1、前课回顾 模态正交性的含义？UTMU= UTKU= 展开定理？振动系统的响应是n个振型的线性组合主要内容 1. 概述 2. 振型叠加法 3. 直接积分法 4. 基于状态空间理论的matlab动力响应分析主要内容 1. 概述 2. 2. 2. 振型叠加法振型叠加法振型叠加法 3. 3. 3. 直接积分法直接积分法直接积分法 4. 4. 4. 基于状态空间理论的基于状态空间理论的基于状态空间理论的matlabmatlabmatlab动力响应分析动力响应分析动力响应分析1. 概述(1) 多自由度系统在外部激励作用下的响应分析称为动力响应分析。 系统的动力响应与系统的固有振动特性、激励特性以及系统的初
2、始条件有关。 响应类型： 简谐激励响应 周期性激励响应 非周期激励响应 随机振动响应（第五章内容） 系统的动力响应分析可以从理论计算、数值模拟和试验测试三个渠道进行，三者互相结合、促进，共同应用于实际的工程分析。1. 概述(2) 动力响应分析主要方法：振型叠加法逐步积分法积分变换方法1. 概述(3) 振型叠加法基于线性叠加与振型正交性理论，将物理空间耦合的振动模型转换为模态空间解耦的微分方程；主要特点：计算效率高，适用于线性系统1. 概述(4) 逐步积分法（直接积分法）是指在积分运动方程之前不进行方程形式的变换，直接进行逐步数值积分。主要方法：中心差分法，Newmark方法，精细积分法主要特点
3、：计算量大，适用于线性系统、非线性系统，可以求解所有确定激励下的响应问题。1. 概述(5) 积分变换法利用Fourier变换或Laplace变换将时间域微分形式的运动方程变换为频域域或Laplace域的代数方程进行求解。一般与振型叠加法与试验模态分析方法相结合，独立应用较少。主要应用于线性系统。主要内容 1. 1. 1. 概述概述概述 2. 振型叠加法 3. 3. 3. 直接积分法直接积分法直接积分法 4. 4. 4. 基于状态空间理论的基于状态空间理论的基于状态空间理论的matlabmatlabmatlab动力响应分析动力响应分析动力响应分析2 振型叠加法(mode summation me
4、thod) 主要思想：将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标（主坐标），使方程解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的动力响应。 主要依据：展开定理、模态正交性和线性叠加原理。=+ +Why Bother with Modal Models?Physical Coordinates = CHAOSModal Space = Simplicityq111201122q2120222q31203323BearingRotorBearingFoundation方程(1)与方程(2)计算量差多少？(2) 43212560000270000400001(1) 43
5、212568116164278116941432143214321xxxxxxxx振型叠加法主要计算过程1.特征值分析：特征值分析：求解系统的固有频率和模态振型求解系统的固有频率和模态振型2.坐标变换：坐标变换：将运动方程转换到模态空间将运动方程转换到模态空间3.Duhamel积分：积分：求解一系列单自由度系统振动方程求解一系列单自由度系统振动方程4.振型叠加：振型叠加：得到系统的物理响应得到系统的物理响应Solution of a SDOF system)(22tfpppnn 21ppptt-tt-tfthfptpptpp0dd02dd0n0d01dsine)(d)()(sincosenn零
6、输入响应零输入响应(初值问题初值问题)零状态响应零状态响应Solution of a SDOF system)(22tfpppnn n2d10T00T0 xpxpMUMU？Summation of modal equation solutionspUx 例题4.5 求图示系统在零初始条件下的响应 主要思路1. 利用影响系数法、牛顿第二定律或Lagrange方程列出系统的运动方程；2. 利用频率方程法或特征值分解法计算系统的固有频率与振型；3. 利用振型矩阵计算模态质量矩阵、模态刚度矩阵及模态力；4. 利用Duhamel积分求解单自由度系统的动力响应；5. 利用叠加原理和模态变换矩阵合成系统的物
7、理响应。解： 建立系统微分方程 000200000003212222222321222PlmglKhKhKhmglKhKhKhmglKhmlmlml 固有频率，主振型 00202222222222222mlmglKhKhKhmlmglKhKhKhmlmglKhB解得 lg1222mlkhlg2233mlkhlg由 0)(iiB.3 , 2 , 1i解得 111110121213构成 111201111321主质量矩阵 6000200032mlMMP主刚度矩阵 22186000220003khmglkhmglmglMK主坐标下的振动微分方程（令 ） xPlPlPlKMPP2000 Plkhmgl
8、mlkhmglmlPlmglml2)186(60)22(233 22322222112 即3)3(0)(33223222211plkhlmgmlmglkhmplmgm 利用杜哈梅积分 )cos1 (33.sin112120201101tmlPdlPmt)cos1 (310tmglP02) 1(cos3sin3.13230320303tlmPdtlPmt321313213212111201111) 1(cos3)cos1 (3)cos1 (32)cos1 (3) 1(cos3)cos1 (3332201033220103322010tmlPtmglPtmlPtmglPtmlPtmglP讨论几个问
9、题 振型叠加法的理论依据？展开定理，模态正交性，叠加原理展开定理，模态正交性，叠加原理 阻尼问题振型矩阵对阻尼矩阵正交性，振型矩阵对阻尼矩阵正交性，Rayleigh阻尼阻尼可以利用试验模态分析测量的阻尼比可以利用试验模态分析测量的阻尼比 振型叠加法的计算量？模态截断将振型方程凝聚（个数减少）模态截断将振型方程凝聚（个数减少）可以方便地只计算感兴趣的自由度响应可以方便地只计算感兴趣的自由度响应振型叠加法的基础（依据） 展开定理基于线性空间理论系统任一瞬时的响应都可以表示为各阶振型的线性组合，从而运动方程可以实现物理空间与模态空间的转换。 模态正交性模态振型对于质量矩阵、刚度矩阵正交，从而保证模态
10、空间中的运动方程是解耦的。 线性叠加原理模态空间中系统总响应等于各单自由度响应之和，从而可以独立求解各振型方程，再叠加得到系统的响应。阻尼矩阵呢？With regard to振型叠加法的计算量 几乎所有的工程结构的振动响应中低阶模态振动占主导地位，高阶振动影响极小，因此只采用低几阶模态进行振型叠加计算可以获得足够的精度（模态截断），这一思想在大量工程实践得到充分证明。)(1TTTtnnmmnnnnmmnnnnmFUUKUUMUmitfpppiiiiiii, 2 , 1 )(22 讨论几个问题 振型叠加法的理论依据？展开定理，模态正交性，叠加原理展开定理，模态正交性，叠加原理 阻尼问题振型矩阵对
11、阻尼矩阵正交性，振型矩阵对阻尼矩阵正交性，Rayleigh阻尼阻尼可以利用试验模态分析测量的阻尼比可以利用试验模态分析测量的阻尼比 振型叠加法的计算量？模态截断将振型方程凝聚（个数减少）模态截断将振型方程凝聚（个数减少）可以方便地只计算感兴趣的自由度响应可以方便地只计算感兴趣的自由度响应主要内容 1. 1. 1. 概述概述概述 2. 2. 2. 振型叠加法振型叠加法振型叠加法 3. 直接积分法 4. 4. 4. 基于状态空间理论的基于状态空间理论的基于状态空间理论的matlabmatlabmatlab动力响应分析动力响应分析动力响应分析ttttFxKxCxM 主要内容 1. 1. 1. 概述概
12、述概述 2. 2. 2. 振型叠加法振型叠加法振型叠加法 3. 3. 3. 直接积分法直接积分法直接积分法 4. 基于状态空间理论的matlab动力响应分析4. 基于状态空间理论的matlab动力响应分析 多自由度振动系统的运动方程为 )(tfkqqCqM （1） 引入一个辅助方程 0qMqM （2） 把方程（1） 、 （2）组合起来，有 0f(t)qqM00Kqq0MMC （3） 4. 基于状态空间理论的matlab动力响应分析 0f(t)qqM00Kqq0MMC （3） 可表示为 )(tEfHxxG （4） 式中 0MMCG，M00KH，0IE，qqx 式（4）又可以表示为 )(tBuAx
13、x （5） 式中 HGA1，EGB1，)()(ttfu 4. 基于状态空间理论的matlab动力响应分析 )(tBuAxx （5） 式（5）即为n自由度振动系统的状态方程。我们可以根据具体的要求定义相应的输出方程 )(tDuCXy (6) 注意这里的矩阵C并非是系统的阻尼矩阵。式（5） 、式（6）一起称为系统的状态空间模型。我们可以利用 Matlab 的控制工具箱和状态空间理论方便的研究机械振动系统的固有特性与振动响应。 4. 基于状态空间理论的matlab动力响应分析 对于下图所示二自由度系统，N/m10001K，N/m20002K，N/m30003K，11M，22M，系统阻尼假定为比例阻尼
14、：1，005. 0，系统激励为)10sin(1e2)(ttf，)5(cos(tan5)(12ttf。 4. 基于状态空间理论的matlab动力响应分析 （1） 建立系统的运动方程，写出建模原理和过程。 )()(00212132222121222112112121tftfxxkkkkkkxxccccxxmm （2） 以T21)(),(tftf为输入、 以T21)(),(txtx 为输出建立系统运动方程的状态空间描述。 CMKMC11，1 MD （3） 利用状态空间法设计 Matlab 程序计算系统在s100时间段内的振动加速度响应。 k1=1000; k2=2000; k3=3000;m1=1;
15、m2=2;alpha=1;beta=0.005;M=m1,0;0,m2;K=k1+k2,-k2;-k2,k2+k3;C=alpha*M+beta*K;n=size(M,1);Z=zeros(n);G=C M;M Z;H=K,Z;Z,-M;E=eye(n);Z;ssA=-GH;ssB=GE;ssC=-MK -MC;ssD=inv(M);t=0:0.01:10;f1=2*exp(sin(10*t);f2=5*atan(cos(5*t)+0.2*t);u=f1;f2;sys=ss(ssA,ssB,ssC,ssD);x0=zeros(2*n,1);y=lsim(sys,u,t);plot(t,y(:,1),t,y(:,2)
