1、四川天地人教育2021 年广东省普通高中学业水平考试数学科合格性考试模拟试题(三)（考试时间为 90 分钟，试卷满分为 150 分）一、选择题：本大题共 15 个小题,每小题 6 分，共 90 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1已知集合 A =1, 2,3, 4， B = x x2 - x - 2 = 0 ，则 AI B = （ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 1, 22.下列函数中，在其定义域内是偶函数为( )A. f (x)1= B. f (x)= 2 C. f (x)= lg x D. f (x)= cos xxx3.已知函数f (x) = x2 , x 1
2、，且 f ( ) 1，则 x = （ ）x0 =0log3 (x -1), x 1A. 0 B. 4 （C.0 或 4 D. 1 或 34.函数 f (x) = (x + 3)(1- x) 的定义域为（ ）A. (-,-13,+) B. -1, 3C. -3,1 D. (-,-3U1,+)5.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )A.16B.12C.13D.236.如果 a b 0 ，那么下列不等式一定成立的是（ ）A. c -a c -b B.1 1 C.a ba b 1 1 2 2D. lna lnb7.某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一 600
3、 人、高二 780 人、高三 n人中，抽取 35 人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为 13 人，则 n 等于（ ）A. 660 B. 720 C. 780 D. 8008.已知sin 2 5a = - ，a 是第三象限的角，则 tan 2a 的值为（ ）5A.4- B.343C.4- D.5451四川天地人教育9.函数1f (x) = ( ) - log x 的零点个数为（ ）x33A. 0 B. 1 C. 2 D. 310.设 M 是V ABC 边 BC 的中点，若 AM = l AB + m AC ，则 l + m 的值为（ ）A.14B.12C. 1 D. 211.如果棱长为 2 的
4、正方体的八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积是（ ）A. 3 B. 3p C. 4 3p D. 12p12.如图给出了红豆生长时间 t（月）与枝数 y（枝）的散点图，用下列哪个函数模型拟合红豆生长时间与枝数的关系最好（ ）A. 指数函数： y = 2t B. 对数函数：y = log t2C. 幂函数： y = t3 D. 二次函数： y = t 213.设 m、n 是两条不同的直线，是平面，m、n 不在内，下列结论中错误的是( )Am，n，则 mn Bm，n，则 mnCm，mn，则 n Dmn，n，则 m p p14. 函数 y = cos x tan x (- x ) 的大致图象是
5、 ( ) 2 2y y y y 1 1 1 1-p xo p x o o x o pp p xpp p- - -2 2 2 22 2 2 2-1 -1 -1 -1A B C D频率/组距15.如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，0.1可以估计总体的平均数与中位数分别是（ ）A.12.5 ，12.5 B. 13.5 ，13 C. 13.5 ，12.5 D. 13 ，130.04O5 10 15 20 数据2四川天地人教育二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 6 分，共 24 分把答案填在题中的横线上16.计算：5lg + 2lg 2 = _217. 已知 a = (1,2
6、) ,b = (-3,2) 则| a -3b | 的值为 318.在平面直角坐标系 xOy 中，角a 与角 b 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 x 轴对称若sina = ，则5sin b =_19.设 x，y 为正数，则 1 4 (x y)+ + x y 的最小值为_三、解答题：本大题共 3 个小题，每小题 12 分，共 36 分解答应写出文字说明、证明过程 或演算过程20.如图，在四棱锥 P - ABCD中， PD 平面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，AC 与 BD 交于点 O，E 为 PB的中点（1）求证： EO P 平面 PDC；（2）求证： AC DE 3四川天地人教育21.
7、等比数列a 中，已知 1 = 2,a =16a . n 4(1)求数列a 的通项公式；n(2)若 a3,a 分别为等差数列 b 的第 3 项和第 5 项，试求数列b 的通项公式及前 n 项和5 n nS .n22.一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径长为 30km 的圆形区域。已知小岛中心位于轮船正西 70km 处,港口位于小岛中心正北 40km 处,如果这艘轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁的危险?4四川天地人教育2021 年广东省普通高中学业水平考试数学科合格性考试模拟试题(三)参考答案和评分标准一、选择题 本大题共 15 小题，每小题 6 分，共 90 分题号 1
8、 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15答案 B D C C C D B A B C D A D C D二、填空题 本大题共 4 小题，每小题 6 分，满分 24 分 35-16_1_ 17_ 2 29 _ 18_ 19_9_三、解答题 本题共 3 小题共 36 分解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程20（本小题满分 12 分）解:（1）证明： E ，O点分别是 PB ， DB中点，1EO/ PD ，2 PD 平面 PBC， EO 平面 PBC， EO P 平面 PBC（2）证明：四边形 ABCD是正方形， AC BD ，又 PD 底面 ABCD， AC 底面 A
9、BCD， PD AC ， PD BD = D ， PD 平面 PBD , BD 平面 PBD ， AC 平面 PBD ， DE 平面 PBD ， AC DE 5四川天地人教育21（本小题满分 12 分）解：(1)设a 的公比为 qn由已知得 162 q3 ，解得 q = 2. an = a1qn-1 = 2n .(2)由(1)得 a 8, 32 ，则b3 = 8,b = 32 .3 = a =5 5b1设b 的公差为 d ，则有nb1+2d4d=832b1解得d=-1612从而 b = -16 +12(n -1)=12n - 28n .所以数列b 的前 n 项和nn -16 +12n - 28 2( )sn 6 22= = n - n222. (本小题满分 12 分)解： 我们以港口中心为原点 O，东西方向为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系这样，以小岛的中心为圆心，半径为 30km 的圆形区域所对应的圆的方程为 x2 + y2 = 302 x y轮船航线所在直线 l 的方程为 + =1即 4x+7y-280=0 70 40如果圆 O 与直线 l 有公共点，则轮船有触礁危险，需要改变航向；如果 O 与直线 l 无公共点，则轮船没有触礁危险，无需改变航向由于圆心 O（0，0）到直线 l 的距离 d=-2806530，所以直线 l 与圆 O 无公共点这说明轮船将没有触礁危险6
