1、2022年四川省高考数学诊断性试卷（理科）（2月份）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A=x|182x16，Bx|x2+5x0则AB（）A（5，4）B（0，4）C（3，0）D（5，0）2（5分）复数z满足（1+i）z2i，则z在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）青少年视力是社会普遍关心的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用小数记录法和五分记录法记录视力数据小数记录法的数据E和五分记录法的数据F满足E10F5，已知某同学视力的小数记录法记录的数据为0.9，则其视力的五分记
2、录法的数据约为（）（lg30.4771）A4.6B4.7C4.8D4.94（5分）函数y=lg(x2+1-x)2x+2-x的大致图象是（）ABCD5（5分）设x，y满足x-y+20x+y0y-1，则zx2y的最小值是（）A12B1C2D36（5分）已知非零向量a，b满足3|a|=2|b|，且b(a-b)，则a与b的夹角为（）A6B4C3D567（5分）已知Sn是各项均为正数的等比数列an的前n项和，若a2a481，S313，则a6（）A21B81C243D7298（5分）已知双曲线C：x24-y2m=1的离心率为2，则双曲线C与双曲线E：y212-x24=1有（）A相等的离心率B相同的焦点C相
3、等的焦距D不同的渐近线9（5分）有下列三个命题：已知一组数据x1，x2，x3，x10的方差为3，则x1+2，x2+2，x3+2，x10+2的方差也为3；对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为y=0.3x-m，若样本点的中心点坐标为（m，2.8），则定数m的值为4；已知随机变量X服从二项分布XB（10，p），若E（2x1）9，则p=12其中真命题的是（）ABCD10（5分）设Sn为等差数列an的前n项和，若3a57a11，且a10则使Sn0的n的最小值为（）A30B31C32D3311（5分）已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，0），其部分图象如图所示，则下列关于f（x）的结论
4、错误的是（）Af（x）在区间114，194上单调递增Bf（x）的图象关于直线x=-54对称Cf（x）的图象关于点(-4，0)对称Df（x）的图象可由函数y=2sin(x+8)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12倍得到12（5分）设函数f（x）的定义域为R，且f（x1）f（x）1，当x1，0）时，f（x）x（x+1）+1，若存在xk，+）时，使f(x)=299，则k的最大值为（）A1B2C43D53二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）曲线yexx（2x）+1在点（0，1）处的切线方程为 14（5分）(1+1x2)(1+x)6展开式中x2的系数为 15（5分）某几何
5、体三视图如图所示，则在该几何体内的球的最大体积为 16（5分）已知在直角坐标平面内，两定点F（0，1），M（1，1），动点Q满足以FQ为直径的圆与x轴相切直线FQ与动点Q的轨迹E交于另一点P，当PMQ90时，直线PQ的斜率为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C的对边，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立b-22c=acosC；SABC2；BACA=418（12分）某汽车品牌4S店为了解车主对其售后服务的满
6、意度做了一次随机调查，按40岁以下和40岁以上（含40岁）两个年龄段各抽取了m个车主，调查显示40岁以下车主满意的占其车主数的35，40岁以上车主满意的占其车主数的45，且经以下22列联表计算可得K2的观测值k4.76240岁以下车主数40岁以上车主数合计满意不满意合计（1）根据已知条件，求m的值，完成上述表格并判断是否有95%的把握认为车主对该4S店的售后服务评价与车主年龄有关？（2）为了进一步征集车主对4S店售后服务的意见，4S店又采用分层抽样的方法从上述表示不满意的车主中抽取了6名，再从这6名中抽取3人进行面对面交流，求事件“至多抽到两名40岁以下车主”的概率附表P（K2k0）0.100
7、.050.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACABAA1，A1AC60，BAC90，平面AA1C1C平面ABC（1）求证：BC1CA1；（2）求二面角ACA1B的余弦值20（12分）已知函数f(x)=lnx2+cosx求证：（1）2xf（x）12x2；（2）当x（0，）时，f（x）有且仅有2个零点21（12分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=12，且过点C(1，32)（1）求椭圆E的方程；（2）设C点关于
8、y轴的对称点为D，点M在直线OD上，过点M的直线l与E交于A、B两点，线段AB的中点为N，若|AB|2|CN|，求点M的坐标（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=1+22ty=22t（t为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2（cos+sin）（1）求C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）设C1与C2交于P，Q两点，求|OP|OQ|的值选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数f(x)=|x-a|
9、+|x+1a|（1）若a1，求不等式f（x）4的解集；（2）若存在x0，使得f（x0）2成立，求a的取值范围2022年四川省高考数学诊断性试卷（理科）（2月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A=x|182x16，Bx|x2+5x0则AB（）A（5，4）B（0，4）C（3，0）D（5，0）【解答】解：集合A=x|182x16=x|3x4，Bx|x2+5x0x|x5或x0ABx|0x4故选：B2（5分）复数z满足（1+i）z2i，则z在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第
10、四象限【解答】解：复数z满足（1+i）z2i，z=2i1+i=2i(1-i)(1+i)(1-i)=1+i，它在复平面内对应点的坐标为（1，1），故选：A3（5分）青少年视力是社会普遍关心的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用小数记录法和五分记录法记录视力数据小数记录法的数据E和五分记录法的数据F满足E10F5，已知某同学视力的小数记录法记录的数据为0.9，则其视力的五分记录法的数据约为（）（lg30.4771）A4.6B4.7C4.8D4.9【解答】解：由题意可知E10F5，E0.9，0.910F5，F5lg0.9lg912lg31，F2lg3+44.9，即其视力的五分记录法的数据约为4.9
11、，故选：D4（5分）函数y=lg(x2+1-x)2x+2-x的大致图象是（）ABCD【解答】解：根据题意，设f（x）=lg(x2+1-x)2x+2-x，其定义域为R，有f（x）f（x），则f（x）为奇函数，排除CD，f（1）=lg(2-1)2+120，排除B，故选：A5（5分）设x，y满足x-y+20x+y0y-1，则zx2y的最小值是（）A12B1C2D3【解答】解：画出可行域，即阴影部分，可以看出当目标函数过点B（1，1）时，zx2y取得最小值，此时zmin123故选：D6（5分）已知非零向量a，b满足3|a|=2|b|，且b(a-b)，则a与b的夹角为（）A6B4C3D56【解答】解：非
12、零向量a，b满足3|a|=2|b|，且b(a-b)，b(a-b)=ab-b2=|a|b|cosa，b-|b|20，32|a|2cosa，b=34|a|2，cosa，b=32，a，b0，则a与b的夹角为6故选：A7（5分）已知Sn是各项均为正数的等比数列an的前n项和，若a2a481，S313，则a6（）A21B81C243D729【解答】解：Sn是各项均为正数的等比数列an的前n项和，a2a481，S313，q1，且a1qa1q3=81a1(1-q3)1-q=13q0a10，解得a11，q3，a6135243故选：C8（5分）已知双曲线C：x24-y2m=1的离心率为2，则双曲线C与双曲线E：
13、y212-x24=1有（）A相等的离心率B相同的焦点C相等的焦距D不同的渐近线【解答】解：双曲线C：x24-y2m=1的离心率为2，可得m0，1+m4=2，解得m12，则双曲线C：x24-y212=1的离心率为2，焦点为（4，0），（4，0），焦距为8，渐近线方程为y3x；双曲线E：y212-x24=1的焦点为（0，4），（0，4），焦距为8，离心率为233，渐近线方程为y3x；故选：C9（5分）有下列三个命题：已知一组数据x1，x2，x3，x10的方差为3，则x1+2，x2+2，x3+2，x10+2的方差也为3；对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为y=0.3x-m，若样本点的中心
14、点坐标为（m，2.8），则定数m的值为4；已知随机变量X服从二项分布XB（10，p），若E（2x1）9，则p=12其中真命题的是（）ABCD【解答】解：对于，一组数据x1，x2，x3，x10的方差为3，x1+2，x2+2，x3+2，x10+2的方差为1233，故正确，对于，对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为y=0.3x-m，若样本点的中心点坐标为（m，2.8），0.3mm2.8，解得m4，故错误，对于，随机变量X服从二项分布XB（10，p），E（X）10p，E（2x1）2E（X）120p19，解得p=12，故正确故选：B10（5分）设Sn为等差数列an的前n项和，若3a57a11
15、，且a10则使Sn0的n的最小值为（）A30B31C32D33【解答】解：根据题意，设等差数列an的公差为d，若3a57a11，且a10，则3（a1+4d）7（a1+10d），变形可得：4a1+58d0，则a1=-292d，Snna1+n(n-1)d2=-292nd+n(n-1)d2=d2（n230n），a1=-292d0，则d0，若Sn0，必有n230n0，又由nN+，则n30，故使Sn0的n的最小值为31；故选：B11（5分）已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，0），其部分图象如图所示，则下列关于f（x）的结论错误的是（）Af（x）在区间114，194上单调递增Bf（x）的图象关于
16、直线x=-54对称Cf（x）的图象关于点(-4，0)对称Df（x）的图象可由函数y=2sin(x+8)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12倍得到【解答】解：根据函数f（x）2sin（x+）（xR，A0，0，|2）的部分图象，可得A2，14T=74-34=，T4=2，=12结合五点法作图，可得1234+=2，=8，即 f（x）2sin（12x+8）x114，194，12x+832，52故f（x）在区间114，194上单调递增，故A正确；将x=-54，代入解析式得f（-54）2sin12（-54）+82，f（x）的图象关于直线x=-54对称，故B正确；将x=-4，代入解析式得f（-4）2
17、sin12（-4）+80f（x）的图象关于点(-4，0)对称，故C正确；f（x）的图象可由函数y=2sin(x+8)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到，故D错误，故选：D12（5分）设函数f（x）的定义域为R，且f（x1）f（x）1，当x1，0）时，f（x）x（x+1）+1，若存在xk，+）时，使f(x)=299，则k的最大值为（）A1B2C43D53【解答】解：当x1，0）时，f（x）x（x+1）+1，由f（x1）f（x）1得f（x）f（x1）+1，即从x1，0）开始，f（x）每右移1个单位，图像就会向上移1个单位，当x1，0）时，f(x)=-x(x+1)+1=-x2-x+1
18、=-(x+12)2+5454，又54+1299，54+2299，故当函数f（x）的x由小到大，y第一次取到299时，x1，2），又当x1，2）时，f（x）（x2）（x1）+3x2+3x+1，令-x2+3x+1=299，解得x=53或x=43，若存在xk，+）时，使f(x)=299，则必有k53，所以k的最大值为53故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）曲线yexx（2x）+1在点（0，1）处的切线方程为 xy+10【解答】解：由yexx（2x）+1，得y=-x2+2x+1ex，y=(-2x+2)ex-(-x2+2x+1)exe2x=x2-4x+1exy|x01，则曲
19、线yexx（2x）+1在点（0，1）处的切线方程为y11（x0），即xy+10故答案为：xy+1014（5分）(1+1x2)(1+x)6展开式中x2的系数为 30【解答】解：当（1+1x2）选择1时，（1+x）6展开式选择x2的项为C62x2；当（1+1x2）选择1x2时，（1+x）6展开式选择为C64x4，所以（1+1x2）（1+x）6展开式C62+C64=30；故答案为：3015（5分）某几何体三视图如图所示，则在该几何体内的球的最大体积为 23【解答】解：由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆锥，设主视图的内切圆半径为r，OC1，OA22，AC=12+(22)2=3，12222=12(2
20、+3+3)r，可得r=22该几何体内的球的最大体积V=43(22)3=23故答案为：2316（5分）已知在直角坐标平面内，两定点F（0，1），M（1，1），动点Q满足以FQ为直径的圆与x轴相切直线FQ与动点Q的轨迹E交于另一点P，当PMQ90时，直线PQ的斜率为 12【解答】解：设Q（x，y），FQ的中点坐标为(12x，y+12)，由于动点Q满足以FQ为直径的圆与x轴相切，所以12x2+(y-1)2=|y+12|，整理得Q点的轨迹方程为x24y依题意可知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为ykx+1，由y=kx+1x2=4y 消去y并化简得x24kx40，16k2+160，设P（x1，y1）
21、，Q（x2，y2），则x1+x24k，x1x24，由于PMQ90，所以MPMQ=0，即（x11，y1+1）（x21，y2+1）（x11）（x21）+（y1+1）（y2+1）0，x1x2（x1+x2）+1+y1y2+（y1+y2）+10，x1x2+(x1x2)216+(k-1)(x1+x2)+4=0，-4+(-4)216+(k-1)(4k)+4=04k2-4k+1=0，解得k=12故答案为：12三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）已知a，b，c分别是ABC
22、的内角A，B，C的对边，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立b-22c=acosC；SABC2；BACA=4【解答】证明：由由b-22c=acosC，可得sinB-22sinC=sinAcosC，即sin(A+C)-22sinC=sinAcosC，即cosAsinC=22sinC，cosA=22，而0A，则A=4，由SABC=12bcsinA=2，可得bc=42，BACA=bccosA=4；由由b-22c=acosC，可得sinB-22sinC=sinAcosC，即sin(A+C)-22sinC=sinAcosC，即cosAsinC=22sinC，cosA=22，而0A，则A=4，由BA
23、CA=4，可得bccosA4，则bc=42，SABC=12bcsinA=2；由由BACA=4，可得bccosA4，由SABC2，可得12bcsinA=2，即bcsinA4，tanA1，又cosA0，0A，A=4，即cosA=22，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+22sinC，即b=acosC+22c，得b-22c=acosC18（12分）某汽车品牌4S店为了解车主对其售后服务的满意度做了一次随机调查，按40岁以下和40岁以上（含40岁）两个年龄段各抽取了m个车主，调查显示40岁以下车主满意的占其车主数的35，40岁以上车主满意的占其车主数的45
24、，且经以下22列联表计算可得K2的观测值k4.76240岁以下车主数40岁以上车主数合计满意不满意合计（1）根据已知条件，求m的值，完成上述表格并判断是否有95%的把握认为车主对该4S店的售后服务评价与车主年龄有关？（2）为了进一步征集车主对4S店售后服务的意见，4S店又采用分层抽样的方法从上述表示不满意的车主中抽取了6名，再从这6名中抽取3人进行面对面交流，求事件“至多抽到两名40岁以下车主”的概率附表P（K2k0）0.100.050.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【解答】
25、解：（1）由题设K2=2m(325m2-825m2)275m35mmm=4.762，得m50完成22列联表如下：40岁以下车主数40岁以上车主数合计满意304070不满意201030合计5050100而4.7623.841，所以有95%的把握认为车主对该4S店的售后服务评价与车主年龄有关（2）由（1）知，表示不满意的车主40岁以下有20人，40岁以上有10人，按分层抽样抽取6人，应从40岁以下的20人中抽取2015=4人，从40岁以上的10人中抽取1015=2人，设A表示事件“至少抽到两名40岁以下车主”，则P(A)=C44C21+C43C22C63=4519（12分）如图，在三棱柱ABCA1
26、B1C1中，ACABAA1，A1AC60，BAC90，平面AA1C1C平面ABC（1）求证：BC1CA1；（2）求二面角ACA1B的余弦值【解答】证明：（1）连AC1与A1C交于点D由已知平面AA1C1C平面ABC，平面AA1C1C平面ABCAC，BAAC，又BA平面ABC，BA平面AA1C1C而CA1平面AA1C1C，BACA1又由已知四边形AA1C1C为菱形，CA1AC1，则CA1平面ABC1又BC1平面ABC1，故BC1CA1解：（2）过A作AP平面ABC，平面AA1C1C平面ABC，有AP平面AA1C1C，且APAB，APAC，又ABAC，以AB、AC、AP分别为x，y，z轴建立空间直
27、角坐标系，不妨设ACAB2，B（2，0，0），C（0，2，0），A(0，1，3)，则BC=(-2，2，0)，BA1=(-2，1，3)，设平面BCA1的一个法向量为n1=(x，y，z)，n1BC，n1BA1，则-2x+2y=0-2x+y+3z=0，得x=1y=1z=33，n1=(1，1，33)又AB平面AA1C，平面AA1C的一个法向量为n2=AB=(2，0，0)，cosn1，n2=n1n2|n1|n2|=2732=217故二面角ACA1B的余弦值为21720（12分）已知函数f(x)=lnx2+cosx求证：（1）2xf（x）12x2；（2）当x（0，）时，f（x）有且仅有2个零点【解答】证明
28、：（1）由f(x)=lnx2+cosx知f(x)=12x-sinx，欲证2xf（x）12x2，即证f(x)12x-x，即证sinxx，记g（x）xsinx，则g（x）1cosx，当x（0，+）时，g（x）0，g（x）在（0，+）上单调递增，所以，当x（0，+）时，g（x）g（0）0，即xsinx，所以，2xf（x）12x2（2）记（x）f（x），则(x)=-12x2-cosx，当x(0，2)时，（x）0，f（x）在(0，2)上单调递减，f(2)=1-10，f(6)=3-120，则(6，2)，使得f（）0，故x（0，）时，f（x）0，f（x）在（0，）上单调递增；x(，2)时，f（x）0，f（x
29、）在(，2)上单调递减f(2)=12ln20，f(6)=12ln6+320，f（e4）2+cose40，故x1(e-4，6)，使得f（x1）0当x(2，)时，(x)=1x3+sinx0，（x）在(2，)上单调递增，而(2)0，（）0，故(2，)，使得（）0，即（x）在(2，)上递减，在（，）上递增，(2)0，（）0，（）0，故（，），使得（）0，即f（x）在(2，)上递减，在（，）上递增，而f(2)0，f（）f（）0，故x2(2，)，使得f（x2）0，所以，当x（0，）时，f（x）有且仅有2个零点21（12分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=12，且过点C(1，32)（
30、1）求椭圆E的方程；（2）设C点关于y轴的对称点为D，点M在直线OD上，过点M的直线l与E交于A、B两点，线段AB的中点为N，若|AB|2|CN|，求点M的坐标【解答】解：（1）由已知e=1-b2a2=12，得b2a2=34，又1a2+34b2=1，由解得a24，b23，故椭圆E的方程为：x24+y23=1（2）由题设及|AB|2|CN|得ACBC设过点M的直线l的方程为ykx+m（斜率存在），将其代入x24+y23=1并整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2120，当（8km）24（3+4k2）（4m212）0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=-8km3+4k2，x1
31、x2=4m2-123+4k2，继而可得y1+y2=k(x1+x2)+2m=6m3+4k2，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=3m2-12k23+4k2，又CA=(x1-1，y1-32)，CB=(x2-1，y2-32)，CACB=(x1-1)(x2-1)+(y1-32)(y2-32)=x1x2-(x1+x2)+y1y2-32(y1+y2)+134=7m2-12k2+8km-9m-123+4k2+134=0，整理得k2+7m2+8km-9m-94=0，（*）设M(t，-32t)，将其代入ykx+m得m=-kt-32t，又将m=-kt-32t代入（*）式
32、整理得：(7t2-8t+1)k2+(21t2-3t)k+94(7t2+6t-1)=0，即：(t-1)(7t-1)k2+3t(7t-1)k+94(t+1)(7t-1)=0，对任意k恒成立的充要条件为7t10，即t=17，-32t=-314，故点M的坐标为(17，-314)（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=1+22ty=22t（t为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2（cos+sin）（1）求C1的极坐
33、标方程和C2的直角坐标方程；（2）设C1与C2交于P，Q两点，求|OP|OQ|的值【解答】解：（1）由x=1+22ty=22t（t为参数）消去参数t，得xy1，由xcos，ysin，可得C1的极坐标方程cossin1由2（cos+sin）可得22cos+2sin，则C2的直角坐标方程为x2+y22（x+y），即x2+y22x2y0（2）由2（cos+sin）得：cos+sin=2，由cossin1得：cossin=1，由2+2得24+12=2，即482+40，设P，Q两点所对应的极径分别为1，2，则（12）24，所以|OP|OQ|2选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数f(x)=|x-a
34、|+|x+1a|（1）若a1，求不等式f（x）4的解集；（2）若存在x0，使得f（x0）2成立，求a的取值范围【解答】解：（1）当a1时，f（x）4|x1|+|x+1|4x-11-x-x-14或-1x11-x+x+14或x1x-1+x+142x1或1x1或1x22x2，f（x）4的解集为x|2x2（2）存在x0使得f（x0）2成立，等价于f（x）min2，而f(x)=|x-a|+|x+1a|(x-a)-(x+1a)|=|a+1a|，当且仅当(x-a)(x+1a)0时成立，f(x)min=|a+1a|，则|a+1a|2，而|a+1a|=|a|+1|a|2，即2|a+1a|2，|a+1a|=2得a1或a1，故a的取值范围为1，1
