1、第五章第五章 自旋波理论自旋波理论 ?5.1 自旋波物理图像 ?5.2 自旋波的半经典理论 ?5.3 自旋波的量子力学处理 ?5.4 铁磁体在低温下的热力学性质 ?5.5 H-P自旋波理论与自旋波相互作用 ?5.6 反铁磁体和亚铁磁体中的自旋波 ?5.7 磁偶极作用下的自旋波色散谱 ?5.8 体非均匀体系中的自旋波 自旋波作为磁性固体中一种重要的元激发（如格自旋波作为磁性固体中一种重要的元激发（如格波波- -晶格振动），是由局域自旋之间存在交换作用而晶格振动），是由局域自旋之间存在交换作用而引起。自旋波理论从引起。自旋波理论从 体系整体激发体系整体激发的概念出发，很好的概念出发，很好的解释了自
2、发磁化在低温下的行为。在低温下，体系能量处于较低的激发态，自旋波数较少，自旋波相互作用可以忽略，每一个自旋波可以看作是相互独立的，作用可以忽略，每一个自旋波可以看作是相互独立的，系统能量等于各个自旋波能量简单求和。在这种近似下，得到铁磁体自发磁化强度遵守下，得到铁磁体自发磁化强度遵守 T T3/23/2定律，与实验定律，与实验符合很好。符合很好。 5.1 自旋波物理图像 设：N个格点组成自旋体系，每个格点自旋 S=1/2，只 考虑最近邻格点之间的交换作用 ，并认为相邻自 旋间的交换作用均相同（ A0） 体系Hamilton: 当T=0K时，自旋体系呈现完全有序。总磁矩 M0=NSgB此时总能量
3、最低，处于基态。 T0K，体系中有一个自旋发生翻转（偏差），则由于相邻格点间的交换作用，一方面翻转了的自旋将牵动近邻格点自旋，使它们趋于翻转；另一方面，近邻格 ) 1.(2)(?ijjiexSSAH?点的自旋又力图使翻转了的自旋重新翻转回来。从 而导致自旋翻转（偏差）不会停留在一个格点上， 而是要一个传一个，以波的形式传播，直至弥散整 个晶体，这种自旋翻转（偏离）在晶体中的传播称 为自旋波。 与晶格振动的格波类似 ： a.同属晶体元激发 b.所有格点都是等价的，每个格点自旋翻转概率相同（1/N） c.可以表述为 波矢 的方向表征了波传播的方向。其大小与波长 有关，K=2 / )(exprkti
4、?k? 其取值不是任意的，它取决于体系的边界条件， k 可能的取值数目也不是任意的，它等于体系的总自 由度。 d.自旋波的能量 ,动量 （由于自旋波自旋只 是原地翻转故又称准动量）其行为常如同一个真实 的粒子，故又名“磁激子”或“铁磁子”。 e.描述波性质的关系仍是色散关系，即频率 和波矢 的关系 ?k?k?)(k?(a) 侧视图 (b) 府视图 (c) ka 大小和进动的关系示意图 一维链的自旋波 5.2自旋波的半经典理论 自旋S在磁场H中的Hamilton为： 如 轴，即 则 无阻尼时自旋在磁场 H作用下的运动方程为： 考虑一简单的一维无穷链，每个格点有相同的自旋 ,相 邻格点之间存在交换
5、作用（ A0），则第n个格点交换作用 ) 1 (HSHH?ZH /?), 0 , 0(zHH?)(:(旋磁比）?ZZHSH?)3.(HSdtdS?S?Hamilton: ?112?nnnSSAH?)4.(211?nnnSSSA?比较（2）、（4）两式 相邻格点自旋的交换作用用等效场 Heff替代 （5）代入（3）： )5).(211?nneffSSAH?effnnHSdtdS?)6).(211?nnnSSSA? 即 将围绕交换作用等效场 进动 令 ， 其中， 为 在进动轴方向的投影矢量，且根据前面的假设，不同格点处 相同，不随时间变化； 为进动振幅矢量，其方向随时间变化。 nS?effH?nz
6、nSS?n?zS?n n SZ Z Sn n Z Z x y y nS?zS?如振幅很小，即 时，略去二次以上项得线性 方程： (分量形式见P255) 如令 则写成标量方程： )2()(211?nnznznSSAdtd?zS?)7).(2(211?nnnznSAdtd?yxi?)8).(2(211?nnnznASti?自旋 在交换作用等效场下的运动方程（ P255)： nS?n可取所有整数值，个形式相同的联立线性齐次方程 其解应当具有如下形式：其解应当具有如下形式： )9.()(tnkaine?a为相邻格点的间距，为相邻格点的间距， (9)代入代入(8)中中 ? ? 一维铁磁链的自旋波色散关系
7、一维铁磁链的自旋波色散关系 )10).(2(82kaSinASz?如共有如共有N个格点，则可以有个格点，则可以有N个个k 的取值，即可以有的取值，即可以有N个波长不同个波长不同 的自旋波存在。的自旋波存在。k的取值决定于的取值决定于 边界条件，在周期性边界条件下边界条件，在周期性边界条件下 ?Nann?w - 8/ASka 2N21.210,2、?NpNapk?当k0（长波极限），则 考虑德布罗意关系： 222kaASz?*222mk?):(*自旋波等效质量m22*4/aASmz?如 a10-10米，A500K, Sz=1/2，则 大约比电子质量大 2个数量级。 Kgm28*10?5.3自旋波
8、的量子力学处理 方法：用交换作用 Hamilton量，求解薛定谔方程本征 解，从而得出自旋波色散关系。 设自旋增加算符S+=Sx+iSy，自旋减少算符S-=Sx-iSy 体系交换作用Hamilton: ?)(2jijiSSAH?)()(2jijzizjyiyjxixSSSSSSA)11.()(2)(21?jijzizjijiSSSSSSA如只考虑最近邻交换作用，则 Z为最近邻数，N为体系中的格点数 一、基态：设A0，自旋向上的本征态计为 自旋向下的本征态计为 则0K时所有自旋应平行排列，系统状态可表示为： ?ZNiij?21)(共NZ/2项 ?01?10?)12.(0|321N? ? ? ?
9、? ?由于不存在翻转的自旋由于不存在翻转的自旋 ，所以有，所以有 ?)(0|20|ijjZiZSSAH?0|41NZA所以|0是是 的本征态，其能量本征值为：的本征态，其能量本征值为： 二、局域在一个格点上的自旋翻转态二、局域在一个格点上的自旋翻转态 设在第l格点上有一个自旋翻转，则体系状态为：格点上有一个自旋翻转，则体系状态为： ?H)13.(410NZAE?1211|.(14)lllNl? ? ?)(|ijjZiZlSS?lZN|)4(81?)()(|ijjiijjilSSlSS?ZZllS?|210|21)15.(| )4(41|?ZlAlNZAlH? ?lZZNZ|41)21(三.第一
10、激发态的本征解 为求Hamiltion量的本征解，可将态 作付里叶展开：令 （相应反变换 ） 将（16）代入（15）则得 即状态 是Hamiltion的本征态。令 则状态 相应的能量本征值为 ?l?|?16|1|?kNlklkie?lNkllike|1|)17(| )41(|? ? ? ?kAZANZAkHzike?l?|)18(1?zikkerZ?)1(01rEEkZA?l?|由此得到三个重要结论 ： 1.能量本征态 表征了体系一个确定的状态。在这个态 中，每个格点自旋翻转的概率都相等（ 1/N），即自旋 翻转不是局域在一个格点上，而是以相同的概率弥散在 晶体的每一个格点上。 2.在状态 中
11、，不同格点自旋翻转态相差一个相位因 子，相邻格点相位差因子均为 （a：相邻格点间 距）。因此，态 显示了波动的特征，它表征了波矢 为K的一个自旋波。 3.与基态相比，一个自旋波带系的能量增量为： P261?l?|?l?|eika?l?| 它表征了波矢为k的自旋波能量的最小单位，一个自旋波 相当于体系中总有一个自旋翻转。而上式表明：同为一个 自旋翻转，由于自旋波波矢不同，则体系能量不同。因 此，（19）式也反应了自旋波的色散关系 ,并且很显然。 体系中允许两个以上自旋波具有相同的波矢 k,因此，自旋 波不服从费米统计。 )19).(1 (01rEEEkkZA?四.近独立近似下的自旋波总能量 如果
12、体系中存在许多相互独立的自旋波，则体系自旋 波总能量等于所有自旋波能量简单的叠加。 波矢为k的自旋波个数 五.近饱和近似下自旋波的玻色性 自旋波不服从费米统计，也不符合玻色（ Bose)统计 （因为N总是有限的，自旋能够翻转的总数 n不能超过NS) 当体系的温度远低于居里点时，体系中的自旋基本上是有 序的 这时可以近似地把自旋波看作玻色子。 EnkkkE?nkNSnkn?当铁磁物质在T0.5Tc时，相对自发磁化强度 即 因此，当T0.5Tc时，自旋波的波色性能够很好地满足。 9.08.0)0(/)2(?MMTcNkkn) 1 . 005. 0(? 5.4 铁磁体在低温下的热力学性质 一.自发磁
13、化强度的 定律 N个格点组成自旋体系，体积 V，温度T时体系自旋翻转总数的统计平均值 ，则 自发磁化强度表示为 或 为计算 作如下简化： a.格点数十分巨大（ N1023),因此k的取值可看作连续， 从而求和变为积分。 T32?kknn)()(?nNSVgTMB?)20()0()()0()0()(? ? ? ? ?NSMTMMMTMkkn?kknb.温度不高时，高能态波几乎不能被激发。 一维情况下， K的间距 令 则 这个积分是发散的，同样二维情况下的积分也是发散 的，因此，一维晶体和二维晶体均不可能具有铁磁性。 在三维情况下： ?kkkenEk11?L?2xDk?2?dxLexDnxkk?0
14、212114)1(? ?02314112)2(ekenkdxVEDkkkk?02132214)1(exDxdxV?对立方晶体，结果得： 其中：f为结构子数。简单立方 f=1 体心立方f=2 面心立方f=4 代入（20）式： 其中系数a与材料性质和结构有关。 对于立方晶体： )23()8(23?ASTknBfNkk?)21(1)0()(23? ? ? ? ? ?TnaNSMTMkk)22(0587. 0)23(1)2()8(2323? ? ?ASkASkBfsBfsa?二.铁磁体在低温下的比热 体系自旋波对内能的贡献为： 对三维体系： (其中 ) 其中 低温下自旋波对定容比热的贡献： )23(1
15、)(? ? ? ? ?kkkkkMeEnEUETk?02314)(2)2(ekUkkdkDVTDM?0232521)1(4dxexDVDx?2xDk?)24()(25? ? ? ? ?RTTUM)25()8(2323?ASKfNKRBB?23)8)(25(415)(ASTKfNKTTUBBMvc?)25()2(113. 023? ? ? ? ? ?ASTKfNKBB低温下铁磁体的定容比热同样遵从低温下铁磁体的定容比热同样遵从 定律。 三.对长波近似的修正 其中 23T? ? ?2725231)0()(cTbTaTMTM? ? ?2725231tCtBtAASTKtB?8?)23(2?A)25(
16、23?B)27(16332?C 5.5 H-P自旋波理论与自旋波相互作用 Holstein和Primakoff采用粒子数表象，用二次量子 化方法处理了自旋波理论，可以方便地讨论自旋波之间的 相互作用和自选波与其它（准）粒子的相互散射。 其基本要点是： 考虑N个格点的自旋体系，每个格点自旋为 S，引入 自旋偏差算符 以及自旋偏差产生算符 和湮灭 算符a，在此基础上，写出存在外加磁场 H时在自旋偏差算符表象中的Hamilton量： 同样，在自选波算符表象中的 Hamilton量： znSS?a0()(2)2BlllmllmHEZAS gHASa aa a? :自旋波粒子数算符） 其中： ( 是波矢
17、为K的自旋波产生算符 是波矢为K的自旋波湮灭算符 ) 随着温度的升高，自旋波数目增加，由于相互碰撞而使散 射的机会增多，因而必须记入自旋波的相互作用。计算时 应多考虑几项。写出这种情况下的 Hamilton量，利用付 里叶变换，得到 ?kkkkkkkBaaraaZASHgZASEH4)2(0?kkknEE0aankkk?(HgZASEBkk?)1 (2HSNgNZASEB?20ak?ak)26(0? ? ? ? ? ? ?HHHH其中 为一级散射哈密顿量 ,表征了这样得散射：波矢分别为 k和 的一对自旋波经过碰撞而交换能量和动量，变为波 矢分别为 和 的一对自旋波。 00EaaAHkkkk?H
18、grZASABkk?)1 (2kkKkKkKkkkKkKkkKkkaaaarrSrrrNAZH)(161)2(2?)2(16kkkKKkKkKkkKKKKkKKkkkkaaaaaarrrSNAZH?HkKk?Kk ? 为二级散射哈密顿量。在这一过程中有三个自旋波 同时相互作用，它们同样满足能量和动量守恒。如果记 入更多项，则它包含更高级的散射。 在此基础上，求得简单立方晶格： 即在考虑了自旋波相互作用后增加了一个 项，其 系数 ?H3574222( )1(0)M TATBTCTI TM?4T LondonLondon和KeffexKeffex用另一方法同样推得： 其中 （简单立方） 两者非常吻
19、合。 )25()23()29562. 01 (23?SSI?423)0()(TIaTMTM?)25()23(232?SI ? 5.6 反铁磁体和亚铁磁体中的自旋波 考虑两个子格子的体系，用 和 分别表示两个子格子中 一个格点的自旋。对于反铁磁性和亚铁磁性，交换积分A0时，第一激发态能量 ，k0, ( 基态能量） 对于反铁磁体，k=0时， ，则（31）式得 即第一激发态与基态之间存在能量间隙 由此可以得到，低温下反铁磁体的比热，热导率均正 比于 ，当温度进一步降低时，由于能量间隙的存在， 这些力量与温度的依赖关系将呈指数形式（自旋（电子 ) 跃过能量间隙的数目于能量呈指数关系） )1 (01kr
20、ZAEE?zikkeZr?10?kr?01EE ?1?kr)34.(2)22(221ABABABHZASgZASHgZASHgZASE?3T二.亚铁磁体情况 上述方法同样适用于亚铁磁性，书上采用了另一种半 经典方法得到在长波极限下亚铁磁体的色散关系： 说明：自旋波分为两支，第一支能量较低，与两套格子 自旋的整体运动有关，称为声频支；第二支能量 较高，与两套格子自旋相对运动有关，称为光频 支。当k=0时， 分别为0和 如下图： )35.(|4221kaSSSSABABA?)35.()(21 |22222BABABASSZkaSSSSAZB?0E|2BASSAZ?2?2?ka?0|2BASSAZ?
21、 在长波极限下存在 的关系，这一点与铁磁体一 致。同样，亚铁磁体在低温下饱和磁化强度与 T的关 系： 如YIG，直到0.9 时，上式均能很好符合。其中 2kEk?.1)0()(2523?bTaTMTMcT6102 . 8?a7100 . 1?b 5.7 磁偶极作用下的自旋波色散谱 每个自旋都是一个磁偶极子，因此自旋间还存在磁偶极相互作 用。在磁性介质中，磁偶极作用与交换作用相比要小得多，通常可 以忽略，但在自旋波长波领域里，交换作用随k的减少而迅速趋于 零，此时就必须考虑磁偶极作用了。相对于磁化方向而言，不同方 向的磁偶极作用也不同，这将导致自旋波色散关系随方向而变化。 在计入外场，交换作用，
22、磁偶极作用之后，铁磁体Hamilton 量可以表述为： 第三项即为磁偶极作用项,这是一种长程作用.其中 ()2BlzlmllmHgHSAS S? ?mlmlmllmSrSrrSSD)(3)(2?)36( ? ? ? ? ? ?yxl?m?lmr?322/rgDBlm? 同样引入自旋偏差算符并进行二次量子化处理 (表象转 换),求得: 其中 :Z方向退磁因子 : 与z轴夹角 其中 考虑磁偶极作用后的自旋波色散关系 如 k较小时,有近似关系: 222|4|kkkBAE?)38).(2()1 (22kzBkBkSinNMgrZASHgA?SNgMB?zNk?k?)39.(22kikBkeMSingB
23、?)1 (222kzBkrDMNHgE?)40.(4)1 (2kkzMSinrDMNH?BgZASD?2?)4)(2222kzzMSinkDMNHkDMNH?ZaD2?BgASaD?22? 称为自旋波劲度系数 这一关系适于 的区域. L:晶体线度 如果k太小(如 ),则当自旋波波长大于晶体线度 L时, 传播因素和交换作用均可以忽略 ,出现静磁模. akL11?Lk1?静模量 自旋波 ?k2?k0?k? 5.8体非均匀体系中的自旋波 体非均匀可能来自各种因素 ,即来自材料成分或结构 不均匀,外场和表面退磁场引起的不均匀 ,应力分布不均匀 等.这些不均匀相对原子尺度来说是宏观大的 ,可将这些不 均
24、匀性等效为自发磁化强度的不均匀 .当一束波在非均匀 体系中传播时,其波长将发生变化 . 考虑一个简单铁磁性一维链 :第n个格点自旋进动方程 泰勒展开 )41).(211?nnnnSSSAdtSd?1?nS1?nS?.21.2122212221aZSaZSSSaZSaZSSSnnnnnnnn?代入（41）式 近邻自旋的交换作用可以等效为场： 其中 如再考虑外场 则运动方程为： 令 得 ?)42.(2222ZSSAadtSdnnn?222222ZMZSAaHneff?SNgMB?Bg?2222MSNAa?H?)(effHHMdtMd?)43().(22ZMHM?mxyz)(ztiytixMemem
25、M?)00(HH?yximmm?)44.(0)(2222?mZMHZmM?讨论：对于薄膜样品： ：表征体不均匀性的程度 （45）代入（44） 其中 求解方程（46）： 其中 )45().1 (20ZMMz?)46.(0)(2222?mzdzmd?)47).(/()24(000MMMH?/42?)48).()(2/2ZHeNzmnzn?)() 1()(22?eddeHnnnn21) !2(?nNnn?) 12(?n? ? ? ? ?2 . 1 . 0n? 厄米多项式 ? 归一化系数 ? 量子化条件 Mz zzMz Mz 即由于体系内存在不均匀性，则只有满 足一定量子化条件的自旋波才会出现。 其色
26、散关系： 与线性关系 n n只能取正整数 分离谱 由（46）式知：如果体不均匀性在很小范围（ -L,L）， 则 方程的解近似为正正弦形式的半面波 另一方面，对于实际薄膜（晶体），体非均匀性一般并不 对称。设 )49.(24000MnMMHEk?22L?)50.(022? mdzmd?)1 ()(2101zMzM?)0( ?z)1 ()(2202zMzM?)0( ?zz n=0 n=1 n=2 M(z) 求解方程求解方程 2222221222()0.(51)()0d mdzd mdzz mz m?加上联结条件加上联结条件 0201|?zzmm00|21?zdzdmzdzdm求解（51） 得得 2121) 12(2?n)52(2 , 1 , 0? ? ? ? ? ?n色散关系： )53.()(8402102121MnMHEk?0?z0?zzM)(1zM)(2zM
