1、 2、现代控制理论时期（二十世纪、现代控制理论时期（二十世纪5070年代）年代）研究对象为多变量、非线性、时变、离散系统。研究对象为多变量、非线性、时变、离散系统。 以线性代数和微分方程为主要的数学工具，以以线性代数和微分方程为主要的数学工具，以状态空间法为基础，分析和设计控制系统。状态空间法为基础，分析和设计控制系统。 3、大系统理论和智能控制理论时期（二十世、大系统理论和智能控制理论时期（二十世纪纪70年代至今）年代至今）1、线性系统理论、线性系统理论2、系统辨识、系统辨识3、最优控制、最优控制4、最优估计、最优估计5、自适应控制、自适应控制 建立系统的状态方程，系统的响应特性，系建立系统
2、的状态方程，系统的响应特性，系统的稳定性，能控性，能观测性，状态反馈，状统的稳定性，能控性，能观测性，状态反馈，状态观测器态观测器包括结构辨识和参数辨识包括结构辨识和参数辨识 通过观测一个系统的输入输出关系来确定其数学通过观测一个系统的输入输出关系来确定其数学模型的方法。模型的方法。 在已知系统状态方程、初始条件及某些约束条在已知系统状态方程、初始条件及某些约束条件下，寻找一个最优控制量，使系统的状态或输出件下，寻找一个最优控制量，使系统的状态或输出在控制向量作用下，使某一指标达到最优值。在控制向量作用下，使某一指标达到最优值。在通讯工程中，接受到的信号为：在通讯工程中，接受到的信号为：Y（t
3、）=S（t）+ （t）有用信号有用信号干扰躁声干扰躁声由由Y（t）求）求S（t）的估计）的估计S（t） 自适应控制一般分为两类：模型参考自适应自适应控制一般分为两类：模型参考自适应控制，自校正自适应控制。控制，自校正自适应控制。 当控制对象的结构或参数随环境条件的变化而有大当控制对象的结构或参数随环境条件的变化而有大的变化时，为了保证控制系统在整个控制过程中都满足的变化时，为了保证控制系统在整个控制过程中都满足某一最优准则，则最优控制器的参数就要随之加以调节，某一最优准则，则最优控制器的参数就要随之加以调节，这类控制为自适应控制。这类控制为自适应控制。1、状态空间法、状态空间法2、动态分析、动
4、态分析3、能控性与能观测性、能控性与能观测性航天与航空、电机械、化工、冶金、交通、医疗航天与航空、电机械、化工、冶金、交通、医疗4、结构分解与实现、结构分解与实现5、稳定性分析、稳定性分析6、状态反馈、状态反馈7、最优控制、最优控制8、最小值原理、最小值原理1、现代控制理论基础现代控制理论基础机械工业出版社机械工业出版社 常春馨编常春馨编2、现代控制理论基础现代控制理论基础北京工业大学出版社北京工业大学出版社 谢克明编谢克明编3、现代控制理论现代控制理论机械工业出版社机械工业出版社 刘豹编刘豹编4、现代控制理论基础现代控制理论基础电子工业出版社电子工业出版社 尤昌德编尤昌德编1.1 概述概述1
5、.2 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式1.3 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立1.4 状态方程的线性变换状态方程的线性变换1.5 系统的传递函数阵系统的传递函数阵1.6 离散系统的状态空间表达式离散系统的状态空间表达式1.7 时变系统和非线性系统的状时变系统和非线性系统的状 态空间表达式态空间表达式1.1 概述概述古典控制理论是基于传递函数来分析与设计系统。古典控制理论是基于传递函数来分析与设计系统。现代控制理论是建立在状态空间法基础上。现代控制理论是建立在状态空间法基础上。1.2 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式1、系统的状态：系统运动信息的集合，表示
6、系统、系统的状态：系统运动信息的集合，表示系统 过去、现在、将来的运动状况。过去、现在、将来的运动状况。2、系统的状态变量：唯一确定系统状态的一组独、系统的状态变量：唯一确定系统状态的一组独立变量。能够完全描述系统时域行为的最小变量立变量。能够完全描述系统时域行为的最小变量组。状态变量的选取不唯一。组。状态变量的选取不唯一。3、状态矢量：以、状态矢量：以n个状态变量为分量，构成一个个状态变量为分量，构成一个n维矢量。维矢量。 X（t）=x1(t)x2(t) : : xn(t)4、状态空间、状态空间 ：以：以n个状态变量为坐标轴所构成的个状态变量为坐标轴所构成的空间，称为空间，称为n维状态空间。
7、维状态空间。 5、状态方程、状态方程 ：状态变量的一阶导数与输入变量及：状态变量的一阶导数与输入变量及状态变量的关系式。状态变量的关系式。dx1dt=f1(x1 x2 u1 u2)一阶微分方程一阶微分方程6、输出方程、输出方程 ：输出变量与输入变量及状态变量的：输出变量与输入变量及状态变量的关系式。关系式。 代数方程代数方程7、状态空间表达式、状态空间表达式 ：状态方程和输出方程。：状态方程和输出方程。例：某机械运动系统的物理模型，它是一个弹簧例：某机械运动系统的物理模型，它是一个弹簧质质量量阻尼系统，试建立输入的外力阻尼系统，试建立输入的外力u (t)，输出为位移，输出为位移 y (t)的状
8、态空间表达式。的状态空间表达式。fmkuy y1= f1(x1 x2 u1 u2)K：弹性系数：弹性系数f：阻尼系数：阻尼系数fmk解：系统的运动方程：解：系统的运动方程：d2ydt 2m=ufdydtkyd2ydt 2m+ fdydt+ky = u系统的状态变量：系统的状态变量：x1=yuy x2=y=x1x2=y系统的状态方程：系统的状态方程：x1 = x2系统的输出方程：系统的输出方程： y = x1x2=kmx1fmx21mu+fmkuy矩阵形式：矩阵形式：x1 = x2y = x1y =1 0 x1x2x1x2=u1m0 1kmfmx1x2+x1x20简写为：简写为：X=AX+buY
9、=CXx2=kmx1fmx21mu+多输入多输出线性定常系统：多输入多输出线性定常系统：x1x2 : :xn=Xu1u2 : :ur=Uy1y2 : :ym=YX=AX+BUY=CX+DUA=a11a12. a1n a21a22. a2n . . . . . an1an2. ann B=b11b12. b1r b21b22. b2r . . . . . bn1bn2. bnrX=AX+BUY=CX+DUC=c11c12. c1n c21c22. c2n . . . . . cm1cm2. cmn B=b11b12. b1r b21b22. b2r . . . . . bn1bn2. bnr A
10、=a11a12. a1n a21a22. a2n . . . . . an1an2. ann D=d11d12. d1rd21d22. d2r . . . . . dm1dm2. dmr X=F（X U t）Y=G（X U t）X=AX+BUY=CX+DU BDCAU(t)+ Y(t)DUAXCXX比例器比例器加法器加法器积分器积分器1、结构图、结构图BUX例：线性系统的状态空间表达式为例：线性系统的状态空间表达式为x1=x2x2=x3x3=8x114x27x3+uy =x1+2x2 试画出它的系统结构图。试画出它的系统结构图。解：这是一个三阶系统，需解：这是一个三阶系统，需3个积分器个积分器
11、例：线性系统的状态方程为例：线性系统的状态方程为x1=x2x2=x3x3=8x114x27x3+uy =x1+2x2 试画出它的系统结构图。试画出它的系统结构图。解：这是一个三阶系统，需解：这是一个三阶系统，需3个积分器个积分器x1x3x3=x2x2=x18147+2+ uyx1x3x3=x2x2=x18147+2+ uy2、信号流图、信号流图X=AX+BUY=CX+DUUBAC DYXX将上例中的结构图用信号流图表示将上例中的结构图用信号流图表示x2=x1x3=x2x3x18147+2+ uy2、信号流图、信号流图将上例中的结构图用信号流图表示将上例中的结构图用信号流图表示u 2 y1x3x
12、2x1x1114871.3 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立方框图方框图结构图结构图例：试建立系统的状态空间表达式例：试建立系统的状态空间表达式解：将惯性环节变为积分环节解：将惯性环节变为积分环节 k1T1S+1 k2T2S+1k4 k1T1S+1uy+ k3 T3S k1 T1 1 S+1 T1 k1 T1解：将惯性环节变为积分环节解：将惯性环节变为积分环节 k1T1S+1 1 S+1 T1 k1 T1 1 S 1 T1+ k1 T1 1 T1+x3x3 k2T2S+1k4 k1T1S+1uy+ k3 T3S 1 T1 +x3x3 k1 T1 k4 1 T2 +x2x2 k2 T2
13、k3 T3 x1x1=y+u 1 T1 +x3x3 k1 T1 k4 1 T2 +x2x2 k2 T2 k3 T3 x1x1=y+ux1= x2k3 T3x3= x3+ （u k4x1）k1 T11 T1x2= x2+ x31 T2k2 T2y =x1例：含有零点例：含有零点 kSSZS+Puy+ 1S+aZ +PS+PSZS+P=1Z +PS+P kSuy+ 1S+a+例：由例：由RLC组成的系统如图，组成的系统如图，u为输入变量，为输入变量，y为输出变为输出变 量，试建立它的状态空间表达式。量，试建立它的状态空间表达式。CRLuRuLuCiu+y解：解：u= uR + uL + uC uL
14、 =Ldt di u= RCduCdt+LCd2uCdt2+uC设状态变量为：设状态变量为：x1=uC、x2= x1= uCy =1 0 x1x2 x1x2=u1LC0 1 1LCRLx1x2+x1x20i =Cdt duC例：试建立图中所示的机械旋转运动的状态空间表例：试建立图中所示的机械旋转运动的状态空间表 达式。设转动惯量为达式。设转动惯量为J。设状态变量为：设状态变量为：x1= 、x2= = BKTB：粘性阻尼系数。：粘性阻尼系数。 K： 扭转轴的刚性系数。扭转轴的刚性系数。T：施加于扭转轴上的力矩。：施加于扭转轴上的力矩。 ：转动的角度。：转动的角度。解：设扭转轴的转动角度解：设扭转
15、轴的转动角度 及其角速度及其角速度 为状态变量。为状态变量。u=T根据牛顿定律：根据牛顿定律：T BKJ21xx 2x1xy uxxxJJBJK1212 例：试建立图中所示的机械旋转运动的状态空间表例：试建立图中所示的机械旋转运动的状态空间表 达式。设转动惯量为达式。设转动惯量为J。y =1 0 x1x2 x1x2=u1 J0 1 kJBJx1x2+x1x20 BKTB：粘性阻尼系数。：粘性阻尼系数。 K： 扭转轴的刚性系数。扭转轴的刚性系数。T：施加于扭转轴上的力矩。：施加于扭转轴上的力矩。 ：转动的角度。：转动的角度。解：设扭转轴的转动角度解：设扭转轴的转动角度 及其角速度及其角速度 为状
16、态变量。为状态变量。1、输入函数不包含导数项时、输入函数不包含导数项时设系统的微分方程：设系统的微分方程：y（n）+a1y（n1）+an1 y+any=bu变换为：变换为：X=AX+BUY=CX设设y、 yy（n1）为系统的状态变量。为系统的状态变量。令：令：x1=yx2=yxn1=y（n2）xn=y（n1）系统状态方程：系统状态方程：x1=x2x2=x3xn1= xnxn= y（n）=a1xn a2xn1 anx1+bu1、输入函数不包含导数项时、输入函数不包含导数项时系统状态方程：系统状态方程：x1=x2x2=x3xn1= xnxn= y（n）=a1xn a2xn1 anx1+buy =x
17、1 =0 1 0 0 x1x2xnu0 x1x2+x1x20 xn0b0 0 1 0an an1 an2 a1 y =x1y =10 0 x1x2x1x2xna3a2a1x1x2x3=u0 1 0+x1x2x30060 0 16 11 5y = 1 0 0 x1x2x3例：将例：将y+5y+11y+6y=6u变换为状态空间表达式变换为状态空间表达式 2、输入函数包含导数项时、输入函数包含导数项时设系统的微分方程：设系统的微分方程：y（n）+a1y（n1）+an1 y+any=b0u（n）+b1u（n1） +bn1u +bnu设：设：y+a1y+a2y+a3y=b0 u+ b1 u+b2u+ b
18、3u 状态空间表达式状态空间表达式x1x2x3=u0 1 0+x1x2x3c1c2c30 0 1a3 a2a1选择待定系数选择待定系数c1 、c2 、c3使状态方程中不含导数项使状态方程中不含导数项2、输入函数包含导数项时、输入函数包含导数项时x1x2x3=u0 1 0+x1x2x3c1c2c30 0 1a3a2a1x1= x2+ c1 ux2= x3+ c2 ux3=a3 x1 a2 x2 a1 x3 + c3 u将上式展开：将上式展开：求求c1 、c2 、c32、输入函数包含导数项时、输入函数包含导数项时令：令：y= x1+c0u （1）x1= x2+ c1 ux2= x3+ c2 ux3
19、=a3 x1 a2 x2 a1 x3 + c3 uy= x1+c0u = x2+c1u + c0u （2）y= x2+c1u + c0u= x3+c2u + c1u+c0u （3）y= x3+c2u+c1u + c0u = a3 x1 a2 x2 a1 x3+ c3 u +c2u + c1u+c0u （4）a1 （3）+ a2 （2）+ a3 （1）+（4）即：即：y+a1y+a2y+a3y=b0 u+ b1 u+b2u+ b3u 左式左式=c0u +(c1+a1c0)u+(c2+a1c1+ a2c0 )u+(c3+a1c2+ a2c1+a3c0)u 2、输入函数包含导数项时、输入函数包含导数
20、项时y+a1y+a2y+a3y=b0 u+ b1 u+b2u+ b3u 左式左式=c0u +(c1+a1c0)u+(c2+a1c1+ a2c0 )u+(c3+a1c2+ a2c1+a3c0)u 比较系数得：比较系数得：c0= b0c1=b1a1c0c2=b2a1c1 a2c0c3=b3a1c2 a2c1 a3c0对于对于n阶系统：阶系统：cn=bna1cn1a2c n2 aic ni anc02、输入函数包含导数项时、输入函数包含导数项时求系统的状态变量求系统的状态变量y= x1+c0u （1）y= x1+c0u = x2+c1u + c0u （2）y= x2+c1u + c0u= x3+c2
21、u + c1u+c0u （3）x1 = y c0u （1）x2 = y c1u c0u （2）x3 = y c2u c1u c0u（3）因为：因为：所以：所以：状态变量是由状态变量是由y、u及它的各价导数组成。及它的各价导数组成。解：解：c0=0a3a2a1例：将例：将y+4y+2y+y=u+u+3u变换为状态空间表达式变换为状态空间表达式 b1b2b3b0=0c1=b1a1c0=140=1c2=b2a1c1 a2c0=1 41= 3c3=b3a1c2 a2c1 a3c0=3 4（ 3）21=13x1x2x3=u0 1 0+x1x2x313130 0 11 2 4y= x1作业：作业：1-1试
22、求系统的模拟结构图，并建立状态空间表达式。试求系统的模拟结构图，并建立状态空间表达式。 k1T1S+1 k2 Suy+ 1 T2S+1+ 1 S1-2 将将y+2y+4y+6y=2u变换为状态空间表达式。变换为状态空间表达式。 1-3 将将uuyyy 323)4(变换为状态空间表达式。变换为状态空间表达式。1-3 试建立图中所示的机械旋转运动的状态空间表试建立图中所示的机械旋转运动的状态空间表 达式。设转动惯量为达式。设转动惯量为J。 BKTB：粘性阻尼系数。：粘性阻尼系数。 K： 扭转轴的刚性系数。扭转轴的刚性系数。T：施加于扭转轴上的力矩。：施加于扭转轴上的力矩。 ：转动的角度。：转动的角
23、度。已知系统的传递函数已知系统的传递函数U(S)Y(S)=G (S)=b0Sn + b1Sn1+ bn1 S+bn a0Sn + a1Sn1+ an1 S+an G (S)=b1Sn1+ b2Sn2+ + bn1 S+bnSn + a1Sn1+ an1 S+an+d=G(S)+d化为真分式：化为真分式： 输出与输入之间的直接传递关系输出与输入之间的直接传递关系首先讨论首先讨论G(S)b1Sn1+ b2Sn2+ + bn1 S+bnSn + a1Sn1+ an1 S+anG(S) =1、G(S)特征方程的特征方程的n个极点互异个极点互异用部分分式法用部分分式法G(S) =k1SS1+ +k2SS
24、2+knSSnS1、 S2、 Sn：特征方程的极点：特征方程的极点k1、 k2、 kn：待定系数：待定系数ki=Lim (SSi) G(S)SSiLim (SSi) SSik1SS1+ +k2SS2+knSSn因为因为 ki=设第设第i个状态变量的拉氏变换为个状态变量的拉氏变换为xi(S)= 1SSiU(S)(SSi) xi(S)= U(S) Sxi (S)=Sixi(S)+U(S) 由拉氏反由拉氏反 变换得状态方程：变换得状态方程：xi(t)= Sixi(t)+ux1(t)= S1x1(t)+ux2(t)= S2x2(t)+uxi(t)= Sixi(t)+uxn(t)= Snxn(t)+u求
25、输出方程：求输出方程：G(S) =k1SS1+ +k2SS2+knSSn=k1x1(S)+ k2x2(S)+ + knxn(S)y(t)=k1x1(t)+ k2x2(t)+ + knxn(t)y(t)=k1x1(t)+ k2x2(t)+ + knxn(t)+du计入计入d的影响的影响Y(S) =k1SS1+ +U(S) +k2SS2U(S) knSSnU(S) )()(SXSY矩阵形式：矩阵形式：y(t)=k1x1(t)+ k2x2(t)+ + knxn(t)+dux1(t)= S1x1(t)+ux2(t)= S2x2(t)+uxi(t)= Sixi(t)+u=S1 0 0 0 x1x2xnu
26、1x1x2+x1x21xn110 S2 0 00 0 0 Sny =k1k2 knx1x2x1x2xn对角线标准形对角线标准形+du信号流图：信号流图： x1x1k1S1 xnxnknSny(t)=k1x1(t)+ k2x2(t)+ + knxn(t)+duxi(t)= Sixi(t)+u x2x2k2S2u111111yd例：已知系统传递函数为：例：已知系统传递函数为：G(S) = 2S+1S3+7S2+14S+8试用部分分式法写出状态空间表达式。试用部分分式法写出状态空间表达式。解：由解：由 S3+7S2+14S+8=0求得：求得：S1= 1、 S2= 2、 S3= 4则则 G(S) =k
27、1S+1+k2S+2+k3S+4k1 = Lim (S+1) G(S)= Lim (S+1) S 1S 1 2S+1(S+1)(S+2)(S+4)=1 3k2= Lim (S+2) G(S)= Lim (S+2) S 2S 2 2S+1(S+1)(S+2)(S+4)=3 2k3= Lim (S+4) G(S)= Lim (S+4) S 4S 4 2S+1(S+1)(S+2)(S+4)=7 6x1x2x3=u1 0 0+x1x2x31110 2 00 04y=x1x2x31 3 3 27 6 x1x11 x3x34 x2x22u111111y1 3 3 26 72、G(S)特征方程有相重极点特征
28、方程有相重极点设系统有设系统有5个特征根：个特征根：S1、 S1、 S1、 S4、 S5。G(S) =k11(SS1)3+k12(SS1)2+k5SS5k13(SS1)+k4SS4+Kij= Lim 1(j1)!SS1dj1 G(S) (SS1)m dSj1 重极点系数：重极点系数：单极点系数：单极点系数：ki=Lim (SSi) G(S)SSim：重极点的个数：重极点的个数2、G(S)特征方程有相重极点特征方程有相重极点x1(S)= 1(SS1)3U(S)设状态变量的拉氏变换为设状态变量的拉氏变换为x2(S)= 1(SS1)2U(S)x3(S)= 1(SS1)U(S)x4(S)= 1(SS4
29、)U(S)x5(S)= 1(SS5)U(S)则：则： x1(S)= 1(SS1)x2(S)x2(S)= 1(SS1)x3(S)x3(S)= 1(SS1)U(S)2、G(S)特征方程有相重极点特征方程有相重极点x4(S)= 1(SS4)U(S)x5(S)= 1(SS5)U(S)x1(S)= 1(SS1)x2(S)x2(S)= 1(SS1)x3(S)x3(S)= 1(SS1)U(S)整理后得：整理后得：Sx1(S)=S1x1(S)+x2(S) Sx2(S)=S1x2(S)+x3(S) Sx3(S)=S1x3(S)+U(S) Sx4(S)=S4x4(S)+U(S) Sx5(S)=S5x5(S)+U(
30、S) 2、G(S)特征方程有相重极点特征方程有相重极点取拉氏反取拉氏反 变换，得系统状态方程：变换，得系统状态方程：Sx1(S)=S1x1(S)+x2(S) Sx2(S)=S1x2(S)+x3(S) Sx3(S)=S1x3(S)+U(S) Sx4(S)=S4x4(S)+U(S) Sx5(S)=S5x5(S)+U(S) x1(t)= S1x1(t)+ x2(t)x4(t)= S4x4(t)+ux2(t)= S1x2(t)+ x3(t)x3(t)= S1x3(t)+ ux5(t)= S5x5(t)+u2、G(S)特征方程有相重极点特征方程有相重极点x1(t)= S1x1(t)+ x2(t)x4(t
31、)= S4x4(t)+ux2(t)= S1x2(t)+ x3(t)x3(t)= S1x3(t)+ ux5(t)= S5x5(t)+u=S1 1 0 0 0 x1x2x3x4x5u+001110 S1 1 0 00 0 0 0 S50 0 S1 0 00 0 0 S4 0 x1x2x3x4x5系统状态方程：系统状态方程：约当标准形约当标准形2、G(S)特征方程有相重极点特征方程有相重极点Y(S) =+k11(SS1)3U(S) +k5SS5U(S) k13(SS1)U(S) +k12(SS1)2U(S) +k4SS4U(S) =k11x1(S)+ k12x2(S)+ k13x3(S) + k4x
32、4(S)+ k5x5(S)x2(S)= 1(SS1)2U(S)x3(S)= 1(SS1)U(S)x4(S)= 1(SS4)U(S)x5(S)= 1(SS5)U(S)x1(S)= 1(SS1)3U(S)求输出方程：求输出方程：2、G(S)特征方程有相重极点特征方程有相重极点Y(S)=k11x1(S)+ k12x2(S)+ k13x3(S) + k4x4(S)+ k5x5(S)y(t) =k11x1(t)+ k12x2(t)+ k13x3(t) + k4x4(t)+ k5x5(t)系统输出方程：系统输出方程：y =k11 k12 k13 k4 k5x1x2x3x4x5y(t) =k11x1(t)+
33、 k12x2(t)+ k13x2(t) + k4x4(t)+ k5x5(t)x1(t)= S1x1(t)+ x2(t)x4(t)= S4x4(t)+ux2(t)= S1x2(t)+ x3(t)x3(t)= S1x3(t)+ ux5(t)= S5x5(t)+u信号流图：信号流图： x5x5S5 x4x4S4uk4111 x3x3S11k5y x2x2S11 x1x1S1k11k12k13例：已知系统传递函数为：例：已知系统传递函数为：G(S) = 4S2+17S+16S3+7S2+16S+12试用部分分式法写出状态空间表达式。试用部分分式法写出状态空间表达式。解：由解：由 S3+7S2+16S+
34、12=0求得：求得：S1= 2、 S2= 2、 S3= 3则则 G(S) =k11(S+2)2+k12S+2+k3S+3(S+2)2(S+3)=0Kij= Lim 1(j1)!SS1dj1 G(S) (SS1)m dSj1 G(S) =k11(S+2)2+k12S+2+k3S+3S2K11= Lim 1(11)!G(S) (S+2)2 Kij= Lim 1(j1)!SS1dj1 G(S) (SS1)m dSj1 K12= Lim 1(21)!S 2d21 G(S) (S+2)2 dS21 1(21)!S 2d 4S2+17S+16dS (S+3) K12= Lim =3= LimS2(S+2)
35、2(S+3)4S2+17S+16(S+2)2=2k3=Lim (S+3) G(S)S3=Lim 4S2+17S+16 (S+2)2 S3=1x1x2x3=u2 1 0+x1x2x30110 2 00 03(S+2)2(S+3)4S2+17S+16G(S)=y=x1x2x32 3 1信号流图或结构图？信号流图或结构图？作业作业1-4 已知系统传递函数为：已知系统传递函数为： S2+S+1S3+6S2+11S+6试用部分分式法写出状态空间表达式，画出系统的试用部分分式法写出状态空间表达式，画出系统的模拟结构图或信号流图。模拟结构图或信号流图。1.4 状态方程的线性变换状态方程的线性变换 特征矢量线
36、性变换法，把状态方程化为对角线标准形特征矢量线性变换法，把状态方程化为对角线标准形或约当标准形。或约当标准形。设：设：X=x1 x2 x3 xnTX=x1 x2 x3 xnTX=x1 x2 x3 xnT它们之间的线性变换：它们之间的线性变换：X=P1XX=PXP：nn非奇异变换阵非奇异变换阵已知线性系统为：已知线性系统为：X=AX+BUY=CX+DUX=PX令：令：X=PX代入状态方程代入状态方程Y=CPX+DUPX=APX+BUX=P1APX+ P1BUY=CPX+DUX=P1APX+ P1BUY=CPX+DUPX=APX+BUY=CPX+DUY=CX+DUX=AX+BU 式中式中A= P1
37、AP B= P1B C=CP D=D1、特征值及特征矢量、特征值及特征矢量AP= PA的特征值的特征值 P AP=0( I A)P =0有非零解的必要条件：有非零解的必要条件：| I A | =0A的特征方程的特征方程| I A | = n +a1 n1+a n1 + a n求得求得A的特征值：的特征值： 1、 2、 n Api= ipi对应于对应于 i的一个特征矢量的一个特征矢量由全部由全部 所对应的特征矢量：所对应的特征矢量：P=p1 p2 pi pn =p11p12. p1n p21p22. P2n . . . . . Pn1Pn2. pnn 线性变换阵线性变换阵2、特征值不变性、特征值
38、不变性特征多项式特征多项式经线性变换后，其特征值不变。经线性变换后，其特征值不变。| I A |2、特征值不变性、特征值不变性X=AX+BU对于对于X=AX+BU对于对于| I A |A= P1AP B= P1B| I A |=| I A |证明：证明：| I A |=| I P1AP| =| P1P P1AP| |P1( I A) P|= |P1| I A| P | =|P1| P| I A|所以：所以： = 设设X=AX+BU，若，若A的特征值的特征值 1、 2、 n互异，互异，则必存在非奇异变换阵则必存在非奇异变换阵P，使其进行，使其进行X=PX的变换后，其的变换后，其状态方程状态方程X
39、=AX+BU将为对角线标准形，即将为对角线标准形，即 1 0 0 00 2 0 00 0 0 nA=且且P=p1 p2 pi pn =p11p12. p1n p21p22. P2n . . . . . Pn1Pn2. pnn A= P1APB= P1BC=CPD=DX=P1X设：设：A的特征值：的特征值： 1、 2、 n 特征矢量：特征矢量：p1 p2 pi pn证明证明A= P1AP 1 0 0 00 2 0 00 0 0 nA=证明：证明：X=P1APX+ P1BUX=AX+BU若若Pi是对应于是对应于 i的一个特征矢量的一个特征矢量则必满足则必满足( iI A)pi =0Ap2= 2p2
40、Api= ipiAp1= 1p1证明：证明：Ap2= 2p2Api= ipiAp1= 1p1Api= ipiApn= npn写成矩阵形式：写成矩阵形式：Ap1 Ap2 Api Apn= 1p1 2p2 ipi npn Ap1 p2 pi pn= 1p1 2p2 ipi npn AP= p1 p2 pi pn 1 0 0 00 2 0 00 0 0 n 1 0 0 00 2 0 00 0 0 n=P证明：证明： AP= p1 p2 pi pn 1 0 0 00 2 0 00 0 0 nA= P1AP 1 0 0 00 2 0 00 0 0 n=证毕证毕例：试将状态方程例：试将状态方程变换为对角线
41、标准形。变换为对角线标准形。x1x2x3=u0 1 1+x1x2x3001 6 11 6 6 11 5 解：解：(1)求系统特征值求系统特征值| I A | =0 1 1 6 11 6 6 11 5 0 0 0 0 0 0 = 1 1 6 +11 6 6 11 5 | I A | = 1 1 6 +11 6 6 11 5 = 3+6 2+11 +6=0( +1)( +2) ( +3)=0(2)求特征矢量求特征矢量对应于对应于 1= 1 的特征矢量为的特征矢量为p1，Ap1= 1p10 1 1 6 11 6 6 11 5p11p21p31= p11 p21 p31p21p31= p11 6p11
42、 11 p21+6p31= p21 6p11 11 p21+5p31= p31p21p31= p11 6p11 10 p21+6p31= 0 6p11 11 p21+6p31= 0可以看出：可以看出： p21=0 p11=p31令令 p11=1 p31 =1求得：求得： 1= 1、 2= 2、 3= 3同理，将同理，将 2= 2、 3= 3分别代入分别代入Ap2= 2p2Ap3= 3p3求得：求得： 1 0 1=p11p21p31p1= 1 2 4=p12p22p32p2= 1 6 9=p13p23p33p3=变换阵变换阵P=p1 p2 p3=3 5/2 1 3 4 31 3/2 1P1=1
43、1 10 2 61 4 9A= P1AP则则= 1 0 0 0 2 0 0 0 3B= P1B = 2 3 1A= P1AP则则= 1 0 0 0 2 0 0 0 3B= P1B = 2 3 1=+x1x2x3x1x2x3 1 0 0 0 2 0 0 0 3 2 3 1u当当A有相重特征值时；有相重特征值时；1、A的线性独立特征矢量数的线性独立特征矢量数等于等于它的阶数它的阶数n，这时，这时A仍可以化为仍可以化为对角线标准形对角线标准形；2、A的线性独立特征矢量数的线性独立特征矢量数小于小于它的阶数它的阶数n，这时，这时A不能化为对角线标准形，只能化为不能化为对角线标准形，只能化为约当标准形约
44、当标准形；例：例：A=对应特征值：对应特征值： 1= 1、 2= 1、 3= 2对应于对应于 1= 1 的特征矢量为的特征矢量为p1，0 0 10 0 00 0 1 1I A p1 =p11p21p31= 01 0 10 1 00 0 2显然显然 1I A 的秩是的秩是1， p1有两个独立的解，对应两个有两个独立的解，对应两个独立的特征矢量，即独立的特征矢量，即A= P1AP =1 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0p1= 1 0 1p3=对应于对应于 3= 3 的特征矢量为的特征矢量为p3，则则 P=1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0p2=0 0 10 0 00 0 1
45、1I A p1 =p11p21p31= 0若：若：A=对应特征值：对应特征值： 1= 1、 2= 1、 3= 21 1 20 1 30 0 1但但rank 1I A =2，独立的特征矢量只有一个。，独立的特征矢量只有一个。约当标准形：约当标准形：Y=CX+DUX=JX+BU 式中式中J= Q1AQ B= Q1B C=CQ D=D设设A是是55的方阵，其特征值为的方阵，其特征值为 1、 1、 1、 4和和 5，存在一个变换阵存在一个变换阵Q，使得，使得J= Q1AQA1 0 0 0 A2 0 0 0 A3=A的约当标准形的约当标准形J由三个约当块组成。若由三个约当块组成。若 1 只有一个只有一个
46、独立的特征矢量，则独立的特征矢量，则 1 1 0 0 00 1 1 0 00 0 0 0 50 0 1 0 00 0 0 4 0J= Q1AQ=J= Q1AQ= 1 1 0 0 00 1 0 0 00 0 0 0 50 0 1 0 00 0 0 4 0若若 1 有两个独立的特征矢量，则有两个独立的特征矢量，则若若 1 有三个独立的特征矢量，则有三个独立的特征矢量，则J= Q1AQ= 1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 0 50 0 1 0 00 0 0 4 0设设 1 有一个独立的特征矢量，求有一个独立的特征矢量，求Q。J= Q1AQQ J=AQ令令Q=q11q12. q15q21
47、q22. q25. . . . . q51q52. q55=Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 1 1 0 0 00 1 1 0 00 0 0 0 50 0 1 0 00 0 0 4 0Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 =A Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 1 1 0 0 00 1 1 0 00 0 0 0 50 0 1 0 00 0 0 4 0Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 =A Q1 Q2 Q3 Q4 Q5将上式展开得：将上式展开得： 1 Q1=A Q1Q1 + 1 Q2=A Q2Q2 + 1 Q3=A Q3 5Q5=A Q5 4 Q4=A Q4（ 1 IA）Q1= 0（ 1 IA）Q2= Q1（ 1
48、IA）Q3= Q2（ 4 IA）Q4= 0（ 5 IA）Q5= 0Q1、Q4、Q5为独立特征矢量，为独立特征矢量，Q2、Q3为非独立特征矢量为非独立特征矢量（ 1 IA）Q1= 0（ 1 IA）Q2= Q1（ 1 IA）Q3= Q2（ 4 IA）Q4= 0（ 5 IA）Q5= 0例：例：A=0 6 51 0 23 2 4化化A为标准形。为标准形。 解：解：(1)求系统特征值求系统特征值| I A | =0 6 5 1 0 2 3 2 4 0 0 0 0 0 0 = 6 5 1 2 3 2 4 = ( 1)2( 2) | I A | =( 1)2( 2) 求得：求得： 1= 1、 2= 1、 3
49、= 2将将 1= 1 代入代入（ 1 IA）Q1= 0中中 6 5 1 2 3 2 4 q11q21q311 6 5 1 1 2 3 2 3 =0rank 1I A =2，独立的特征矢量只有一个。，独立的特征矢量只有一个。任取任取q11=1解得解得q21= 3/7， q31= 5/7再将再将Q1代入代入（ 1 IA）Q2= Q1中中 1 3/7 5/7Q1=rank 2I A =2，独立的特征矢量只有一个。，独立的特征矢量只有一个。任取任取q12=1解得解得q22= 22/49， q32= 46/49再将再将Q1代入代入（ 1 IA）Q2= Q1中中要保证要保证Q阵非奇异阵非奇异将将 3=2代
50、入代入（ 3 IA）Q3= 0中中2 6 5 1 2 2 3 2 2 q13q23q33=0rank 2I A =2，独立的特征矢量只有一个。独立的特征矢量只有一个。令令q13=2，则，则q23= 1，q33= 2 1 22/49 46/49Q2=q12q22q32=13/75/71 6 5 1 1 2 3 2 3 2 1 2Q3= 1 22/49 46/49Q2= 1 3/7 5/7Q1=Q=1 1 2 3/7 22/49 1 5/7 46/49 21 1 00 1 00 0 2J= Q1AQ=作业作业1-5 已知已知Y= 1 0 x1x2x1x2x1x2=+u11 0 1 2 3试化为标准
