1、第二节第二节 棱柱、棱锥和棱台的结构棱柱、棱锥和棱台的结构特征特征一般地，怎样定义多面体？围成多面体的各个多一般地，怎样定义多面体？围成多面体的各个多边形，相邻两个多边形的公共边，以及这些公共边形，相邻两个多边形的公共边，以及这些公共边的公共顶点分别叫什么名称？边的公共顶点分别叫什么名称？面面顶点顶点棱由若干个平面由若干个平面多边形围成的多边形围成的几何体叫做几何体叫做多多面体面体 .若干个平面多边形围成的几何体，叫多面体若干个平面多边形围成的几何体，叫多面体.围成多面体的各个多边形叫多面体的面；围成多面体的各个多边形叫多面体的面；相邻两个面的公共边叫多面体的棱；相邻两个面的公共边叫多面体的棱
2、；棱和棱的公共点叫多面体的顶点；棱和棱的公共点叫多面体的顶点；把一个多面体的任何一个面延展为平面，如果把一个多面体的任何一个面延展为平面，如果其余各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面其余各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体叫凸多面体。体叫凸多面体。DABCEFFAEDBC 1.棱柱的定义棱柱的定义结构特征结构特征 有两个面互相平行，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的公并且每相邻两个面的公共边都平行。共边都平行。侧棱侧棱侧面侧面底底面面顶点顶点 2.相关概念：相关概念：其余各面叫做其余各面叫做棱柱的侧面棱柱的侧面。 两个互相平行的面叫做两个互相平行
3、的面叫做棱柱的底棱柱的底面；面； 两个面的公共边叫做两个面的公共边叫做棱柱的棱棱柱的棱。两个侧面的公共边。两个侧面的公共边叫做叫做棱柱的侧棱棱柱的侧棱。 与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长叫与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长叫做做棱柱的高棱柱的高。底面多边形与侧面的公共顶点叫做底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱柱的顶点棱柱的顶点。 棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形我们我们把这样的棱柱分别叫做把这样的棱柱分别叫做三棱柱三棱柱、四棱柱四棱柱、五棱柱五棱柱1. 侧棱不垂直于底的棱柱叫做侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱斜棱柱。2.侧棱垂直于底的棱
4、柱叫做侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱直棱柱。3. 底面是正多边形的直棱柱叫做底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱正棱柱。新 知 梳 理思考思考3 3：下列多面体都是棱柱吗？如何在名称上区下列多面体都是棱柱吗？如何在名称上区分这些棱柱？如何用符号表示？分这些棱柱？如何用符号表示？ABCDEA1B1C1D1E1ABCA1B1C1ABCDA1B1C1D1ABCDA1B1C1D1棱柱用表示两底面的对应顶点的字棱柱用表示两底面的对应顶点的字母或用一条对角线端点的两个字母母或用一条对角线端点的两个字母来表示来表示有两个面互相平行，其余各面都是平行四有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？边形的
5、几何体是棱柱吗？答：答：不一定是不一定是如图所示，不是棱柱如图所示，不是棱柱思考思考4如何判断一个多面体是不是棱柱？如何判断一个多面体是不是棱柱？有两个面互相平行（有两个面互相平行（底面底面）其余各面都是四边形（其余各面都是四边形（侧面侧面）每相邻两个侧面的公共边都互相平行每相邻两个侧面的公共边都互相平行棱柱棱柱思考思考?四棱柱四棱柱平行六面体平行六面体长方体长方体直平行六面体直平行六面体正四棱柱正四棱柱正方体正方体底面是底面是平行四边形平行四边形侧棱与底面侧棱与底面垂直垂直底面是底面是矩形矩形底面为底面为正方形正方形侧棱与底面侧棱与底面边长相等边长相等u长方体的性质：设长方体的长、宽、高分别
6、为长方体的性质：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，对，对角线长为角线长为l ，则，则l 2 = a 2 + b 2 + c 2一直棱柱的表面积一直棱柱的表面积 1直棱柱的侧面积等于它的底面周长直棱柱的侧面积等于它的底面周长c和高和高h的乘积，即的乘积，即S直棱柱侧直棱柱侧=ch.一直棱柱的表面积一直棱柱的表面积 1直棱柱的侧面积等于它的底面周长直棱柱的侧面积等于它的底面周长c和高和高h的乘积，即的乘积，即S直棱柱侧直棱柱侧=ch.棱柱的体积棱柱的体积 柱体（棱柱和圆柱）的体积等于它的柱体（棱柱和圆柱）的体积等于它的底面底面积积S和高和高h的积的积. 即即V柱体柱体=Sh.hh(2)性质棱柱
7、的各侧棱 ，各侧面都是 ；长方体的对角线的平方等于 (3)直棱柱的侧面积公式S (4)棱柱的体积公式V柱 相等平行四边形由一个顶点出发的三条棱的长的平方和Ch，C是底面的周长，h是直棱柱的侧棱长Sh，其S是棱柱的底面积，h是棱柱的高棱锥的结构特征棱锥的结构特征棱锥及相关概念棱锥及相关概念棱锥棱锥：有一个面是多边形，其余各面都：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做所围成的几何体叫做棱锥棱锥。侧面侧面底面底面侧棱侧棱顶点顶点SDBAC棱锥棱锥S-ABCD棱锥棱锥 S-AC两个本质的特征：两个本质的特征：有一个面是多边形；
8、有一个面是多边形；其余各面是有一个其余各面是有一个公共顶公共顶点点的三角形，二者缺一不可。的三角形，二者缺一不可。有一个面是多边形，其余各面都是有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗三角形的几何体一定是棱锥吗? ?棱锥及相关概念棱锥及相关概念 按按底面多边形底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥棱锥、五棱锥正棱锥：正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，如果棱锥的底面是正多边形，它的顶点又在过底面中心且与底面它的顶点又在过底面中心且与底面垂直的直线上。垂直的直线上。正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形, ,且底
9、边上的高都相等的且底边上的高都相等的, , 叫棱锥的叫棱锥的斜高斜高. .棱锥的分类棱锥的分类二二.正棱锥的表面积正棱锥的表面积 ahh1. 正棱锥的侧面积等于它的正棱锥的侧面积等于它的底面周长底面周长和和斜斜高高乘积的一半，即乘积的一半，即S正棱锥侧正棱锥侧= nah. 其中其中a为底面正多边形的边长，底面周长为为底面正多边形的边长，底面周长为c，斜高为斜高为h， 21二二.正棱锥的侧面积正棱锥的侧面积 ahh二二.正棱锥的侧面积正棱锥的侧面积 1. 正棱锥的侧面积等于它的正棱锥的侧面积等于它的底面周长底面周长和和斜斜高高乘积的一半，即乘积的一半，即S正棱锥侧正棱锥侧= nah. 其中其中a
10、为底面正多边形的边长，底面周长为为底面正多边形的边长，底面周长为c，斜高为斜高为h， ahh21三三. 棱锥的体积棱锥的体积1. 如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是是S，高是，高是h，那么它的体积是，那么它的体积是V锥体锥体= Sh.31圆柱、圆锥、圆台和球圆柱、圆锥、圆台和球圆柱一圆柱及相关概念一圆柱及相关概念 1定义：以矩形的一边所在的直线为定义：以矩形的一边所在的直线为旋旋转轴，转轴，将将矩形旋转一周矩形旋转一周而形成的曲面所而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。围成的几何体叫做圆柱。圆柱圆柱侧面侧面轴轴母线底面底面记作：圆柱记作：圆柱OO母线2相关概念
11、：相关概念：（1）圆柱的）圆柱的轴轴：旋转轴叫做圆柱的轴；：旋转轴叫做圆柱的轴；（2）圆柱的）圆柱的高高：在轴上的这条边（或它：在轴上的这条边（或它的长度）叫做圆柱的高；的长度）叫做圆柱的高；（3）圆柱的）圆柱的底面底面：垂直于轴的边旋转而：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；成的圆面叫做圆柱的底面；（4）圆柱的）圆柱的侧面侧面：不垂直于轴的边旋转：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；而成的曲面叫做圆柱的侧面；（5）圆柱的）圆柱的母线母线：无论旋转到什么位置，：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边叫做圆柱的母线。不垂直于轴的边叫做圆柱的母线。3圆柱的表示方法：用表示它的轴的字圆柱的
12、表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱母表示，如圆柱OO .4圆柱具有以下性质：圆柱具有以下性质：（1）圆柱的）圆柱的底面底面是两个半径相等的是两个半径相等的圆圆，圆的半径等于矩形的边的长，两圆所在的圆的半径等于矩形的边的长，两圆所在的平面互相平行；平面互相平行；（2）通过轴的各个截面是叫做轴截面，）通过轴的各个截面是叫做轴截面，轴截面是全等的矩形；轴截面是全等的矩形；（3）母线平行且相等母线平行且相等，它们都垂直于底，它们都垂直于底面，它们的长等于圆柱的面，它们的长等于圆柱的高高.二圆锥及相关概念二圆锥及相关概念 1定义：以直角三角形的一条直角边所定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为
13、旋转轴，将在的直线为旋转轴，将直角三角形旋转一直角三角形旋转一周周而形成的曲面所围成的几何体叫做而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥圆锥.2相关概念：相关概念：（1）圆锥的）圆锥的轴轴：旋转轴叫做圆锥的轴；：旋转轴叫做圆锥的轴；（2）圆锥的）圆锥的高高：在轴上的这条边（或它的：在轴上的这条边（或它的长度）叫做圆锥的高；长度）叫做圆锥的高；（3）圆锥的）圆锥的底面底面：垂直于轴的边旋转而成：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；的圆面叫做圆锥的底面；（4）圆锥的）圆锥的侧面侧面：不垂直于轴的边旋转而：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；成的曲面叫做圆锥的侧面；（5）圆锥的）圆锥的母线母
14、线：无论旋转到什么位置，：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线；不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线； 3圆锥具有以下性质：圆锥具有以下性质：（1）圆锥的）圆锥的底面是一个圆底面是一个圆，圆的半径就，圆的半径就是直角边的长，底面和轴垂直；是直角边的长，底面和轴垂直；（2）平行于底面的）平行于底面的截面是圆截面是圆；（3）通过轴的各个截面是）通过轴的各个截面是轴截面轴截面，各轴，各轴截面是截面是全等的等腰三角形全等的等腰三角形；（4）过顶点和底面相交的）过顶点和底面相交的截面是等腰三截面是等腰三角形角形;（5）母线母线都过顶点且相等，各母线与轴都过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等。的夹角
15、相等。三圆台及相关概念三圆台及相关概念 1定义：以定义：以直角梯形直角梯形的一条直角边所在的一条直角边所在的直线为旋转轴，将的直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周直角梯形旋转一周而而形成的曲面所围成的几何体叫做形成的曲面所围成的几何体叫做圆台圆台。2相关概念：相关概念：（1）圆台的）圆台的轴轴：旋转轴叫做圆台的轴；：旋转轴叫做圆台的轴；（2）圆台的）圆台的高高：在轴上的这条边（或它：在轴上的这条边（或它的长度）叫做圆台的高；的长度）叫做圆台的高；（3）圆台的）圆台的底面底面：垂直于轴的边旋转而：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆台的底面；成的圆面叫做圆台的底面；（4）圆台的）圆台的侧面侧面：不垂直于
16、轴的边旋转：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面；而成的曲面叫做圆台的侧面；（5）圆台的）圆台的母线母线：无论旋转到什么位置，：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆台的母线。不垂直于轴的边都叫做圆台的母线。侧面侧面上底面上底面母线下底面下底面母线轴3圆台的表示方法圆台的表示方法：用表示它的轴的字：用表示它的轴的字母表示，如圆台母表示，如圆台OO。4圆台具有以下性质：圆台具有以下性质：（1）圆台的）圆台的底面底面是两个半径不等的圆，两圆是两个半径不等的圆，两圆所在的平面互相平行又都和轴垂直；所在的平面互相平行又都和轴垂直；（2）平行于底面的）平行于底面的截面是圆截面是圆；（3）通过轴
17、的各个截面是）通过轴的各个截面是轴截面轴截面，各轴截面，各轴截面是全等的是全等的等腰梯形等腰梯形；（4）任意两条）任意两条母线母线（它们（它们延长后会相交延长后会相交）确）确定的平面，截圆台所得的截面是等腰梯形；定的平面，截圆台所得的截面是等腰梯形；（5）母线都相等，各母线延长后都）母线都相等，各母线延长后都相交于一相交于一点点。rlrlclS2圆柱侧lrrlclS21圆锥侧clrlrrlccS)()(21圆台侧rcc圆柱、圆锥、圆台圆柱、圆锥、圆台名称圆柱圆锥圆台图形定义性质以矩形一边所在以矩形一边所在直线为轴，其余直线为轴，其余各边旋转而成的各边旋转而成的曲面所围成的几曲面所围成的几何体。
18、何体。以直角三角形一直以直角三角形一直角边所在直线为轴，角边所在直线为轴，其余各边旋转而成其余各边旋转而成的曲面所围成的几的曲面所围成的几何体何体以直角梯形垂直于以直角梯形垂直于底边的腰所在直线底边的腰所在直线为轴，其余各边旋为轴，其余各边旋转而成的曲面所围转而成的曲面所围成的几何体成的几何体轴截面是全等的轴截面是全等的矩形矩形轴截面是全等等腰轴截面是全等等腰三角形三角形轴截面是全等等腰轴截面是全等等腰梯形梯形hlrlhRr h l r四球及相关概念：四球及相关概念： 1定义定义：以半圆的直径所在的直线为旋：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，转轴，半圆面旋转一周半圆面旋转一周形成的几何体叫做形成
19、的几何体叫做球。另外将球。另外将圆绕直径旋转圆绕直径旋转180得到的几得到的几何体也是球。何体也是球。2相关概念相关概念：（1）球面球面：球面可以看作一个半圆绕着它：球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周形成的曲面；的直径所在的直线旋转一周形成的曲面；（2）球心球心：形成球的半圆的圆心叫做球心；：形成球的半圆的圆心叫做球心；（3）半径半径：连接球面上一点和球心的线段：连接球面上一点和球心的线段叫球的半径；叫球的半径；（4）直径直径：连接球面上的两点且通过球心：连接球面上的两点且通过球心的线段叫球的直径；的线段叫球的直径；3球的表示方法球的表示方法：用表示球心的字母表：用表示球心的字
20、母表示，如球示，如球O .4球的截面性质：球的截面性质：（1）球的截面是）球的截面是圆面圆面，球面被经过球心，球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的的平面截得的圆叫做球的大圆大圆，被不经过，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的球心的平面截得的圆叫做球的小圆小圆；（2）球心和截面圆心的连线垂直于截面）球心和截面圆心的连线垂直于截面;（3） (其中其中r为截面圆半径，为截面圆半径，R为球的半径，为球的半径，d为球心为球心O到截面圆的距离，到截面圆的距离，即即O到截面圆心到截面圆心O1的距离；的距离；22rRd5球面距离球面距离：在球面：在球面上，两点之间的最短距上，两点之间的最短距离就是经过两点的离就
21、是经过两点的大圆大圆在这两点间的一段劣弧在这两点间的一段劣弧的长度。这个弧长叫做的长度。这个弧长叫做两点的球面距离。两点的球面距离。球面距离在球面上两点之间的在球面上两点之间的最短距离，就是经过这两点的，就是经过这两点的大圆在这两点间的在这两点间的劣弧的长度这个弧长叫两点的这个弧长叫两点的球面距离OPQ334RVR 的的球球的的体体积积为为：定定理理：半半径径是是24RSR的球的表面积为：定理：半径是旋转体的概念旋转体的概念 由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体叫做曲面所围成的几何体叫做旋转体旋转体，这条直线，这条直线叫做旋转体的叫做旋转体
22、的轴轴。比如常见的旋转体有。比如常见的旋转体有圆柱、圆柱、圆锥、圆台和球圆锥、圆台和球.柱体的体积公式 设有底面积都等于S，高都等于h的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使它们的下底面在同一个平面内（右图） 其中S是柱体的底面积，h是柱体的高sss 根据祖暅原理，可知它们的体积相等。由于长方体的体积等于它的底面积乘于高，于是我们得到柱体的体积公式V柱体柱体=Sh 经探究得知，棱锥经探究得知，棱锥( (圆锥圆锥) )是同底等高的棱柱是同底等高的棱柱( (圆柱圆柱) )的的 ，即棱锥，即棱锥( (圆锥圆锥) )的体积：的体积：31（其中（其中S S为底面面积，为底面面积，h h为高）为高）13V
23、Sh 由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是都是底面面积乘高底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式棱锥与圆锥的体积公式类似，都是类似，都是等于底面面积乘高的等于底面面积乘高的 13SSxhsshxxssshxxSxhSV31)31（台xSSxSh313131xSSSh)(3131)(3131ssshSSSh)(3131shssSh)(31sssshADCB中心投影中心投影平行投影平行投影斜投影斜投影正投影正投影三角形一定相似吗？三角形一定相似吗？一定是三角形吗？一定是三角形吗？1.平行投影与直观图平行投影与直观图FFMMl2.过过F上任意一点上任意一点M作直线作
24、直线MM平行于平行于l，交平面交平面于点于点M，则点，则点M叫做点叫做点M在平在平面面内关于直线内关于直线l的的平行投影平行投影。 如果图形如果图形F上的所有上的所有点在平面点在平面内关于直内关于直线线l的平行投影构成的平行投影构成图形图形F，则，则F叫做叫做F在在内关于直线内关于直线l的的平行投影平行投影。 平面平面叫叫投影面投影面。 直线直线l叫叫投射线投射线。3.平行投影规律：平行投影规律：1.1.直线或线段的平行投影仍是直线或线段；直线或线段的平行投影仍是直线或线段；4.4.与投射面平行的平面图形，它的投影与这个与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等。图形全等。2.2.平行直线
25、的平行投影是平行或重合的直线；平行直线的平行投影是平行或重合的直线；3.3.平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；平行且等长；5.5.平行直线段平行直线段或同一直线上的两条线段的或同一直线上的两条线段的比不比不变变； 当图形中的直线或线段不平行于当图形中的直线或线段不平行于投射线时投射线时 一个空间图形在投射面上的平行投影（平面一个空间图形在投射面上的平行投影（平面图形）可以形象地表示这个空间图形。图形）可以形象地表示这个空间图形。用来表示空间图形的平面图形，叫做用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图空间图形的直观图。形的直观图。先讨论水平放置
26、的平面图形的画法。先讨论水平放置的平面图形的画法。例例1 1、画水平放置的正六边形的直观图、画水平放置的正六边形的直观图4.斜二测画法斜二测画法0YXABCEDFMNA1D1N1M1B B1 1C C1 1F F1 1E E1 101y1x1总结画法规则：1、在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴ox、oy；2、画直观图时，把它们画成对应的ox、oy轴，使它们成45角；3、已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴、y轴的线段（即平行性不变）；4、已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半(即横不变纵拆半）。是为斜二测画法。例1（
27、2009全国卷）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是 （ ）A. 南 B. 北 C. 西 D. 下上上东东例2（2008重庆高考） 如图，模块均由4个棱长为1的小正方体构成，模块由15个棱长为1的小正方体构成现从模块中选出三个放到模块上，使得模块成为一个棱长为3的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为()A模块， B模块， C模块， D模块， 例3 如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm，一只蚂蚁从A到C1点，沿着表面爬行的最短距离
28、是多少？ 745) 43 (22544) 35 (221033) 45 (22, 同步练习：同步练习：如右图, 四面体P-ABC中, PA=PB=PC=2, APB= BPC=APC=300. 一只蚂蚁从A点出发沿四面体的表面绕一周, 再回到A点, 问蚂蚁经过的最短路程是_.2P例12 如图，正四面体ABCD的棱长为1，棱AB/平面a，正四面体上的所有点在平面a内的射影形成的图形面积的取值范围是 ( )例13 (2010.辽宁理)如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 ABCDA1B1C1D1例14.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为（ ）例18 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多有 （ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 ABCDA1B1C1D1例19 已知一个三棱锥S-ABC的四个面为全等三角形，并且边长分别为13、14、15，求三棱锥的体积 SABCABCDA1B1C1D1例20ADBC
