1、高 三 诊 断 性 测 试数学参考答案及评分细则评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 40 分。 1B 2B 3D 4B 5D 6C
2、7A 8D二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 20 分。全部选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9ABD 10AC 11BD 12ACD三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 20 分。 - 1 3 11 , x 1,13 ；14 - ,1 1 , f x f x x；15答案不唯一，如： ( ) = - ( ) = 2 3 2x -x 1, x1等；165 ； 54 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17本小题主要考查等差数列、等比数列、递推数列及数列求和等基础知识，
3、考查运算求解能力、逻辑推理能力和创新能力等，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和创新性满分 10 分解法一：（1）因为 S +2 ,S ,S +1 成等差数列，所以 Sn - Sn+2 = Sn+1 - Sn ，1 分n n n所以 a + a + a +- - = ，3 分n 2 n 1 n 1a + = - a + ，设 a 的公比为 q ，则 q = -2 ，4 分 即 2 2 1n nn所以 ( ) ( )a = -2 -2 = -2 6 分n-1 nn2 -1+1 2 +1k k（2）依题意， ( ) (
4、 )b - = = k k b = = k k N , N ， 7 分* * 2k 1 2k 2 2 所以T = (a b + a b + 8 分10 1 1 3 3= (a1 + 2a3 += (a + a + 9 分1 2 3= -(a1 + 2a3 +=1 2 + 2 2 +3所以 4T =1 23 + 2 25 + 1 ，10数学参考答案及评分细则 第 1页（共 16页）两式相减得 ( ) 2 1- 4 14 25-3T = 2 + 2 + 2 + 5 2 = - 5 2 = - 2 -3 5 11 11 11 ，101- 4 3 3 14 2所以 2 + 3186T = = 10 分
5、11 109 9解法二：（1）因为 S +2 ,S ,S +1 成等差数列，所以 Sn+1 + Sn+2 = 2Sn ，n n n1 分 设a 的公比为 q ，n若 q =1，则 a = -2,S = -2n ，S + + S + = - n - S = - n ，所以 S + + S + S ，n n n n n n n n1 2 4 6, 2 4 1 2 2S +1 + S +2 = 2S 矛盾，不合题意； 2 分 与n n n若 q 1，则 ( )( ) ( ) a1 1- q a 1- q a 1- qn n+1 n+2S = S = ,S =， ， 3 分1 1n - - -n+1
6、n+21 q 1 q 1 q( ) ( ) ( ) a q a q a q1 1- n+1 1 1- n+2 2 1 1- n 所以 + = 1- q 1- q 1- q，整理得，qn+1 + qn+2 = 2qn ，即 q2 + q - 2 = 0 ，解得 q =1（舍去）或 q = -2 ， 4 分所以 a = -2(-2) = (-2) 6 分n-1 nn2k -1+1 2k +1（2）依题意， ( ) ( )b - k k N ,b k k N ， 7 分= = * = = *2k 1 2k 2 2 所以T = (a b + a b )+ (a b + a b )+ (a b + a
7、b )+ (a b + a b )+ (a b + a b ) 8 分10 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10= ( 1 + 2 )+ 2( 3 + 4 )+ 3( 5 + 6 )+4( 7 + 8 )+ 5( 9 + 10 ) 9 分a a a a a a a a a a= - + - + - + - + - + - 1 ( 2) ( 2) 2 ( 2) ( 2) 3( 2) ( 2) 2 3 4 5 6+ - + - + - + - 4( 2)7 ( 2)8 5 ( 2)9 ( 2)10 =1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5
8、2 = 2 +16 + 96 + 512+25603 5 7 9= 3186 10 分 解法三：（1）因为 S +2 ,S ,S +1 成等差数列，所以 2Sn = Sn+2 + Sn+1 ， 1 分n n n当 n =1时， 2S = S + S ，化简得 a = - a ， 2 分3 2 2 1 3 2设a 的公比为 q ，所以 q = -2 ， 4 分n当 q = -2 时， ( )-2 - -2n+1S = ，因此 2Sn n3- - (- ) n+12 2 2 = ，3( ) ( ) ( ) ( )+ + + - - - n+1n 3 n 2 n 2 2 2 2-2 - -2 -2
9、- -2 -4 + -2 S +S = + = = ，n+2 n+13 3 3 3满足 2S = S + + S + ，故 q = -2 符合题意n n 2 n 1所以 a = -2(-2)n-1 = (-2)n 6 分n数学参考答案及评分细则 第 2页（共 16页）（2）依题意， 10 5b1 =1，b2 =1，b3 = 2 ，b = ，b = ，b = ，b = ，4 2 5 3 6 3 7 4 b = ，8 4 b = ，9 5 b = ，7 分所以T10 = -2 + (-2)2 + 2(-2)3 + 2(-2)4 + 3(-2)5 + 3(-2)6 + 4(-2)7 + 4(-2)8
10、 + 5(-2)9 + 5(-2)10 8 分= - + - 2 + - 3 + - 4 + - 5 + - 6 + - 7 + - 8 + - 9 + - 10 2 ( 2) 2 ( 2) ( 2) 3 ( 2) ( 2) 4 ( 2) ( 2) 5 ( 2) ( 2) .9 分= 2 + 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 = 2+16+96+512+ 25604 5 7 9= 3186 .10 分18本小题主要考查独立事件的概率、互斥事件的概率，二项分布、数学期望等基础知识；考查数学建模能力，运算求解能力，逻辑推理能力，创新能力以及阅读能力等；考查统计与概率思想、分类与整合思想等；考
11、查数学抽象，数学建模和数学运算等核心素养；体现应用性和创新性满分 12 分解法一：（1）甲滑雪用时比乙多536 =180 秒 = 3分钟，因为前三次射击，甲、乙两人的 被罚时间相同，所以在第四次射击中，甲至少要比乙多命中 4 发子弹设“甲胜乙”为事件 A，“在第四次射击中，甲有 4 发子弹命中目标，乙均未命中目标” 为事件 B， “在第四次射击中，甲有 5 发子弹命中目标，乙至多有 1 发子弹命中目标”为事件 C， 1 分依题意，事件 B 和事件 C 是互斥事件，A=B+C， 2 分4 5 5 5 4 1 4 1 4 1 1 3( ) ( )B = , C = + 1 1P C P C5 5
12、5 5 4 5 4 4 4，4 分 69P A = P B + P C = . 12500所以， ( ) ( ) ( )69即甲胜乙的概率为 . 5 分12500（2）依题意得，甲选手在比赛中未击中目标的子弹数为 X ，乙选手在比赛中未击中目标的子弹数为Y ，则X 1 1， 7 分 5 4 11 EX =1 20 = 4 （分钟），8 分 所以甲被罚时间的期望为 511 EY =1 20 = 5（分钟）， 9 分 乙被罚时间的期望为4 又在赛道上甲选手滑行时间慢 3 分钟，所以甲最终用时的期望比乙多 2 分钟. 11 分因此，仅从最终用时考虑，乙选手水平更高. 12 分解法二：（1）同解法一5
13、 分数学参考答案及评分细则 第 3页（共 16页）x 4 4（2）设甲在一次射击中命中目标的子弹数为x ，则 Ex = = ，所，所以 5 4 5 5 以甲在四次射击中命中目标的子弹数的期望为 4Ex =16 ，7 分设乙在一次射击中命中目标的子弹数为h ，则h 3 ，所以 Eh = 5 = ，所3 15 4 4 4以乙在四次射击中命中目标的子弹数的期望为 4Eh =15 ，9 分 所以在四次射击中，甲命中目标的子弹数的期望比乙多 1，所以乙被罚时间的期望比 甲多 1 分钟，又因为在赛道上甲的滑行时间比乙慢 3 分钟，所以甲最终用时的期望比 乙多 2 分钟， 11 分 因此，仅从最终用时考虑，
14、乙选手水平更高. 12 分19本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，直线与平面所成角、二面角等基础知识；考查空间想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力等；考查化归与转化思想，数形结合思想，函数与方程思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性和综合性满分 12 分 解法一：（1）如图，在 VAC 内过 P 作 PM VC ，垂足为 M ，V在 VBC 内过 M 作 MN VC 交VB 于 N ，M连结 PN ，则直线 PN 即为直线l . 2 分理由如下：因为 PM VC ， MN VC ， PM M ，lPN所以VC 平面 PMN ，AC由于过空间一点与
15、已知直线垂直的平面有且只有一个，所以平面 PMN 与平面a 重合，B因为平面 PMN 平面VAB = PN ，所以直线 PN 即为直线l . 4 分（2）因为 VAB 和 ABC 均为等边三角形，所以VA =VB, AC = BC ，又因为VC =VC ,所以 VACVBC ，所以 PVM = NVM ，又VM =VM ，所以 RtVPMRtVNM ，所以VP =VN ，所以 2 VN = VB . 5 分3 如图，设 AB 的中点为 D ，连结VD,CD ，V因为 VAB 和 ABC 均为等边三角形，M所以VA =VB, AC = BC ，所以 AB VD, AB CD ，P又因为VD ，所
16、 以 AB 平面VCD ，因为 AB 平面 ABC ，所以平面 ABC 平面VCD .AN COD在 VCD中，作VO CD，垂足为O，B因为平面 ABC 平面VCD = CD，VO 平面VCD ，所以VO 平面 ABC ，所以 VCD 是直线VC 与平面 ABC 所成的角，所以 VCD = .7 分3因为 VAB 和 ABC 均是边长为 4 的等边三角形，所以VD = DC = 2 3 ,所以 VCD 是等边三角形，所以VO = 3， DO = OC = 3 .以 O为原点，分别以OC,OV 的方向为 y 轴和 z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标数学参考答案及评分细则 第 4页（共 16
17、页）系 O - xyz ，则 A(-2,- 3,0),B(2,- 3,0),C (0, 3,0),V (0, 0,3)，8 分所以CV = (0,- 3,3),CA = (-2,-2 3,0), AB = (4, 0, 0),4 5 3 CP CV CA = = = + = - - , ,1 , PN AB ,0,0 .3 3 3 3 3 3 过 l 及点C 的平面为平面CPN ，设平面CPN 的法向量为 n = (x, y, z)，PzVCP则 PNn n =0,0,4 5 3- x - y + z = 3 3即 =8x 0.30,取 n = (0, 3,5) ，ADNBOxCy即平面CPN
18、 的一个法向量为 n = (0, 3,5) . 10 分易知，平面 ABC 的一个法向量为 m = (0, 0,1) ， 11 分m n 5 5 7所以 cos = = =m n 2 7 14，5 7所以过l 及点C 的平面与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为 12 分14 解法二：（1）如图，在 VAB 内过 P 作 PNAB ，交VB 于 N ，则直线 PN 即为直线l .2 分 理由如下：V取VC 的中点Q ，连结 AQ,BQ ，因为 VAB 和 ABC 均为等边三角形，所以VA = AC,VB = BC ，所以VC AQ,VC BQ ，PlQ又因为 AQ ，所以VC 平面 ABQ
19、，NA C又因为VC 平面a ，所以平面a平面 ABQ ， 又因为平面a 平面VAB = l ，平面 ABQ 平面VAB = AB ，B所以 ABl ，所以直线 PN 即为直线l .4 分VP = 2VA，所以 2（2）由（1）知， PNAB ，因为 VN = VB . 5 分3 3设 AB 的中点为 D ，连结VD ，交 PN 于 G ，连结CG ，V因为 VAB 和 ABC 均为等边三角形，所以VA =VB, AC = BC ，所以 AB VD, AB CD ，P又因为VD ，GN所以 AB 平面VCD ， AB 平面 ABC ，A CO所以平面 ABC 平面VCD . DB在 VCD中，
20、作VO CD，垂足为O，因为平面 ABC 平面VCD = CD，VO 平面VCD ，所以VO 平面 ABC ，数学参考答案及评分细则 第 5页（共 16页）所以 VCD 是直线VC 与平面 ABC 所成的角，所以 VCD = ，7 分3因为 VAB 和 ABC 均是边长为 4 的等边三角形，所以VD = DC = 2 3 , VDC = ，31 2 3因为 ABPN ，所以 DG = DV = 由（1）知，过l 及点C 的平面为平面CPN ，3 3因为 AB 平面CPN ， PN 平面CPN ，所以 AB平面CPN ， 8 分设平面CPN 平面 ABC = l ，因为 AB 平面 ABC ，所
21、以 ABl，因为 AB 平面VCD ， CG 平面VCD，CD 平面VCD ，所以 AB CG, AB CD ，所以CG l ,CD l ，又因为CG 平面CPN ， CD 平面 ABC ，所以 GCD 为平面CPN 与平面 ABC 所成的锐二面角的平面角， 10 分2 21在 GCD 中，由余弦定理得，CG2 = DG2 + DC2 - 2DG DC cosGDC ，CG = ,3 11 分CG2 + DC2 - DG2 5 7所以 cosGCD = =2CG DC 14，5 7所以过l 及点C 的平面与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为 12 分1420本小题主要考查正弦定理、余弦定理
22、及三角恒等变换等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和综合性满分 12 分a + c - b2 2 2解法一：（1）在 ABC 中，由余弦定理得 cos B = ，1 分 2ac又因为 a = 6 ，b +12cos B = 2c ， a2 c2 b212 2 2ac+ -所以b + = c ，2 分整理得b2 + c2 - 36 = bc .3 分在 ABC 中，由余弦定理得b2 + c2 - 36 = 2bccos A ，1所以bc = 2bccos A ，即 A = .4 分cos 2
23、p又因为 A(0,p) ，所以 = 5 分A3（2）选 6 分 1 p因为 M 为 ABC 的内心，所以 BAD = CAD= BAC = ， 2 6由SD = SD + SD ， 7 分ABC ABD ACD得1 p = 1 p + 1 p bcsin c ADsin b ADsin ，2 3 2 6 2 6因为 AD=3 3 ，所以3 1 bc bc = 3 3 (b + c) ，即b + c = . 8 分2 2 3数学参考答案及评分细则 第 6页（共 16页）由（1）可得b2 + c2 - 36 = bc ，即 (b + c)2 -3bc = 36 ，9 分(bc) bc2所以 3bc
24、 36 0- - = ，即 (bc + 9)( - 4) = 0 ， 10 分9 9又因为bc 0，所以bc = 36， 11 分1 p 1 3所以 S bc 12 分= sin = 36 = 9 3 DABC2 3 2 2 解法二：（1）因为 a = 6 ， b +12cos B = 2c ，所以b + 2acosB = 2c ， 1 分在 ABC 中，由正弦定理得sin B + 2sin AcosB = 2sinC ，即 sin B + 2sin Acos B = 2sin(A + B) ， 2 分即 sin B + 2sin AcosB = 2sin AcosB + 2 cos Asin
25、 B ，即 sin B = 2 cos Asin B ， 3 分因为 B(0,p)，所以sin B 0，故 cos 1A = . 4 分2p又因为 A(0,p) ，所以 = 5 分A3（2）选 6 分 因为 M 为 ABC 的垂心，p p p BMD = - MBD = - - ACB = ACB ，又 MD = 3 ，7 分 所以2 2 2 所以在 MBD 中， BD = MD tanBMD = 3 tanACB ，同理可得CD = 3 tanABC ， 8 分又因为 BD + CD = 6 ，所以 3 tan ABC+ 3 tan ACB = 6 ，即 tanABC+tanACB = 2
26、3 ， 9 分又因为在 ABC 中， tan(ABC + ACB)= -tanBAC = - 3 ，tan ABC tan ACB + = - 所以 3 ，1- tan ABC tan ACB因此 tanABC tanACB=3 10 分故 tanABC，tanACB 为方程 x2 - 2 3x + 3 = 0 两根，即 tan ABC= tan ACB= 3 ，因为 ABC，ACB (0,p)，p所以 ABC=ACB= ，所以 ABC 为等边三角形， 11 分3所以 1 62 3 9 3SD = = 12 分ABC2 2解法三：（1）同解法一. 5 分（2）选 6 分 因为 M 为 ABC
27、的垂心，数学参考答案及评分细则 第 7页（共 16页）p p所以 AMB = p - ACB ， = - = ， 8 分ABM BAC2 6 AM AB所以在 ABM 中，由正弦定理得 = sinABM sinAMB，AM AB=即 9 分p sin ACBsin 6又因为在 ABC 中，AB BC由正弦定理得 = ，10 分sinACB sinp3AM = BC 所以，因为 a = 6 ，所以 AM = 2 3 . 11 分p psin sin6 3又因为 MD = 3 ，所以 1 1 6 (2 3 3) 9 3SD = a AD = + = . 12 分ABC2 2解法四：（1）同解法一.
28、 5 分（2）选 6 分 1 p因为 M 为 ABC 的内心，所以 BAD = CAD= BAC = . 2 6在 ABD 中，由正弦定理得BD AD=psin Bsin6，因为 AD = 3 3 ，所以 2BD3 3= ， sin B同理可得 2CD3 3 3 3= =psinC sin(B )+3.7 分3 3 3 3又因为 BD + CD = 6 ，所以 + =12，psin B sin(B )+3p p 即 4sin sin( + ) = 3 sin + sin( + )B B B B3 3 ，p 1 3即 4sin Bsin(B + ) = 3(sin B + sin B + cos B)，8 分3 2 2 p p即 4sin Bsin(B + ) = 3sin(B + ) ， 3 6p p p
