1、 ？ 高中数学必修第一册高中数学必修第一册 优化优化设计设计 精品课件精品课件 ？ 三角函数的应用三角函数的应用 ？ 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.会用三角函数解决简单的实际问题会用三角函数解决简单的实际问题. 2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变 化的数学模型化的数学模型. 3.体会数学建模的过程体会数学建模的过程,提高数学建模和数学运提高数学建模和数学运 算素养算素养. 自主自主预习预习新知新知导学导学 合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑 易易 错错 辨辨 析析 随随 堂堂 练练 习习 ？ 自主自主预习预习新知导学新知导学 ？ 一、弹簧振
2、子的运动模型一、弹簧振子的运动模型 【问题思考】【问题思考】 1.一个弹簧振子做简谐振动一个弹簧振子做简谐振动,在完成一次全振动的过程中在完成一次全振动的过程中,时时 间间t(单位单位:s)与位移与位移y(单位单位:mm)之间的关系如图所示之间的关系如图所示. ？ (1)若用函数若用函数y=Asin(t+)(A0,0,|)来刻画位移来刻画位移y随时随时 间间t的变化规律的变化规律,你能写出你能写出y关于关于t的函数解析式吗的函数解析式吗? (2)函数函数y=Asin(t+)中的参数中的参数A,对其图象有怎样的影响对其图象有怎样的影响? 提示提示:A影响函数的最值影响函数的最值,影响函数的周期影
3、响函数的周期,决定函数的具体决定函数的具体 位置位置. ？ ？ ？ 二、拟合函数模型二、拟合函数模型 【问题思考】【问题思考】 我们可以利用收集到的数据我们可以利用收集到的数据,首先画出相应的首先画出相应的“散点图散点图”并观并观 察察,然后进行函数拟合获得具体的函数模型然后进行函数拟合获得具体的函数模型,最后利用这个函最后利用这个函 数模型来解决相应的实际问题数模型来解决相应的实际问题. ？ 【思考辨析】【思考辨析】 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打正确的在后面的括号内打“ ”,错误错误 的打的打“”. (1)三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型三角函
4、数模型是描述周期变化现象的重要函数模型.( ) (2)在研究具体问题时在研究具体问题时,我们常常利用搜集到的数据我们常常利用搜集到的数据,作出相应作出相应 的的“散点图散点图”来获得相应的函数模型来获得相应的函数模型.( ) (3)函数函数y=|cos x|的图象是以的图象是以2为周期的波浪形曲线为周期的波浪形曲线.( ) ？ 合作合作探究探究释疑解惑释疑解惑 ？ 探究探究一一 三角函数三角函数模型在物理中的应用模型在物理中的应用 分析分析:确定函数确定函数y=Asin(x+)中的参数中的参数A,的物理意义的物理意义. 【例【例1】 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时已知弹簧上挂着的小球做上下振
5、动时,规定向上为规定向上为 正方向正方向,小球离开平衡位置的位移小球离开平衡位置的位移s(单位单位:cm)随时间随时间t(单位单位:s) 的变化规律为的变化规律为 ,t0,+).作出这个函数的简图作出这个函数的简图, 并回答下列问题并回答下列问题. (1)小球在开始振动小球在开始振动(t=0)时的位移是多少时的位移是多少? (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少? (3)经过多长时间小球往复振动一次经过多长时间小球往复振动一次? ？ 解解:列表如下列表如下: ？ 描点、连线描点、连线,图象如图所示图象如图所示. ？ ？ 反思感悟反
6、思感悟 三角函数三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中,其中其中 对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多,解决这类问解决这类问 题题时要时要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义 和表示方法和表示方法. ？ (1)作出该函数的图象作出该函数的图象; (2)当单摆开始摆动当单摆开始摆动(t=0)时时,离开平衡位置的距离是多少离开平衡位置的距离是多少? (3)当单摆摆动到最右边时当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的距离是多少离开平衡位置的距离是多少? (4)
7、单摆来回摆动一次需多长时间单摆来回摆动一次需多长时间? ？ 解解:(1)利用利用“五点法五点法”可可画画出出其图象其图象,如图如图. ？ 探究探究二二 数据拟合数据拟合问题问题 【例【例2】 某港口的水深某港口的水深y(单位单位:m)是时间是时间t(0t24,单位单位:h)的的 函数函数,下面是有关时间下面是有关时间t与水深与水深y的数据的数据: (1)在平面直角坐标系中描出上表中的点在平面直角坐标系中描出上表中的点. (2)根据表中的数据根据表中的数据,你能选用一个函数描述时间与水深的关你能选用一个函数描述时间与水深的关 系吗系吗?并求出选用函数的解析式并求出选用函数的解析式. ？ 分析分析
8、:(1)先建立平面直角坐标系先建立平面直角坐标系,再描点再描点;(2)根据散点分布趋根据散点分布趋 势势,寻找函数关系寻找函数关系. ？ 解解:(1)以时间以时间t(单位单位:h)为横轴为横轴,水深水深y(单位单位:m)为纵轴为纵轴,建立平建立平 面直角坐标系面直角坐标系. 在坐标系中画出在坐标系中画出散点图散点图,如图如图所示所示. ？ ？ 反思感悟反思感悟 1.本题中没有明确函数的类型本题中没有明确函数的类型,可通过画散点图来拟合曲线可通过画散点图来拟合曲线. 2.此类问题的一般解法是先由表中数据分析求出待定系数此类问题的一般解法是先由表中数据分析求出待定系数,再再 转化为三角不等式对实际
9、问题进行预测判断转化为三角不等式对实际问题进行预测判断.因为实际问题因为实际问题 的背景往往比较复杂的背景往往比较复杂,所以要注意认真审题所以要注意认真审题,从中抽取基本的从中抽取基本的 数学关系数学关系. ？ 【变式训练【变式训练2】 已知某海滨浴场海浪的高度已知某海滨浴场海浪的高度y(单位单位:m)是时间是时间 t(0t24,单位单位:h)的函数的函数,记作记作:y=f(t),下表是某日各时的浪高下表是某日各时的浪高 数据数据. (1)根据以上数据根据以上数据,求函数求函数y=f(t)的函数解析式的函数解析式; (2)依据规定依据规定,当海浪高度高于当海浪高度高于1 m时才对冲浪爱好者开放
10、时才对冲浪爱好者开放,请请 依据依据(1)的结论的结论,判断一天内判断一天内8:00至至20:00之间之间,有多少时间可供有多少时间可供 冲浪爱好者进行运动冲浪爱好者进行运动? ？ 解解:(1)由表中数据描出各点由表中数据描出各点,并把这些点用光滑的曲线连接起并把这些点用光滑的曲线连接起 来来(如图如图), ？ 所以在所以在8:00至至20:00之间之间,有有6个小时的时间可供冲浪爱好者运个小时的时间可供冲浪爱好者运 动动,即上午即上午9:00至下午至下午15:00. ？ 易易 错错 辨辨 析析 ？ 不能正确认识简谐运动的过程致错不能正确认识简谐运动的过程致错 【典例】【典例】 弹簧振子以点弹
11、簧振子以点O为平衡位置为平衡位置,在在B,C两点间做简谐运两点间做简谐运 动动,B,C两点相距两点相距20 cm,初始时刻振子处在点初始时刻振子处在点B,经经0.5 s振子首振子首 先到达点先到达点C.求求: (1)振子振动的振幅、周期和频率振子振动的振幅、周期和频率; (2)振子在振子在5 s内通过的路程及这时相对平衡位置的距离的大内通过的路程及这时相对平衡位置的距离的大 小小. ？ 错错解解:(1)因为因为B,C两点相距两点相距20 cm,所以振幅所以振幅A=20 cm. 因为振子从点因为振子从点B经经0.5 s首次达到点首次达到点C, 所以所以周期周期T=0.5 s,频率频率 (2)5
12、s内的路程内的路程=距离距离=5A=100(cm). 以上解答过程中都有哪些错误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么出错的原因是什么?你如何改你如何改 正正?你如何防范你如何防范? 提示提示:(1)算错了振幅算错了振幅,误认为误认为B,C两点的距离是振幅两点的距离是振幅,算错了周算错了周 期期,误认为由点误认为由点B到点到点C是一个周期是一个周期,实际上是半个周期实际上是半个周期;(2)混混 淆了物理上的路程和位移淆了物理上的路程和位移,导致错解导致错解. ？ 正解正解:(1)设振幅为设振幅为A,则则2A=20 cm,即即A=10 cm. 设周期为设周期为T,则则 ,T=1 s,故频率
13、故频率f=1 Hz. (2)振子在振子在1个周期内通过的路程为个周期内通过的路程为4A,当当t=5 s时时,振子振动了振子振动了5 个周期个周期,故路程故路程s=54A=20A=2010=200(cm)=2(m). 因为因为5 s末振子处在点末振子处在点B,所以它相对平衡位置的距离为所以它相对平衡位置的距离为10 cm. 防范措施防范措施 在在应用三角函数模型求解物理问题时应用三角函数模型求解物理问题时,要注意对物理量的准要注意对物理量的准 确理解确理解,防止出错防止出错. ？ (1)开始时的电压开始时的电压; (2)电压最小值重复出现一次的时间间隔电压最小值重复出现一次的时间间隔; (3)电
14、压的最大值和第一次获得最大值的时间电压的最大值和第一次获得最大值的时间. ？ ？ 随随 堂堂 练练 习习 ？ 答案答案:C ？ 2.(多选题多选题)一质点做简谐运动的图象如图所示一质点做简谐运动的图象如图所示,则下列结论正则下列结论正 确的是确的是() A.该质点的运动周期为该质点的运动周期为0.7 s B.该质点的振幅为该质点的振幅为5 cm C.该质点在该质点在0.1 s和和0.5 s时运动速度为零时运动速度为零 D.该质点在该质点在0.3 s和和0.7 s时运动速度最大时运动速度最大 解析解析:由题意知由题意知T=2(0.7-0.3)=0.8(s),故故A不正确不正确;振幅为振幅为5 cm, 故故B正确正确;由物理意义知由物理意义知,CD正确正确. 答案答案: BCD ？ 答案答案:A ？ 4.某质点做简谐运动的图象如图所示某质点做简谐运动的图象如图所示,则简谐运动的频率则简谐运动的频率为为 . 答案答案:1.25 Hz ？ ？
