1、M 数学试题 第 1 页 （共 4 页） 学校： 准考证号： 姓名： . （在此卷上答题无效）（在此卷上答题无效） 高 三 诊 断 性 测 试 数数 学学 本试卷共 4 页。满分 150 分。 注意注意事项事项： 1答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。 一
2、、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。要求的。 1 设集合220AxxxZ，0,1,2,3B ，则AB A0,1 B0,1,2 C1,0,1,2,3 D2, 1,0,1,2,3 2 532xx的展开式中的常数项为 A160 B80 C80 D160 3设复数123,z z z满足30z ，且12zz，则 A12zz B2212zz C1323zzzz D1323zzzz 4 若0,0ab，则“2ab”的一个必要不充分条件是 A111ab B
3、1ab C222ab D2ab 5 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法， 它是以神经网络为出发点的 在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为00GGLL D， 其中L表示每一轮优化时使用的学习率，0L表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，0G表示衰减速度已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：lg20.3010,lg30.4771） A11 B22 C227 D481 6 已知抛物线2:20C ypx p的焦点为F，过F且倾斜角为3的直
4、线交C于,A B两点，线段AB中点的纵坐标为3，则AB A83 B4 C8 D24 M 数学试题 第 2 页 （共 4 页） 7 关于函数 sin 2f xAx，有下列四个命题： 甲： f x在2755,单调递增； 乙：6是 f x的一个极小值点； 丙：3是 f x的一个极大值点； 丁：函数 yf x的图象向左平移3个单位后所得图象关于y轴对称 其中只有一个是假命题，则该命题是 A甲 B乙 C丙 D丁 8已知 f x是定义在R上的函数，且函数11yf x是奇函数，当12x 时， ln 12f xx， 则曲线 yf x在2x 处的切线方程是 A4yx Byx C22yx D26yx 二、二、选择
5、选择题：本题共题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得对的得 5 分，分，部分选对的得部分选对的得 2 分分，有选错的得有选错的得 0 分分。 9 “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：cm）近似服从正态分布2(100,10 )N已知2,XN 时，有(|)0.6827,PX (| 2 )0.9545
6、,P X(| 3 )0.9973P X下列说法正确的是 A该地水稻的平均株高约为100cm B该地水稻株高的方差约为100 C该地株高超过110cm的水稻约占68.27% D该地株高低于130cm的水稻约占99.87% 10若, 满足1sin2 ，1cos()2，则可以是 A6 B2 C56 D 11在正方体1111ABCDABC D中，,M N P分别为棱111,AB CC C D的中点，Q平面MNP，1BQAB，直线1BQ和直线MN所成角为，则 AMN1AC B的最小值为3 C,A M N P四点共面 DPQ平面1ACD 12已知1,2,3,nnnA B Cn 是直角三角形，nA是直角，内
7、角,nnnA B C所对的边分别为,nnna b c，面积为nS若2222221111114,3,33nnnnnnacabbcbc，则 A2nS是递增数列 B21nS是递减数列 Cnnbc存在最大项 Dnnbc存在最小项 M 数学试题 第 3 页 （共 4 页） 三三、填空填空题：本题共题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分。 13已知, a b是不共线的两个单位向量，则ab与ab的夹角为 14直线2ya x与曲线21xy y恰有 2 个公共点，则实数a的取值范围为 . 15写出一个同时具有下列性质的函数 f x 定义域为R；值域为,1；对任意12,0,x x
8、且12xx，均有 12120f xf xxx. 16 缀术是中国南北朝时期的一部算经，汇集了祖冲之和祖暅父子的数学研究成果 缀术中提出的 “缘幂势既同，则积不容异”被称为祖暅原理，其意思是：如果两等高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等该原理常应用于计算某些几何体的体积如图，某个西晋越窑卧足杯的上下底为互相平行的圆面，侧面为球面的一部分，上底直径为4 6cm，下底直径为6cm，上下底面间的距离为3cm，则该卧足杯侧面所在的球面的半径是_cm；卧足杯的容积是_cm3（杯的厚度忽略不计）. 四四、解答题：共、解答题：共 70 分分。解答应写出文字说明、证明过程或演算
9、步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （10 分） 已知等比数列 na的首项为2，前n项和为nS，且21,nnnSS S成等差数列 （1）求 na的通项公式； （2）设12nnb，求数列nna b的前10项和10T （ x表示不超过x的最大整数） 18 （12 分） 冬季两项是第 24 届北京冬奥会的比赛项目之一，它把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起其中 20km 男子个人赛的规则如下： 共滑行 5 圈（每圈 4km） ，前 4 圈每滑行 1 圈射击一次，每次 5 发子弹； 射击姿势及顺序为：第 1 圈滑行后卧射，第 2 圈滑行后立射，第 3 圈滑行后卧射，第 4
10、 圈滑行后立射，第 5 圈滑行直达终点； 如果选手有n发子弹未命中目标，将被罚时n分钟； 最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜 已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢 36 秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为45和34假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影响 （1）若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求甲胜乙的概率； （2）若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由 M 数学试题 第 4 页 （共 4 页） PAVBC19 （12 分） 如图，在三棱锥VABC中，VAB和ABC均是边长为4的等边三角形P是棱VA上的点，
11、23VPVA，过P的平面与直线VC垂直，且平面平面VABl （1）在图中画出l，写出画法并说明理由； （2）若直线VC与平面ABC所成角的大小为3，求过l及点C的平面与平面ABC所成的锐二面角的余弦值 20 （12 分） ABC的内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，6a ，12cos2bBc （1）求A的大小； （2）M为ABC内一点，AM的延长线交BC于点D， ，求ABC的面积 请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使ABC存在，并解决问题 M为ABC的外心，4AM ； M为ABC的垂心，3MD ； M为ABC的内心，3 3AD 21 （12 分） 已知椭圆C的
12、中心为O，离心率为22圆O在C的内部，半径为63,P Q分别为C和圆O上的动点，且,P Q两点的最小距离为613 （1）建立适当的坐标系，求C的方程； （2）,A B是C上不同的两点，且直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上求证：以AB为直 径的圆过定点 22 （12 分） 已知函数 1lnaf xxx， 12 e1xg xa x，其中aR （1）讨论( )f x的单调性； （2）当503a时，是否存在12,x x，且12xx，使得1,2iif xg xi？证明你的结论 数学参考答案及评分细则 第 1 页（共 16 页） 高 三 诊 断 性 测 试 数学参考答案及评分细则 评分说明： 1
13、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 40 分。 1B 2B 3D 4B 5D 6C 7A 8D 二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每
14、小题 5 分，满分 20 分。全部选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9ABD 10AC 11BD 12ACD 三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 20 分。 132；143,13；15答案不唯一，如： 11,1,11,21,1xxf xf xxxx 等； 165；54 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17本小题主要考查等差数列、等比数列、递推数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力和创新能力等，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等，考查逻
15、辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和创新性满分 10 分 解法一： （1）因为21,nnnSS S成等差数列，所以21nnnnSSSS， 1 分 所以211nnnaaa， 3 分 即212nnaa ，设 na的公比为q，则2q ， 4 分 所以1222nnna 6 分 （2）依题意，*21221 121,22kkkkbk kbk k NN， 7 分 所以101 13 399224410 10Ta ba ba ba ba ba b 8 分 13924102525aaaaaa 13913925225aaaaaa 9 分 13925aaa 391 2225 2 所以35111041 22252T
16、 ， 数学参考答案及评分细则 第 2 页（共 16 页） 两式相减得53591111111021414232222525221433T ， 所以11101422 +318699T 10 分 解法二： （1）因为21,nnnSS S成等差数列，所以122nnnSSS， 1 分 设 na的公比为q， 若1q ， 则2,2nnaSn ，1246,24nnnSSnSn ， 所以122nnnSSS， 与122nnnSSS矛盾，不合题意； 2 分 若1q ，则111nnaqSq，+1+2111211,11nnnnaqaqSSqq， 3 分 所以+1+21111121111nnnaqaqaqqqq， 整理得
17、，+1+22nnnqqq， 即220qq， 解得1q （舍去）或2q ， 4 分 所以1222nnna 6 分 （2）依题意，*21221 121,22kkkkbk kbk k NN， 7 分 所以101 1223 3445 566778 89910 10Ta ba ba ba ba ba ba ba ba ba b 8 分 1234567891023+45aaaaaaaaaa 9 分 23456122222322 78910422522 35791 2223 24252 2 1696512+2560 3186 10 分 解法三： （1）因为21,nnnSS S成等差数列，所以212nnnSS
18、S， 1 分 当1n 时，1322SSS，化简得322aa ， 2 分 设 na的公比为q，所以2q ， 4 分 当2q 时，1223nnS ，因此122223nnS ， 1322+2+1222222242+=3333nnnnnnSS ， 满足212nnnSSS，故2q 符合题意 所以12( 2)( 2)nnna 6 分 数学参考答案及评分细则 第 3 页（共 16 页） （2） 依题意，11b ，21b ，32b ，42b ，53b ，63b ，74b ，84b ，95b ，105b ， 7 分 所以 2345678910102( 2)2( 2)2( 2)3 ( 2)3 ( 2)4( 2)4
19、( 2)5( 2)5( 2)T 8 分 2345678910 2( 2) 2 ( 2)( 2) 3 ( 2)( 2) 4 ( 2)( 2) 5 ( 2)( 2) . 9 分 4579223 2425 2 2 16965122560 3186 . 10 分 18本小题主要考查独立事件的概率、互斥事件的概率，二项分布、数学期望等基础知识；考查数学建模能力，运算求解能力，逻辑推理能力，创新能力以及阅读能力等；考查统计与概率思想、分类与整合思想等；考查数学抽象，数学建模和数学运算等核心素养；体现应用性和创新性满分 12 分 解法一： （1）甲滑雪用时比乙多5 36180秒3分钟，因为前三次射击，甲、乙
20、两人的被罚时间相同，所以在第四次射击中，甲至少要比乙多命中 4 发子弹 设“甲胜乙”为事件 A，“在第四次射击中，甲有 4 发子弹命中目标，乙均未命中目标”为事件 B， “在第四次射击中，甲有 5 发子弹命中目标，乙至多有 1 发子弹命中目标”为事件 C， 1 分 依题意，事件 B 和事件 C 是互斥事件，A=B+C， 2 分 4555411551414113B,C5545444PCPC， 4 分 所以， 69ABC12500PPP. 即甲胜乙的概率为6912500. 5 分 （2）依题意得，甲选手在比赛中未击中目标的子弹数为X，乙选手在比赛中未击中目标的子弹数为Y，则1120,20,54XB
21、YB， 7 分 所以甲被罚时间的期望为111 2045EX （分钟） ， 8 分 乙被罚时间的期望为111 2054EY （分钟） ， 9 分 又在赛道上甲选手滑行时间慢 3 分钟， 所以甲最终用时的期望比乙多 2 分钟. 11 分 因此，仅从最终用时考虑，乙选手水平更高. 12 分 解法二： （1）同解法一 5 分 数学参考答案及评分细则 第 4 页（共 16 页） ONPDCBVAM（2）设甲在一次射击中命中目标的子弹数为，则45,5B，所以4545E ，所以甲在四次射击中命中目标的子弹数的期望为416E， 7 分 设乙在一次射击中命中目标的子弹数为，则35,4B，所以315544E ，所
22、以乙在四次射击中命中目标的子弹数的期望为415E， 9 分 所以在四次射击中，甲命中目标的子弹数的期望比乙多 1，所以乙被罚时间的期望比甲多 1 分钟，又因为在赛道上甲的滑行时间比乙慢 3 分钟，所以甲最终用时的期望比乙多 2 分钟， 11 分 因此，仅从最终用时考虑，乙选手水平更高. 12 分 19本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，直线与平面所成角、二面角等基础知识；考查空间想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力等；考查化归与转化思想，数形结合思想，函数与方程思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性和综合性满分 12 分 解法一： （1）如图，在
23、VAC内过P作PMVC，垂足为M， 在VBC内过M作MNVC交VB于N， 连结PN，则直线PN即为直线l. 2 分 理由如下：因为PMVC，MNVC，PMMNM， 所以VC 平面PMN， 由于过空间一点与已知直线垂直的平面有且只有一个， 所以平面PMN与平面重合， 因为平面PMN平面VABPN，所以直线PN即为直线l. 4 分 （2）因为VAB和ABC均为等边三角形， 所以,VAVB ACBC， 又因为VCVC,所以VACVBC， 所以PVMNVM， 又VMVM，所以RtRtVPMVNM，所以VPVN，所以23VNVB. 5 分 如图，设AB的中点为D，连结,VD CD， 因为VAB和ABC均
24、为等边三角形， 所以,VAVB ACBC，所以,ABVD ABCD， 又因为VDCDD， 所以AB 平面VCD， 因为AB 平面ABC， 所以平面ABC 平面VCD. 在VCD中，作VO CD，垂足为O， 因为平面ABC平面VCDCD，VO平面VCD， 所以VO 平面ABC， 所以VCD是直线VC与平面ABC所成的角，所以3VCD. 7 分 因为VAB和ABC均是边长为4的等边三角形，所以2 3VDDC, 所以VCD是等边三角形，所以3VO ，3DOOC. 以O为原点， 分别以,OC OV的方向为y轴和z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标lNPAVBCM 数学参考答案及评分细则 第 5 页（共
25、 16 页） lQNPAVBCGNPODAVBC系Oxyz， 则2,3,0 ,2,3,0 ,0, 3,0 ,0,0,3ABCV， 8 分 所以0,3,3 ,2, 2 3,0 ,4,0,0 ,CVCAAB 1245 3,13333CPCVCA ,28,0,033PNAB. 过l及点C的平面为平面CPN， 设平面CPN的法向量为( , , )x y zn， 则0,0,CPPNnn即45 30,3380.3xyzx取(0, 3,5)n， 即平面CPN的一个法向量为(0, 3,5)n. 10 分 易知，平面ABC的一个法向量为(0,0,1)m， 11 分 所以55 7cos,142 7m nm nmn
26、， 所以过l及点C的平面与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为5 714 12 分 解法二： （1）如图，在VAB内过P作PNAB，交VB于N， 则直线PN即为直线l. 2 分 理由如下： 取VC的中点Q，连结,AQ BQ， 因为VAB和ABC均为等边三角形， 所以,VAAC VBBC，所以,VCAQ VCBQ， 又因为AQBQQ，所以VC 平面ABQ， 又因为VC 平面，所以平面平面ABQ， 又因为平面平面VABl，平面ABQ平面VABAB， 所以ABl，所以直线PN即为直线l. 4 分 （2）由（1）知，PNAB，因为23VPVA，所以23VNVB. 5 分 设AB的中点为D，连结VD，交P
27、N于G，连结CG， 因为VAB和ABC均为等边三角形， 所以,VAVB ACBC，所以,ABVD ABCD， 又因为VDCDD， 所以AB 平面VCD，AB 平面ABC， 所以平面ABC 平面VCD. 在VCD中，作VO CD，垂足为O， 因为平面ABC平面VCDCD，VO平面VCD，所以VO 平面ABC， yzNPODAVBCx 数学参考答案及评分细则 第 6 页（共 16 页） 所以VCD是直线VC与平面ABC所成的角，所以3VCD， 7 分 因为VAB和ABC均是边长为4的等边三角形，所以2 3VDDC,3VDC， 因为ABPN，所以12 333DGDV由（1）知，过l及点C的平面为平面
28、CPN， 因为AB 平面CPN，PN 平面CPN，所以AB平面CPN， 8 分 设平面CPN平面ABCl，因为AB 平面ABC，所以ABl， 因为AB 平面VCD，CG 平面VCD，CD平面VCD，所以,ABCG ABCD， 所以,CGl CDl，又因为CG 平面CPN，CD平面ABC， 所以GCD为平面CPN与平面ABC所成的锐二面角的平面角， 10 分 在GCD中， 由余弦定理得，2222cosCGDGDCDG DCGDC，2 213CG , 11 分 所以2225 7cos214CGDCDGGCDCG DC， 所以过l及点C的平面与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为5 714 12 分
29、20本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和综合性满分 12 分 解法一： （1）在ABC中，由余弦定理得222cos2acbBac， 1 分 又因为6a，12cos2bBc， 所以2221222acbbcac， 2 分 整理得2236bcbc. 3 分 在ABC中，由余弦定理得22362cosbcbcA， 所以2cosbcbcA，即1cos2A. 4 分 又因为(0, )A，所以3A 5 分 （2）选 6 分 因为M为ABC的内心，所以1=26
30、BADCADBAC， 由ABCABDACDSSS， 7 分 得111sinsinsin232626bcc ADb AD， 因为=3 3AD，所以313 3()22bcbc，即3bcbc. . 8 分 数学参考答案及评分细则 第 7 页（共 16 页） 由（1）可得2236bcbc，即2()336bcbc， 9 分 所以2()33609bcbc，即(9)(4)09bcbc， 10 分 又因为0bc ，所以36bc ， 11 分 所以113sin369 32322ABCSbc 12 分 解法二： （1）因为6a ，12cos2bBc， 所以2 cos2baBc， 1 分 在ABC中，由正弦定理得s
31、in2sincos2sinBABC， 即sin2sincos2sin()BABAB， 2 分 即sin2sincos2sincos2cossinBABABAB， 即sin2cossinBAB， 3 分 因为0,B， 所以sin0B ，故1cos2A. 4 分 又因为(0, )A，所以3A 5 分 （2）选 6 分 因为M为ABC的垂心， 所以222BMDMBDACBACB ，又3MD ， 7 分 所以在MBD中，tan3tanBDMDBMDACB， 同理可得3tanCDABC， 8 分 又因为6BDCD，所以3tan+ 3tan6ABCACB，即tan+tan2 3ABCACB， 9 分 又因
32、为在ABC中，tantan3ABCACBBAC ， 所以tantan31tantanABCACBABCACB ， 因此tantan=3ABCACB 10 分 故tantanABCACB，为方程22 330 xx两根，即tan=tan= 3ABCACB， 因为0,ABCACB， 所以=3ABCACB，所以ABC为等边三角形， 11 分 所以21369 322ABCS 12 分 解法三： （1）同解法一. 5 分 （2）选 6 分 因为M为ABC的垂心， 数学参考答案及评分细则 第 8 页（共 16 页） 所以AMBACB，26ABMBAC， 8 分 所以在ABM中，由正弦定理得sinsinAMA
33、BABMAMB， 即sinsin6AMABACB 9 分 又因为在ABC中， 由正弦定理得sinsin3ABBCACB， 10 分 所以sinsin63AMBC，因为6a ，所以2 3AM . 11 分 又因为3MD ，所以116 (2 33)9 322ABCSa AD . 12 分 解法四： （1）同解法一. 5 分 （2）选 6 分 因为M为ABC的内心，所以1=26BADCADBAC. 在ABD中，由正弦定理得sinsin6BDADB，因为3 3AD ，所以3 32sinBDB， 同理可得3 33 32sinsin()3CDCB. 7 分 又因为6BDCD，所以3 33 312sinsi
34、n()3BB， 即4sinsin()3 sinsin()33BBBB， 即134sinsin()3(sinsincos )322BBBBB， 8 分 即4sinsin()3sin()36BBB， 即4sin()sin()3sin()66666BBB， 9 分 即31314sin()cos()sin()cos()3sin()262626266BBBBB， 数学参考答案及评分细则 第 9 页（共 16 页） 即22314sin ()cos ()3sin()46466BBB， 即24sin ()3sin()1066BB ，即sin()14sin()1066BB， 10 分 因为3A,所以203B，所
35、以5( ,)666B， 所以sin()06B，故sin()16B， 即62B，即3B，所以ABC为等边三角形， 11 分 所以21369 322ABCS. 12 分 解法五： （1）同解法一. 5 分 （2）选 6 分 因为M为ABC的内心，所以1=26BADCADBAC. 又因为3 3AD ， 在ABD中，由余弦定理得2223=2723 39272BDcccc， 同理可得22927CDbb 7 分 又因为1sin26=1sin26ABDACDAB ADSBDABCDSACAC AD， 所以2222927927cccbbb，即()3()0bcbcbc， 故bc或3bcbc. 8 分 （i）当b
36、c时，ABC为等边三角形，所以21369 322ABCS. （ii）当3bcbc时，由（1）知2236bcbc，即2()336bcbc， 9 分 所以2()33609bcbc，即(9)(4)09bcbc， 10 分 因为0bc ，所以36bc . 11 分 又因为3A，所以113sin369 32322ABCSbc 综上所述，9 3ABCS 12 分 说 明 ： 设 ABC的 外 接 圆 半 径 为R， 则 在 ABC中 ， 由 正 弦 定 理 得 数学参考答案及评分细则 第 10 页（共 16 页） 624 3sinsin3BCRA，即2 3R ，因为M为外心，所以2 3AM ，与4AM 矛
37、盾，故不能选 21本小题主要考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与圆、椭圆的位置关系，平面向量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，直观想象能力和创新能力等；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性，综合性与创新性满分 12 分 解法一： （1）以O为坐标原点，椭圆C的长轴、短轴所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图. 1 分 设椭圆的长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c， 依题意得2222,2661,33,cababc 解得2,1,1,abc 3 分 所以C的方程为2212xy 4 分 （2）因为直线AB与以
38、OA为直径的圆的一个交点在圆O上， 所以直线AB与圆O相切 5 分 （i）当直线AB垂直于x轴时，不妨设6666,3333AB， 此时0OA OB，所以OAOB，故以AB为直径的圆过点O 6 分 （ii） 当直线AB不垂直于x轴时， 设直线AB的方程为ykxm，1122,A x yB xy 因为AB与圆O相切，所以O到直线AB的距离2631mk， 即223220mk 7 分 由22,1,2xykxmy得222214220kxkmxm， 8 分 所以2121222422,2121kmmxxx xkk， 9 分 1212OA OBx xy y1212x xkxmkxm2212121kx xkm x
39、xm 2222222412121mkmkkmmkkxyABO 数学参考答案及评分细则 第 11 页（共 16 页） 2222212242121kmkmkmmkk 22232221mkk0， 所以OAOB，故以AB为直径的圆过点O 综上，以AB为直径的圆过点O 12 分 解法二： （1） 同解法一 4 分 （2）因为直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上， 所以直线AB与圆O相切 5 分 设直线AB与圆O相切于点00,M xy （i）当00y 时，直线AB垂直于x轴，不妨设6666,3333AB， 此时0OA OB，所以OAOB，故以AB为直径的圆过点O 6 分 （ii）当00y 时，直线
40、AB的方程为0000 xyyxxy ，因为220023xy， 所以直线AB的方程为00023xyxyy 7 分 设1122,A x yB xy，由000222,312xyxyyxy 得 22220000189248 180 xyxx xy ， 8 分 所以20012122222000024818,189189xyxxx xxyxy， 9 分 因为220023xy，所以2001212220024184,6969xxxxx xxx， 222OAOBAB 22222OMAMOMBMAMBM 222OMAM BM423AM BM220020010042113xxxxxxyy 220121200042
41、13xx xxxxxy 数学参考答案及评分细则 第 12 页（共 16 页） 22220000220001842442 136969xxxxyxx 222200002220001842442 12369693xxxxxxx 40220049422323694433xxx 0. 所以222OAOBAB，即OAOB，故以AB为直径的圆过点O 综上，以AB为直径的圆过点O 12 分 解法三： （1）同解法一 4 分 （2）因为直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上， 所以直线AB与圆O相切 5 分 （i） 当直线AB不垂直于x轴时， 设直线AB的方程为ykxm，1122,A x yB xy 因
42、为AB与圆O相切，所以O到直线AB的距离2631mk， 即223220mk 6 分 由22,1,2xykxmy得222214220kxkmxm， 7 分 所以2121222422,2121kmmxxx xkk， 8 分 121222221myyk xxmk， 2222121212122221mky ykxmkxmk x xmk xxmk， 2222212122222223220212121mmkmkx xy ykkk 设,P x y是以AB为直径的圆N上的任意一点， 由0PA PB，得 12120 xxxxyyyy， 10 分 化简得22121212120 xyxxxyyyx xy y， 故圆
43、N的方程为22224202121kmmxyxykk，它过定点O 11 分 数学参考答案及评分细则 第 13 页（共 16 页） （ii）当直线AB垂直于x轴时，不妨设6666,3333AB， 此时0OA OB，所以OAOB，故以AB为直径的圆过点O 综上，以AB为直径的圆过点O 12 分 解法四： （1）同解法一 4 分 （2）因为直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上， 所以直线AB与圆O相切 5 分 （i） 当直线AB不垂直于x轴时， 设直线AB的方程为ykxm，1122,A x yB xy 因为AB与圆O相切，所以O到直线AB的距离2631mk， 即223220mk 6 分 由22
44、,1,2xykxmy得222214220kxkmxm， 7 分 所以2121222422,2121kmmxxx xkk， 8 分 121222221myyk xxmk， 以AB为直径的圆N的圆心为N1212,22xxyy，即222,21 21kmmkk 半径2ABr 221112kxx 222222121222211168814222121kk mmkxxx xkk2222222211688142222121kkmkkmkk， 以AB为直径的圆的方程为 22222222221422212121kmmkkmxykkk ， 整理得22224202121kmmxyxykk， 故以AB为直径的圆过定点
45、O 11 分 （ii）当直线AB垂直于x轴时，不妨设6666,3333AB， 此时0OA OB，所以OAOB，故以AB为直径的圆过点O 综上，以AB为直径的圆过点O 12 分 22本小题主要考查导数，函数的单调性、零点、不等式等基础知识；考查逻辑推理能力， 数学参考答案及评分细则 第 14 页（共 16 页） 直观想象能力，运算求解能力和创新能力等；考查函数与方程思想，化归与转化思想，分类与整合思想等；考查逻辑推理，直观想象，数学运算等核心素养；体现基础性、综合性和创新性满分 12 分 解法一： （1）依题意， fx的定义域为0,， 由 1lnaf xxaxR，得 22111faxaxxxx，
46、 1 分 当1a 时， 0fx 恒成立，所以 fx在0,单调递增； 2 分 当1a 时，令 0fx ，得1xa ， 当0,1xa 时， 0fx ，所以 fx在0,1a 单调递减； 当1,xa 时， 0fx ，所以 fx在1,a 单调递增； 综上，当1a 时， fx在0,单调递增； 当1a 时， fx在0,1a 单调递减，在1,a 单调递增 4 分 （2）设 hfxxg x，则 121313 eexxhfa xxaxxa xx， 5 分 当3x 时， 0hx 恒成立，所以 hx在3,单调递增， 又因为503a，所以 22213ln31ln3103eeehaaaa ， 所以 0hx ， hx在3,
47、不存在零点； 6 分 当03x时，设 1exxx，则 1e1xx， 当01x时， 0 x，所以 x在0,1单调递减； 当13x时， 0 x，所以 x在1,3单调递增； 所以 10 x，即1exx，因为0 x ，所以111exx， 7 分 又因为503a且03x，所以3 0a x，所以133exa xa xx， 所以 22231 311ha xaxa xaxaxxxx， 8 分 当103a时，函数 21 31xaxa xa的对称轴为3102axa， 所以 x在0,3单调递增，所以 010 xa ， 所以 0hx ，所以 hx在0,3单调递增； 9 分 数学参考答案及评分细则 第 15 页（共 1
48、6 页） 当1533a时， 22161 341510109aa aaa ， 所以 0 x，所以 0hx ，所以 hx在0,3单调递增； 10 分 综上可知，当503a时，均有 hx在0,3单调递增， 又因为 1110haa ，所以 hx在0,3恰有一个零点1, 11 分 故当503a时， hx在0 +，恰有一个零点1， 因此不存在12,x x，且12xx，使得 1,2iif xg xi 12 分 解法二： （1）同解法一； 4 分 （2）记 F xf xg x，则 11ln2 e1xaF xxa xx， 则 21221 ee3113 eexxxxaaxxaFxa xxxx， 5 分 记 221
49、 ee3ee31 exxxh axaaxxxxax， 7 分 设 eexxx，则 eexx， 当01x时， 0 x，所以 x在0,1单调递减； 当1x 时， 0 x，所以 x在1,+单调递增； 所以 10 x，即eexx， 8 分 所以，222585851ee3ee3e5128333333xhxxxxxxxxxx， 因为2124 5 8160 ，所以251280 xx，所以503h， 9 分 又 01 e0 xhx 所以当50,03ax时， 0h a ， 10 分 所以 0Fx， F x在0,上单调递增，又因为 10F， 所以 F x在0,上恰有1个零点1， 11 分 因此不存在12,x x，
50、且12xx，使得 1,2iif xg xi 12 分 解法三： （1）同解法一； （2）设 hfxxg x，则 121313 eexxhfa xxaxxa xx， 5 分 数学参考答案及评分细则 第 16 页（共 16 页） 当3x 时， 0hx 恒成立，所以 hx在3,单调递增， 又因为503a，所以 22213ln31ln3103eeehaaaa ， 所以 0hx ， hx在3,不存在零点； 6 分 当03x时，设 1exxx，则 1e1xx， 当01x时， 0 x，所以 x在0,1单调递减； 当13x时， 0 x，所以 x在1,3单调递增； 所以 10 x，即1exx，因为0 x ，所以
