不失一般性，假定不失一般性，假定 为一个绕地球运行的航天器，为一个绕地球运行的航天器， 为地为地球，而余下的球，而余下的 可以是月球、太阳和其他行星。可以是月球、太阳和其他行星。于是对于是对i=1

13、i=1的情况，写出方程式的情况，写出方程式(2.13)(2.13)的具体形式，得到的具体形式，得到 (2.14)(2.14)对对i=2i=2的情况，方程式的情况，方程式(2.13)(2.13)变成变成 (2.15)(2.15)2m1m34,nm mm11321()njjjjmGrrr 223122()njjjjjmGrrr 根据式根据式(2.6)(2.6)，有，有 (2.16)(2.16)于是有于是有 (2.17)(2.17)将式将式(2(214)14)和和(2(215)15)代人式代人式(2(217)17)得到得到 (2.18)(2.18) 因为因为 ，所以，所以 (2.19) (2.19)

14、 2112rr r 2112rr r 21213321122()()jjjjjjnnjjjGGmmrrrrr1221rr 1221213332121213)()()(jjjnjjjG mmGmrrrrrrr 为了进一步简化这一方程，需要确定摄动影响与航为了进一步简化这一方程，需要确定摄动影响与航天器和地球间的引力相比有多大。表天器和地球间的引力相比有多大。表2 21 1 列出了一个高列出了一个高度为度为370 km370 km的航天器的各相对加速度的航天器的各相对加速度( (不是摄动加速度不是摄动加速度) )，同时还列出了地球的非球形同时还列出了地球的非球形( (偏状偏状) )造成的影响，以供

15、比造成的影响，以供比较。较。 分析表分析表2 21 1中的数据容易中的数据容易看出，围绕地球运行的航天器看出，围绕地球运行的航天器受到地球的引力占有主导地位，受到地球的引力占有主导地位，因此进一步简化运动方程式因此进一步简化运动方程式(2(219)19)，简化，简化N N体问题是可能体问题是可能和合理的。和合理的。 表表2.12.1 首先，作两个简化假设：首先，作两个简化假设： (1)(1)物体为球对称的，这样就可以把物体看作质量集物体为球对称的，这样就可以把物体看作质量集中在其中心。中在其中心。 (2)(2)除了沿两物体中心连线作用的引力外，没有其他除了沿两物体中心连线作用的引力外，没有其他

16、外力和内力作用。外力和内力作用。 其次，确定一个惯性坐标系其次，确定一个惯性坐标系( (无加速度的和无转动的无加速度的和无转动的坐标系坐标系) )以便测量物体的运动状态。牛顿描述惯性坐标系以便测量物体的运动状态。牛顿描述惯性坐标系时说：此坐标系固定在绝对空间内，时说：此坐标系固定在绝对空间内，“按其本质来说，按其本质来说，它与外界无任何关系，永远保持那样并且不动它与外界无任何关系，永远保持那样并且不动”。2.2.2 二体问题和运动方程二体问题和运动方程 考虑质量分别为考虑质量分别为M M和和m m的两个物体构成的系统，如图的两个物体构成的系统，如图2 25 5所示。设所示。设 为惯性坐标系，为

17、惯性坐标系，OXYZOXYZ为原点在质为原点在质量为量为M M的物体质心上的不转动的，且与的物体质心上的不转动的，且与 平行的平行的坐标系。物体坐标系。物体M M和和m m在坐标系内的位置矢量分别为在坐标系内的位置矢量分别为 和和 ，并定义并定义 现在，在惯性坐标系现在，在惯性坐标系 内可以应用牛顿定律，内可以应用牛顿定律，O X Y ZO X Y ZMrmrmMr rrO X Y Z得到得到 即即 得得 （2.202.20）2mmGMmrrrr 2MMGMmrrrr3mGMrrr 3MGmrrr3()mMG Mmrr rrr 方程式方程式(2(220)20)为二体问题相对运动的矢量微分方程。

18、为二体问题相对运动的矢量微分方程。 考虑到实际情况有考虑到实际情况有 为了方便和具有一般性，称为了方便和具有一般性，称M M为中心引力体，定义引力参为中心引力体，定义引力参数数 。 于是式于是式(2(220)20)变为变为 (2(221) 21) 此即为二体运动方程。对不同的中心引力体，此即为二体运动方程。对不同的中心引力体， 的值不的值不同。对于地球，同。对于地球， ； 对于太阳，对于太阳， ()G MmGM30rrr3323.986 012 10/kmsGM11321.327 154 10/kms2.2.3 轨道运动常数轨道运动常数 1 1机械能守恒机械能守恒 用用 与式与式(2(221)

19、21)作点乘，且作点乘，且 , , ,得到得到 因为由矢量运算法则因为由矢量运算法则 ，故，故 并且注意到并且注意到 和和 r vr vr330rrr rrrv vr r a aa a 30vvrrr2()2dvvvdt 2()drdtrr故故 更具一般性地，上式可以写为更具一般性地，上式可以写为 式中，式中，c c为任意常数。由此，下式定义的量必为常数：为任意常数。由此，下式定义的量必为常数： 称为比机械能。称为比机械能。2()02dvdtr2()02dvcdtr 2()=2vcr常数 于是，可以得出结论：当卫星沿着轨道运行时，卫于是，可以得出结论：当卫星沿着轨道运行时，卫星的比机械能星的比

20、机械能 ( (即单位质量的动能和单位质量的势能即单位质量的动能和单位质量的势能之和之和) )既不增加，也不减少，而是保持常值。既不增加，也不减少，而是保持常值。 的表达式的表达式为为 (2(223)23) 22vr2 2角动量守恒角动量守恒 用用 叉乘式叉乘式(2(221)21)，得到，得到 因为因为 总是成立，故上式左边第二项为零，得总是成立，故上式左边第二项为零，得 注意到注意到 所以有所以有 或或矢量矢量 必定为一运动常数，简记为必定为一运动常数，简记为 ，称作比角动，称作比角动量。至此已经证明了航天器的比角动量量。至此已经证明了航天器的比角动量 沿着其轨道为沿着其轨道为一常数，一常数，

21、 的表达式为的表达式为 r30rr rrr 0a a 0r r ()ddtr rr rr r ()0ddtr r()0ddtr vr vhhh (2(224) 24) 因为因为 为为 和和 的矢量叉积，因此，它必定与包含的矢量叉积，因此，它必定与包含 和和 的平面正交。但的平面正交。但 为一恒定矢量，所以为一恒定矢量，所以 和和 必定必定总在同一平面内。由此可以证明航天器的运动必定限制总在同一平面内。由此可以证明航天器的运动必定限制于一个在空间固定的平面内，称为于一个在空间固定的平面内，称为轨道平面轨道平面。轨道平面。轨道平面具有定向性。具有定向性。hr v hhrvrvrv2.3.1 轨道的

22、几何方程轨道的几何方程 将方程式将方程式(2(221)21)两边同时与两边同时与h h叉乘，有叉乘，有 (2(226)26)考虑到考虑到h h守恒和矢量运算规则守恒和矢量运算规则 及及 , , 所以所以 2.3 航天器轨道的几何特性航天器轨道的几何特性 33rrr hr hh r ()()()a bcb a ca b c rrr r ()ddtr hr h r hr h 于是，可以将式于是，可以将式(2(226)26)改写为改写为 两边积分得两边积分得 这里这里B B是积分常矢量。用是积分常矢量。用r r点乘该式就得到标量方程点乘该式就得到标量方程 ()()dddtdt rrr hrrr hB

23、 rrr r hrr B 显然，轨道的几何方程是一个圆锥曲线的极坐标方显然，轨道的几何方程是一个圆锥曲线的极坐标方程，中心引力体质心即为极坐标的原点，位于一焦点上，程，中心引力体质心即为极坐标的原点，位于一焦点上，极角极角v v为为r r与圆锥曲线上离焦点最近的一点与焦点连线间与圆锥曲线上离焦点最近的一点与焦点连线间的夹角，常数的夹角，常数p p称为称为“半正焦弦半正焦弦”，常数，常数e e称为称为“偏心偏心率率”，它确定了方程式，它确定了方程式(2(228)28)表示的圆锥曲线的类型，表示的圆锥曲线的类型，如图如图2 27 7所示。所示。 (1) (1)圆锥曲线族圆锥曲线族( (圆、椭圆、抛

24、物线、双曲线圆、椭圆、抛物线、双曲线) )为二体问为二体问题中的航天器惟一可能的运动轨道。题中的航天器惟一可能的运动轨道。 (2)(2)中心引力体中心必定为圆锥曲线轨道的一个焦点。中心引力体中心必定为圆锥曲线轨道的一个焦点。 (3)(3)当航天器沿着圆锥曲线轨道运动时，其比机械能当航天器沿着圆锥曲线轨道运动时，其比机械能( (单单位质量的动能和势能之和位质量的动能和势能之和) )保持不变。保持不变。 (4)(4)航天器绕中心引力体运动，当航天器绕中心引力体运动，当r r和和v v沿轨道变化时，沿轨道变化时，比角动量比角动量h h保持不变。保持不变。 (5)(5)轨道运动总是处在一个固定于惯性空

25、间的平面内。轨道运动总是处在一个固定于惯性空间的平面内。 至此，可以把航天器的轨道运动总结如下：至此，可以把航天器的轨道运动总结如下：航天器的轨道航天器的轨道 第一宇宙速度第一宇宙速度 第二宇宙速度第二宇宙速度V1V1V22.3.2 轨道的几何性质轨道的几何性质 1 1圆锥曲线轨道的几何参数圆锥曲线轨道的几何参数 圆锥曲线轨道包括圆、椭圆、抛物线和双曲线圆锥曲线轨道包括圆、椭圆、抛物线和双曲线4 4种类型种类型的轨道。图的轨道。图2 28 8给出了各种圆锥曲线轨道共同的一些几给出了各种圆锥曲线轨道共同的一些几何参数和关系。何参数和关系。 图图2 28 8 圆锥曲线共同的几何参数圆锥曲线共同的几

26、何参数 除了抛物线之外，所有的圆锥曲线均有偏心率除了抛物线之外，所有的圆锥曲线均有偏心率 (2(229)29)和和 (2(230)30)cea2(1)pae2 2轨道的近拱点和远拱点轨道的近拱点和远拱点 轨道长轴的两个端点称为拱点，离主焦点近的称为轨道长轴的两个端点称为拱点，离主焦点近的称为近拱点，离主焦点远的称为远拱点。近拱点，离主焦点远的称为远拱点。 主焦点至近拱点或远拱点主焦点至近拱点或远拱点( (若存在的话若存在的话) )的距离，只的距离，只须在极坐标圆锥曲线的一般方程式须在极坐标圆锥曲线的一般方程式(2(228)28)中以中以v=0v=0o o或或v=180v=180o代入即可求得。

27、于是对任何圆锥曲线有代入即可求得。于是对任何圆锥曲线有 近拱点近拱点远拱点远拱点将式将式(2(230)30)代人上两式即得代人上两式即得 max1cos180pprrre近拱min1cos0pprrre近拱min1cos0pprremax1cos0aprre (2.31)(2.31) (2.32) (2.32) 另外，在任何圆锥曲线轨道的近拱点或远拱点另外，在任何圆锥曲线轨道的近拱点或远拱点( (若存若存在在) )处，总有处，总有 所以作为方程式所以作为方程式 (2(225)25)的一个特殊的一个特殊情况，可以写出情况，可以写出 (2.33)(2.33)式中式中 , , ,分别为两个拱点的速度

28、分别为两个拱点的速度 rv(1)1ppraee(1)1apraeeppaahr vr vpvavppaavvvv3 3轨道形状与比机械能轨道形状与比机械能 对近拱点写出航天器的能量方程式对近拱点写出航天器的能量方程式(2(223)23)，并将式，并将式(2(233)33)代人其中，得代人其中，得 根据方程式根据方程式(2(230)30)和和 有有 因此因此由此得由此得 (2(234) 34) 22222ppvhrrr2/ph22(1)hae222(1)2(1)(1)aeaeae2a 对所有圆锥曲线轨道均成立的这个简单的关系式表对所有圆锥曲线轨道均成立的这个简单的关系式表明，轨道的长半轴明，轨道

29、的长半轴a a仅与航天器的比机械能仅与航天器的比机械能 有关。进一有关。进一步说，步说， 仅与轨道上任一点的仅与轨道上任一点的r r和和v v有关，即有关，即 圆和椭圆轨道：圆和椭圆轨道：aOaO， 航天器的比机械能航天器的比机械能 OO； 抛物线轨道：抛物线轨道： a=a=，航天器的比机械能，航天器的比机械能 =O=O； 双曲线轨道：双曲线轨道： aOa00。 因此，仅由航天器比机械能的符号就可以确定航天器因此，仅由航天器比机械能的符号就可以确定航天器处在哪种类型的圆锥曲线轨道内。处在哪种类型的圆锥曲线轨道内。 进一步地，由于进一步地，由于 以及式以及式(2.30)(2.30)和和(2.34

30、)(2.34)成成立，因此对任何圆锥曲线轨道均有立，因此对任何圆锥曲线轨道均有 (2(235)35) 可见，可见，h h单独决定了单独决定了p p，而，而 单独决定了单独决定了a a，它们共同决定，它们共同决定了了e e，即确定了圆锥曲线轨道的具体形状。考虑到，即确定了圆锥曲线轨道的具体形状。考虑到 且对于一般航天器而言，且对于一般航天器而言，rOrO，vOvO，所以航迹角，所以航迹角 (0 180(0 180o o) )的取值决定了的取值决定了h h的符号。的符号。 当当 9090o o时，即时，即hOhO时，时， 若若 OO，则，则e1e00，则，则e1e1，为双曲线轨道。，为双曲线轨道。

31、 2/ph2221hecoshrv 当当 =90=90o o，即，即h=Oh=O时，无论时，无论 取值如何，取值如何，e=1e=1。此时，。此时，航天器的轨道是一条通过中心引力体质心和航天器当前航天器的轨道是一条通过中心引力体质心和航天器当前位置的直线，也是一种退化的圆锥曲线。位置的直线，也是一种退化的圆锥曲线。 2.3.3 椭圆轨道椭圆轨道 太阳系所有行星的轨道和所有围绕天体运动的航天太阳系所有行星的轨道和所有围绕天体运动的航天器的轨道都是封闭曲线器的轨道都是封闭曲线椭圆。首先考察一下仅对椭椭圆。首先考察一下仅对椭圆轨道适用的几何特性，然后再推导航天器沿椭圆轨道圆轨道适用的几何特性，然后再推

32、导航天器沿椭圆轨道运动的周期和速度。运动的周期和速度。 图图2.92.9显示了椭圆可用两根大头针和一个棉线圈画出显示了椭圆可用两根大头针和一个棉线圈画出的方法，以及椭圆轨道参数之间的关系。的方法，以及椭圆轨道参数之间的关系。 观察可知，椭圆上任何一点到两个焦点的距离之和恒满观察可知，椭圆上任何一点到两个焦点的距离之和恒满足足 并且椭圆轨道近拱点半径并且椭圆轨道近拱点半径 和远拱点半径和远拱点半径 与椭圆的与椭圆的几何参数之间有如下关系：几何参数之间有如下关系： (2(236)36) (2 (237)37)可得可得 (2(238)38)若将椭圆的短半轴记作若将椭圆的短半轴记作b b，则有，则有

33、(2(239)39) 2rraprar2aprra2aprrcapaprrcearr222abc 接着考察椭圆轨道周期。接着考察椭圆轨道周期。 由图由图2.102.10可以看到，航天器速度的水平分量为可以看到，航天器速度的水平分量为 ，也可以写成也可以写成 ，根据方程式，根据方程式(2(225)25)，可将航天器的比角，可将航天器的比角动量表示为动量表示为 即即 (2.40)(2.40) 由初等微积分知道，矢径转过一角度由初等微积分知道，矢径转过一角度 时，所扫过的时，所扫过的面积微元面积微元dAdA可由下式给出可由下式给出( (见图见图2 211)11) (2.41) (2.41)osvcr

34、v 2r dhdt2dtdAhd212dAr d于是，可以将式于是，可以将式(241)改写为改写为 (2.42) 对于任何给定的轨道，对于任何给定的轨道，h h为一常数，所以式为一常数，所以式(2(242)42)证明了开普勒第二定律：证明了开普勒第二定律：“相等的时间相等的时间间隔内矢径扫过的面积相等。间隔内矢径扫过的面积相等。”2dtdAh在一个轨道周期内，矢径扫过整个椭圆。对式在一个轨道周期内，矢径扫过整个椭圆。对式(2(242)42)在在一个周期内进行积分得出一个周期内进行积分得出 (2(243)43)这里这里 为整个椭圆的面积，为整个椭圆的面积，T T为周期。由式为周期。由式(2(23

35、9)39)、(2(229)29)和和(2(230)30)得到得到且且 ，所以，所以 (2(244)44)由此可见，椭圆轨道的周期仅与长半轴的大小有关。式由此可见，椭圆轨道的周期仅与长半轴的大小有关。式(2(244)44)也附带证明了开普勒第三定律：也附带证明了开普勒第三定律：“周期的平方与周期的平方与椭圆轨道长半轴的立方成正比椭圆轨道长半轴的立方成正比”。2 abThab2222(1)bacaeaphp3/22Ta 当航天器在椭圆轨道上距中心引力体距离为当航天器在椭圆轨道上距中心引力体距离为r r时，其时，其速度大小速度大小v v可由能量式可由能量式(2(223)23)和和(2(234)34)

36、求出，即求出，即可得可得 (2(245)45)速度方向沿椭圆该点切线方向，并与航天器运动方向一速度方向沿椭圆该点切线方向，并与航天器运动方向一致。致。22vr2a 112 ()2vra 2.3.4 2.3.4 圆轨道圆轨道 圆是椭圆的特殊情况，所以刚才推导出的用于椭圆圆是椭圆的特殊情况，所以刚才推导出的用于椭圆轨道的全部公式，包括周期和速度的公式都能用于圆轨轨道的全部公式，包括周期和速度的公式都能用于圆轨道。当然，圆轨道的长半轴道。当然，圆轨道的长半轴 就是半径，即就是半径，即 ，代，代入式入式(2(244)44)就得圆轨道周期为就得圆轨道周期为 (2(246)46) 航天器在圆周轨道上运行所

37、必须具备的速度叫做圆航天器在圆周轨道上运行所必须具备的速度叫做圆周速度。当然，航天器必须在所需的高度以水平方向发周速度。当然，航天器必须在所需的高度以水平方向发射，才能实现圆形轨道。这时所说的圆周速度，意味着射，才能实现圆形轨道。这时所说的圆周速度，意味着同时具有正确的大小和方向。在半径为同时具有正确的大小和方向。在半径为 的圆轨道上运的圆轨道上运行所需的速度大小行所需的速度大小 由式由式(2(245)45)得到得到( )( )： csrcsra3/22cscsTrcsrcsrra (2 (247)47) 可以看到，圆轨道的半径越大，航天器保持可以看到，圆轨道的半径越大，航天器保持在轨道上运行

38、所需的速度就越小。对于低高度的在轨道上运行所需的速度就越小。对于低高度的地球轨道，圆周速度约为地球轨道，圆周速度约为7 900 m7 900 ms s；而月球；而月球在其轨道上绕地球运行，其圆周速度仅需约在其轨道上绕地球运行，其圆周速度仅需约900 900 m ms s。航天器在圆轨道上的速度恒定不变。航天器在圆轨道上的速度恒定不变。cscsvr 2.3.5 抛物线轨道抛物线轨道 虽然某些彗星的轨道近似于抛物线，但在自然界中抛虽然某些彗星的轨道近似于抛物线，但在自然界中抛物线轨道是较为罕见的。抛物线轨道引起人们的兴趣，物线轨道是较为罕见的。抛物线轨道引起人们的兴趣，是因为它处在闭合轨道与非闭合

39、轨道的分界状态。物体是因为它处在闭合轨道与非闭合轨道的分界状态。物体以抛物线轨道运行，那么它将一去不复返地飞向无穷远以抛物线轨道运行，那么它将一去不复返地飞向无穷远处。当抛物线逐渐延伸时，其上下两支将越来越趋于平处。当抛物线逐渐延伸时，其上下两支将越来越趋于平行，而且由于行，而且由于e=1e=1，所以由式，所以由式(2(231)31)可得近拱点距离为可得近拱点距离为 当然，抛物线轨道不存在远拱点，它可以看作是一个当然，抛物线轨道不存在远拱点，它可以看作是一个“无限长的椭圆无限长的椭圆”。 2ppr 虽然，从理论上说，太阳或行星的引力场延伸以至虽然，从理论上说，太阳或行星的引力场延伸以至无穷远，

40、但其强度却随距离的增加迅速地减少，所以只无穷远，但其强度却随距离的增加迅速地减少，所以只须有限的动能就可克服引力的作用，使物体飞向无穷远须有限的动能就可克服引力的作用，使物体飞向无穷远而不再回来。能实现这一目的的最小速度称为逃逸速度。而不再回来。能实现这一目的的最小速度称为逃逸速度。在任一方向上，给航天器以逃逸速度，则它将沿着抛物在任一方向上，给航天器以逃逸速度，则它将沿着抛物线形的逃逸轨道运动。从理论上讲，当它与中心引力体线形的逃逸轨道运动。从理论上讲，当它与中心引力体间的距离接近无穷大时，它的速度将接近于零。对逃逸间的距离接近无穷大时，它的速度将接近于零。对逃逸轨道上不同的两点写出其能量方

41、程，即可推导出所需的轨道上不同的两点写出其能量方程，即可推导出所需的逃逸速度。逃逸速度。 首先，在离中心距离为首先，在离中心距离为r r的某点写出能量方程，该点的的某点写出能量方程，该点的“当地逃逸速度当地逃逸速度”为为 ；然后对无穷远点写出能量方程，；然后对无穷远点写出能量方程，无穷远点的速度无穷远点的速度 为零。由于能量不变，所以得到为零。由于能量不变，所以得到 由此得由此得 (2(248)48)escvv22022escvvrr2escvr 若航天器在无穷远点的速度为零若航天器在无穷远点的速度为零, ,则其比机械能则其比机械能必定为零。又因为必定为零。又因为 ，所以逃逸轨道的长半轴，所以

42、逃逸轨道的长半轴a“a“必须是无穷大，这证实了逃逸轨道确实是抛物线。必须是无穷大，这证实了逃逸轨道确实是抛物线。 正如预期的那样，离中心引力体越远正如预期的那样，离中心引力体越远(r(r越大越大) )则为了则为了逃逸出剩余引力场所需的速度就越小。地球表面的逃逸逃逸出剩余引力场所需的速度就越小。地球表面的逃逸速度为速度为1l 200 m1l 200 ms s，而地面上空，而地面上空3 400 km3 400 km处的逃逸速度处的逃逸速度仅需仅需7 900 m7 900 ms s。2a 2.3.6 双曲线轨道双曲线轨道 撞击地球的流星和从地球上发射的星际探测器，它们撞击地球的流星和从地球上发射的星

43、际探测器，它们相对于地球，都是按双曲线轨道飞行的。如果要航天器相对于地球，都是按双曲线轨道飞行的。如果要航天器在脱离了地球引力场后，还剩余一些速度，则它们必须在脱离了地球引力场后，还剩余一些速度，则它们必须按双曲线轨道飞行。按双曲线轨道飞行。 双曲线的两臂渐近于两条交叉的直线双曲线的两臂渐近于两条交叉的直线( (渐近线渐近线) )。若。若把左边的焦点把左边的焦点F F看作主焦点看作主焦点( (中心引力体质心位于此点中心引力体质心位于此点) )，那么只有左边的一支才是可能的轨道。反之，若航天器那么只有左边的一支才是可能的轨道。反之，若航天器和位于和位于F F的天体间有排斥力的天体间有排斥力( (

44、例如带有同种电荷的两个粒例如带有同种电荷的两个粒子间的力子间的力) )，则右边的一支代表了运行轨道。参数，则右边的一支代表了运行轨道。参数，b b和和c c都标在图都标在图2 21212上。显然，对双曲线有上。显然，对双曲线有 (2(249)49)222cab 若两渐近线间的夹角标为若两渐近线间的夹角标为 ，则它表示了航天器与，则它表示了航天器与行星相遇时，其轨道应拐过的角度。拐角行星相遇时，其轨道应拐过的角度。拐角 与双曲线的与双曲线的几何参数的关系为几何参数的关系为 (2(250)50)显然，双曲线的偏心率越大，拐角显然，双曲线的偏心率越大，拐角 越小。越小。1sin2ace因为比机械能沿

45、轨道保持不变，所以令熄火点处和无穷因为比机械能沿轨道保持不变，所以令熄火点处和无穷远处的比机械能相等，即远处的比机械能相等，即 (2(251)51)就可以得出就可以得出 (2(252)52)可见，若可见，若 为零，如同在抛物线轨道的情况，熄火点速为零，如同在抛物线轨道的情况，熄火点速度度 可就变为逃逸速度。可就变为逃逸速度。2222bobovvrr22222boboescbovvvvrbovv2.4.1 坐标系坐标系 描述轨道的第一步是找到合适的参考坐标系。选取描述轨道的第一步是找到合适的参考坐标系。选取的坐标系不同，则描述轨道的形式和复杂程度就有所不的坐标系不同，则描述轨道的形式和复杂程度就

46、有所不同，直接影响到轨道参数的直观程度和问题求解的难易。同，直接影响到轨道参数的直观程度和问题求解的难易。2.4 2.4 航天器的轨道描述航天器的轨道描述 1 1日心黄道坐标系日心黄道坐标系 正如该坐标系的名字所述正如该坐标系的名字所述, ,坐标系的原点在日心坐标系的原点在日心 ， - - 平面平面( (或称基准平面或称基准平面) )与黄道面一致。黄道面是地球与黄道面一致。黄道面是地球绕太阳运行的平面。黄道面与地球赤道面的交线，如图绕太阳运行的平面。黄道面与地球赤道面的交线，如图2 21414所示，确定为所示，确定为 轴的方向。在春季的第一天轴的方向。在春季的第一天( (春分春分点点) )，日

47、心和地心连线的指向为轴，日心和地心连线的指向为轴 的正向，此方向称为的正向，此方向称为春分点方向，天文学家以符号春分点方向，天文学家以符号 表示，因为它总是指向自表示，因为它总是指向自羊座方向。大家都知道，好多个世纪以来，地球在缓慢地羊座方向。大家都知道，好多个世纪以来，地球在缓慢地晃动，地球旋转轴的方向也有缓慢的漂移。这种现象称为晃动，地球旋转轴的方向也有缓慢的漂移。这种现象称为进动，它导致地球赤道平面和黄道平面交线的缓慢漂移。进动，它导致地球赤道平面和黄道平面交线的缓慢漂移。因此，日心黄道坐标系实际上并不是一个惯性参考系。若因此，日心黄道坐标系实际上并不是一个惯性参考系。若需要特别精确时，

48、就需要注明所用的需要特别精确时，就需要注明所用的 坐标系是根坐标系是根据哪一特定年份据哪一特定年份( (或称或称“历元历元”) )的春分点方向建立的。的春分点方向建立的。ssssO X Y ZsOsXsXsXssssO X Y Z2 2地心赤道坐标系地心赤道坐标系 地心赤道坐标系的原点在地心地心赤道坐标系的原点在地心 ，基准面是赤道平，基准面是赤道平面，正面，正 轴指向春分点，轴指向春分点， 轴指向北极。在看图轴指向北极。在看图2 21515时，时，应记住坐标系应记住坐标系 不是固定在地球上并跟随地球转不是固定在地球上并跟随地球转动的，地心赤道坐标系相对于恒星才是不转动的动的，地心赤道坐标系相

49、对于恒星才是不转动的( (除了春除了春分点的进动外分点的进动外) )，是地球相对于该坐标系旋转。，是地球相对于该坐标系旋转。I I，J J，K K分别是沿分别是沿 ， 和和 轴的单位矢量。轴的单位矢量。ccccO X Y ZeOeXeZccccO X Y ZeZeXeY3 3赤经赤纬坐标系赤经赤纬坐标系 与地心赤道坐标系密切相关的一个坐标系是赤经赤纬坐与地心赤道坐标系密切相关的一个坐标系是赤经赤纬坐标系。它的基准平面是天赤道面，即地球赤道平面无限标系。它的基准平面是天赤道面，即地球赤道平面无限延伸到一个假想的半径为无穷大的天球上所形成的平面。延伸到一个假想的半径为无穷大的天球上所形成的平面。天

50、体在天球上的投影位置用叫做赤经和赤纬的两个角来天体在天球上的投影位置用叫做赤经和赤纬的两个角来描述。如图描述。如图2 21616所示，赤经是从天赤道面内由春分点开所示，赤经是从天赤道面内由春分点开始向东量度，赤纬是从天赤道面向北量至视线。始向东量度，赤纬是从天赤道面向北量至视线。4 4近焦点坐标系近焦点坐标系 描述航天器运动最方便的坐标系之一是近焦点坐标描述航天器运动最方便的坐标系之一是近焦点坐标系。该坐标系的基准面是航天器的轨道平面，坐标轴系。该坐标系的基准面是航天器的轨道平面，坐标轴为为 ， 和和 。 轴指向近拱点，在轨道面内按运动方轴指向近拱点，在轨道面内按运动方向从向从 轴转过轴转过