1、1.1.刚体：刚体：特殊的质点系，特殊的质点系， 理想化模型。理想化模型。形状和体积不变化形状和体积不变化在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变。在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变。2. 2. 自由度：自由度： 确定物体的位置所需要的独立坐标数确定物体的位置所需要的独立坐标数sOi = 1xyzO( x , y , z )i = 3i = 2xyzOi = 3+2+1= 6 对于刚体而言，当刚体受到某些限制对于刚体而言，当刚体受到某些限制 自由度减少自由度减少.一、刚体运动的描述一、刚体运动的描述在力作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体在力作用下，大小和形状都
2、保持不变的物体称为刚体. .2. 2. 刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动刚体内各点都绕同一直线刚体内各点都绕同一直线( (转轴转轴) )作圆周运动作圆周运动 _ _ 刚体转动刚体转动转轴固定不动转轴固定不动 定轴转动定轴转动)(tf角坐标角坐标zIIIIIP 描述刚体绕定轴转动的角量：描述刚体绕定轴转动的角量： rad运动学方程运动学方程刚体定轴转动时虽然刚体中任意一点的到转轴的距离不同，但刚体定轴转动时虽然刚体中任意一点的到转轴的距离不同，但在相同时间内转过的角度相同。在相同时间内转过的角度相同。描述刚体绕定轴转动的自由度：描述刚体绕定轴转动的自由度：1 1个个 刚体运动过程中任意一点的运动
3、均为平面运动。刚体运动过程中任意一点的运动均为平面运动。3 3、刚体平面平行运动、刚体平面平行运动例如：车轮的滚动可以看成车轮随例如：车轮的滚动可以看成车轮随轮轴的平动与绕轮轴的转动的组合。轮轴的平动与绕轮轴的转动的组合。刚体平面运动可看做刚体的平动与定轴转动的合成。刚体平面运动可看做刚体的平动与定轴转动的合成。描述刚体平面运动的自由度：描述刚体平面运动的自由度：3个个4、定点转动、定点转动刚体运动时，刚体上的一点固定不动，刚体绕过定点的一刚体运动时，刚体上的一点固定不动，刚体绕过定点的一瞬时转轴的转动，称作定点转动。瞬时转轴的转动，称作定点转动。描述定点转动的自由度：描述定点转动的自由度：3
4、个个5、刚体的一般运动、刚体的一般运动质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+刚体绕定轴转动时的角速度刚体绕定轴转动时的角速度 的方向由右手定则确定的方向由右手定则确定.规定：规定：逆时针转动逆时针转动, 0, 沿转轴向上沿转轴向上, 0 .顺时针转动顺时针转动, 0, 沿转轴向下沿转轴向下, 0 01 0 0设设1 ，2 同向同向, = 2 -1 .加速转动加速转动减速转动减速转动)( dddd22tftt角加速度角加速度2sradrv2ranrtaddvc)(2 21 02022000ttt当当与质点的匀加速直与质点的匀加速直线运动公式相似线运动公式相似M,刚体刚体 zOr任意点都绕
5、同一轴作圆周运动任意点都绕同一轴作圆周运动, , 且且 ， 都相同都相同v绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度 角量和线量的关系角量和线量的关系 一飞轮的半径为一飞轮的半径为 0.2m, 转速为转速为150rmin, 经经30s均匀均匀 减速后减速后停止停止. 求：（求：（1）角加速度和飞轮转的圈数）角加速度和飞轮转的圈数,（2）t = 6s 时的角时的角速度速度, 飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度、法向加速度飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度、法向加速度.解：解：10srad5601502 10srad63050- t飞轮在飞轮在30s内转过的角度为：内转过
6、的角度为：rad752-202飞轮在飞轮在30s内转过的圈数为：内转过的圈数为：r5 .372752N例例1 （1） )(2 21 02022000ttt(2) t = 6 s 时的角速度：时的角速度：rad/s40t边缘线速度：边缘线速度：m/s5 .2rv切向加速度：切向加速度：法向加速度：法向加速度：2sm105. 0ra222sm6 .31/rranv 设圆柱型电机转子由静止经设圆柱型电机转子由静止经300s后达后达18000r/min，已知转子的已知转子的角加速度角加速度a与时间成正比与时间成正比. 求求: 转子在这段时间内转过的圈数转子在这段时间内转过的圈数.因角加速度因角加速度a
7、 随时间而增大，设：随时间而增大，设：= ct ddctt由角加速度的定义由角加速度的定义例例2 解：解：tctdd由给定条件，由给定条件，322rad7530060022stc由角速度的定义，则任意由角速度的定义，则任意时刻的角速度可写为：时刻的角速度可写为：2150ddtt d150d020ttt得到：得到：4310330045022N转子转数：转子转数：3450 t对上式两边积分得对上式两边积分得 dd00tttc221ct一、力矩一、力矩改变质点的运动状态改变质点的运动状态质点获得加速度质点获得加速度改变刚体的转动状态改变刚体的转动状态 刚体获得角加速度刚体获得角加速度1. 力力 F
8、对对z 轴的力矩轴的力矩sin)(FrFMzrF/FnFFhFAz hFrFhFrFFMzsin)(rF( (力不在垂直于轴的平面内力不在垂直于轴的平面内) )F( (力力F F 在垂直于轴的平面内在垂直于轴的平面内) )2.2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量力力 力矩力矩 2. 2. 力对点的力矩力对点的力矩O .FrMOFroMsinrFMO大小：大小： 方向：指向由右手螺旋法则确定方向：指向由右手螺旋法则确定. .FrMZ（力对轴的力矩只有两个指向）（力对轴的力矩只有两个指向）rF/FFAzF力对定轴力矩的矢量形式力对定轴力矩的矢量形式 .)(转动的作用的引入为描述力对刚体
9、M1等于外力力矩之和.具有迭加性。合外力矩M)2(讨论讨论 iiFirMri二、转动定律二、转动定律iiiiamfFiiiiamfF切线方向切线方向iiiiiiiramrfrF在上式两边同乘以到在上式两边同乘以到转轴的垂直距离转轴的垂直距离 ri iiirrm对所有质元求和对所有质元求和 )(2iiiiiirmrfrFfi内力矩之和为内力矩之和为0 0转动惯量转动惯量J JiFJM 刚体的转动定律刚体的转动定律（刚体绕定轴转动微分方程（刚体绕定轴转动微分方程）刚体上任一质元刚体上任一质元m i 受力受力 转动定律：转动定律： JM 刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等于刚体对刚体所受的对于
10、某一固定转动轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。角加速度的乘积。iiiirFrFM)() 1 (外即求力矩之和即求力矩之和,而非求力之和的矩而非求力之和的矩.maFJM、在形式上对应在形式上对应,是反映瞬时效应的是反映瞬时效应的.tvmmaFddtJJMddm 反映质点的平动惯性，反映质点的平动惯性，J 则反映刚体的转动惯性则反映刚体的转动惯性.amJFM,(2)与牛顿第二定律比较：与牛顿第二定律比较：讨论：讨论： 2.3 转动惯量的计算转动惯量的计算kkkrmJ2一、质点系的转动惯量一、质点系的
11、转动惯量质量不连续分布质量不连续分布J 的单位（的单位（SI） ：kgm2 量纲：量纲：ML2mkm2m1rk转动惯量的定义：转动惯量的定义：1m2m3m1r2r3r312iiiirmJ233222211rmrmrm例子：例子：质元的选取和计算方法：质元的选取和计算方法：lmddsmddVmdd质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布、 分别为刚体质量分布的分别为刚体质量分布的线密度、面密度和体密度线密度、面密度和体密度.dm为质量元为质量元,简称质元简称质元. r如果质点系的质量连续分布，如果质点系的质量连续分布，VmrJd2v 讨论：确定转动惯量的三个要素讨
12、论：确定转动惯量的三个要素 (1) (1)总质量总质量(2)(2)质量分布质量分布(3)(3)转轴的位置转轴的位置例：等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量，两者质量不同。例：等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量，两者质量不同。LzOxdxM2020231ddMLxLMxxxJLL木木铁铁MM 1、J 与刚体的总质量有关与刚体的总质量有关 木铁JJ例：圆环绕中心轴旋转的转动惯量例：圆环绕中心轴旋转的转动惯量例：圆盘绕中心轴旋转的转动惯量例：圆盘绕中心轴旋转的转动惯量dlORLlRmRJ20202dd2320222dmRRmRlRRmROmrdrsmddRmRmrrRmmrJ0232022d2dr
13、RmrrrRmd2d222R2、 J 与质量分布有关与质量分布有关 OLxdxMz20231dMLxxJLLOxdxM22/2/2121dMLxxJLLz3、 J 与转轴的位置有关与转轴的位置有关 因此刚体的因此刚体的总质量、质量分布和转轴的位置总质量、质量分布和转轴的位置均影响刚体的转动惯量均影响刚体的转动惯量同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的。同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的。 zLCMz2MLJJz z zJzJLOLxdxMz2231)2(MLLMJJzzLOxdxM2222121dMLxxJLLz/z二、平行轴定理及垂直轴定理二、平行轴定理及垂直轴定理 刚体绕任意轴的转动惯
14、量刚体绕任意轴的转动惯量. 刚体绕通过质心的轴刚体绕通过质心的轴. 两轴间垂直距离两轴间垂直距离. 1、平行轴定理、平行轴定理例子：例子： 在一系列的平行轴中，对质心的转动惯量最小。在一系列的平行轴中，对质心的转动惯量最小。yxzJJJzJyxJJ ,刚体绕垂直薄板过质心轴的转动惯量刚体绕垂直薄板过质心轴的转动惯量. 刚体绕平行薄板过质心的两垂直轴的转动惯量刚体绕平行薄板过质心的两垂直轴的转动惯量. 2、垂直轴定理、垂直轴定理zyMx厚度厚度d很小很小注意：对于厚度不是非常小的板，这个定理不适用。注意：对于厚度不是非常小的板，这个定理不适用。 221mRJ 例子：例子： 241mRJ oooo
15、竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？三、三、J 的计算的计算（1）按定义计算）按定义计算求长为求长为L质量为质量为m 的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量.ABLxdm解：取如图坐标，解：取如图坐标，dm = dx9d23232/mLxxJLLA12/d2222mLxxJLLCBL/2L/2Cxdm2222913611216mLmLmLLmJJCA例例1 1： 求质量为求质量为m、半径为半径为R 的均匀圆环的转动惯量。轴与圆的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心环平面垂直并通
16、过圆心.解：解：mRJd2对于薄圆筒（不计厚度），其转动惯量与以上结果相同对于薄圆筒（不计厚度），其转动惯量与以上结果相同. .ROdm例例2 2mRRlR202dmRJd22mRRhRhmRhRRh22d2202dh 求质量为求质量为m、半径为半径为R、厚为厚为l 的均匀圆盘的转动惯量的均匀圆盘的转动惯量.轴轴与盘平面垂直并通过盘心与盘平面垂直并通过盘心.Rordrdm解：解：lrrmd2drlrmrJd2dd3224032121d2dmRlRrlrJJRlRm2例子：实心圆柱对其轴的转动惯量也是例子：实心圆柱对其轴的转动惯量也是 mR2/2 .例例3 .圆环质量圆环质量:圆环转动惯量圆环转
17、动惯量:圆盘转动惯量圆盘转动惯量:圆盘密度圆盘密度:mRJd212221mRhRhRmRhRRh22202221d21自证：自证：P43薄球壳和球体对直径的转动惯量薄球壳和球体对直径的转动惯量 例例4：棒与圆盘组成的刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯：棒与圆盘组成的刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？量如何计算？ (棒长为棒长为L、圆盘半径为圆盘半径为R）2131LmJLL221RmJoo2002dmJJL222)(2131RLmRmLmJooL这里运用了平行轴定理以及迭加法求转动惯量。这里运用了平行轴定理以及迭加法求转动惯量。棒对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量：棒对经过棒端且
18、与棒垂直的轴的转动惯量：圆盘对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量：圆盘对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量：整个刚体组对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量：整个刚体组对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量：解：解：JM 刚体定轴转动时的转动定律：刚体定轴转动时的转动定律：确定转动惯量的三个要素确定转动惯量的三个要素: : (1) (1)总质量总质量(2)(2)质量分布质量分布(3)(3)转轴的位置转轴的位置平行轴定理及垂直轴定理平行轴定理及垂直轴定理 小节小节 FOr(1) 飞轮的角加速度飞轮的角加速度(2) 如以重量如以重量P =98 N的物体挂在绳的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速端，试计算飞轮的角
19、加速解解 (1)JFr 2rad/s 2 .395 . 02 . 098JFrmaTmg(2)JTr ra 两者区别两者区别2.3 应用转动定理解题应用转动定理解题mgT例例1 求求一轻绳绕在半径一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩擦飞轮与转轴间的摩擦不计不计 (见图见图) .2mrJmgr22rad/s 8212010502098.T一定滑轮的质量为一定滑轮的质量为 m ，半径为半径为 r ，不能伸长的轻绳两边分不能伸长的轻绳两边分别系别系 m1 和和
20、m2 的物体挂于滑轮上，绳与滑轮间无相对滑动的物体挂于滑轮上，绳与滑轮间无相对滑动. （设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角速度为零）（设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角速度为零）例例21m2mm求求 滑轮转动角速度随时间变化的规律滑轮转动角速度随时间变化的规律.解解 以以m1 ， m2 ， m 为研究对象为研究对象, , 受力分析受力分析gm11Tgm22Tr1T2T1111amTgm2222amgmT22121mrJrTrTraaa21rmmmgmm212121rmmmgtmmt2121210滑轮滑轮 m：物体物体 m1：物体物体 m2： 一根长为一根长为l、质量为质量为 m 的均匀细直棒的均匀细直棒,
21、其一端有一固定的其一端有一固定的光滑水平轴光滑水平轴, 因而可以在竖直平面内转动因而可以在竖直平面内转动.最初棒静止在竖最初棒静止在竖直位置直位置,由于微小扰动由于微小扰动,在重力作用下由静止开始转动在重力作用下由静止开始转动. 求求: 它由此下摆它由此下摆 角时的角加速度和角速度角时的角加速度和角速度.解：解：棒下摆为加速过程棒下摆为加速过程,外力矩为重力外力矩为重力 对对O的力矩的力矩. 重力作用在棒重心重力作用在棒重心 , 当棒当棒处在下摆处在下摆 角时角时，重力矩为：重力矩为：sin21mglMPl /2Ol重力对整个棒的合力矩与全部重力集重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样中作用在质心所产生的力矩一样. . 因因此棒绕轴此棒绕轴O的转动惯量为：的转动惯量为：231mlJ 例例3 J精品课件精品课件！精品课件精品课件！lgmlmglJM2sin331sin212棒处于棒处于角时：角时：角加速度：角加速度：t dd dd dd ddddttdsin23d dlg作变换：作变换：00d23dsinlg两边积分：两边积分：cos13lg角速度：角速度：
