1、二次函数回顾与思考二次函数回顾与思考知识归纳1 1二次函数的概念二次函数的概念一般地，形如一般地，形如 (a(a，b b，c c是常是常数，数， ) )的函数，叫做二次函数的函数，叫做二次函数 注意注意 (1) (1)等号右边必须是整式；等号右边必须是整式；(2)(2)自变量的最高次数是自变量的最高次数是2 2；(3)(3)当当b b0 0，c c0 0时，时，y yaxax2 2是特殊的二次函数是特殊的二次函数2 2二次函数的图象二次函数的图象二次函数的图象是一条二次函数的图象是一条 ，它是轴对称图形，它是轴对称图形，其对称轴平行于其对称轴平行于轴轴y yaxax2 2bxbxc ca0a0
2、抛物线抛物线y y 注意注意 二次函数二次函数y yaxax2 2bxbxc c的图象的形状、大小、开的图象的形状、大小、开口方向只与口方向只与a a有关有关3 3二次函数的性质二次函数的性质开口向上 开口向上 开口向下 开口向下 (h，k) 减小 增大 减小 增大 增大 减小 增大 减小 4.二次函数图象的平移二次函数图象的平移一般地，平移二次函数一般地，平移二次函数yax2的图象可得到二次函数的图象可得到二次函数ya(xh)2k的图象的图象注意注意 抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律，左加右减，上加下减 考点一二次函数的定义应用 考点攻略例例1已知抛物线y(m1)xm2m的开口向下，求m的值
3、解析解析 本题容易考虑不全面，只考虑本题容易考虑不全面，只考虑m10，而忽略抛，而忽略抛物线是二次函数的图象，自变量物线是二次函数的图象，自变量x的次数为的次数为2.由抛物线开口向下由抛物线开口向下得得m10且且m2m2，即，即m2. 考点二二次函数图象的平移例例2如果将抛物线yx2bxc沿直角平面坐标向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线yx22x1，则b_，c_.6 6 考点三二次函数与一次函数的综合应用 例例3已知矩形ABCD中，AB2，AD4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图X21)(1)写出A，B，C，D及AD的中点E的坐标；(2)求
4、以E为顶点、对称轴平行于y轴，并且经过点B，C的抛物线的表达式；(3)求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标；(4)PEB的面积与PBC的面积具有怎样的关系？证明你的结论解析 利用矩形的性质可以得到A，B，C，D及AD的中点E的坐标，然后利用顶点式求出抛物线的表达式 考点四二次函数的图象和性质的应用 例例4已知抛物线yax2bxc(a0)过A(2,0)，O(0,0)，B(3，y1)，C(3，y2)四点，则y1与y2的大小关系是()Ay1y2By1y2Cy1y2 D不能确定A A 解析解析 A结合图形，找到结合图形，找到A、O、B、C四个点的大致位置，四个点的大致位置，容易看出容易
5、看出y1与与y2的大小关系的大小关系 考点五求二次函数的表达式 例例5已知二次函数yx2bxc的图象如图X22所示，它与x轴的一个交点坐标为(1,0)，与y轴的交点坐标为(0,3)(1)求出b，c的值，并写出此二次函数的表达式；(2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围解析 由于二次函数经过具体的两个点，可以把这两个点的坐标代入即可求出表达式，然后根据图象求出自变量x的取值范围 考点六二次函数和其他知识的综合应用例例6如图X23，已知二次函数yax24xc的图象与坐标轴交于点A(1,0)和点B(0，5)(1)求该二次函数的表达式；(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得AB
6、P的周长最小请求出点P的坐标解析解析 把点把点A(1,0)和点和点B(0，5)代入表达式即可求出代入表达式即可求出a和和c的值，的值，ABP的周长中的边长的周长中的边长AB是确定的，只要求出是确定的，只要求出PA与与PB的的和最小即可，因此要把和最小即可，因此要把PA和和PB转化到一条线上，在此还要利用转化到一条线上，在此还要利用抛物线的对称性抛物线的对称性图图X24知识归纳1利用二次函数求最值的问题利用二次函数求最值的问题(1)利润最大化体会利用二次函数求解最值的一般步骤利用二次函数解决“利润最大化”问题的一般步骤：找出销售单价与利润之间的函数关系式(注明范围)；求出该二次函数图象的顶点坐标
7、；由函数顶点坐标求得其最值，即求得“最大利润”(2)产量最大化体会利用二次函数求解最值的几种方式产量最大化问题与最大利润问题类似，若问题中的函数类型是产量最大化问题与最大利润问题类似，若问题中的函数类型是二次函数，可以利用求二次函数的顶点处的函数值来解决也可以应二次函数，可以利用求二次函数的顶点处的函数值来解决也可以应用配方法求其顶点，利用函数图象也可以判断函数的最值用配方法求其顶点，利用函数图象也可以判断函数的最值 注意注意 在求最值问题中，我们常用二次函数的表达式求顶点坐在求最值问题中，我们常用二次函数的表达式求顶点坐标来求最值；也可以运用标来求最值；也可以运用“数形结合数形结合”的方法，
8、结合函数图象来判断的方法，结合函数图象来判断求解最值；还可以利用列表的方法估计最值求解最值；还可以利用列表的方法估计最值(3)(3)与图形有关的最值问题与图形有关的最值问题直角三角形中矩形的最大面积：要求面积就需要知道矩形的两直角三角形中矩形的最大面积：要求面积就需要知道矩形的两条边，因此，把这两条边分别用含条边，因此，把这两条边分别用含x x的代数式表示出来，代入面积公的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题了式就能转化为数学问题了 警示警示 在利用二次函数解答涉及图形的最值问题时，要注在利用二次函数解答涉及图形的最值问题时，要注意图形中自变量的取值范围及是否有实际意义，这是很多同学
9、意图形中自变量的取值范围及是否有实际意义，这是很多同学易犯错的地方易犯错的地方2 2二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系对于一元二次函数对于一元二次函数y yaxax2 2bxbxc c，只要令，只要令y y等于某个具体等于某个具体的数的数y y0 0，就可以将函数转化成一元二次方程，这个方程的解是，就可以将函数转化成一元二次方程，这个方程的解是抛物线上纵坐标为抛物线上纵坐标为y y0 0的点的横坐标的点的横坐标特殊地，如果令特殊地，如果令y y值为值为0 0，所得方程为，所得方程为axax2 2bxbxc c0 0，该方，该方程的解是抛物线与程的解是抛物线与x x轴交点的
10、横坐标若方程无解，则说明抛物轴交点的横坐标若方程无解，则说明抛物线与线与x x轴无交点轴无交点二次函数的图象和二次函数的图象和x x轴的交点个数与一元二次方程的根的个轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，可以总结如下：设数之间的关系，可以总结如下：设y yaxax2 2bxbxc(a0)c(a0)，令，令y y0 0，得：，得：axax2 2bxbxc c0.0.当当b b2 24ac4ac0 0时，方程有两个不等实数根，二次函数的图时，方程有两个不等实数根，二次函数的图象与象与x x轴有轴有个交点；个交点；当当b b2 24ac4ac0 0时，方程有两个相等实数根，二次函数的图时，
11、方程有两个相等实数根，二次函数的图象与象与x x轴只有轴只有个交点个交点( (即顶点即顶点) )；当当b b2 24ac4ac0 0时，方程没有实数根，二次函数的图象与时，方程没有实数根，二次函数的图象与x x轴轴没有交点没有交点两两一一 考点一一元二次方程与二次函数的关系 考点攻略B B 考点二二次函数与图形面积 例例2如图X28，苗圃的形状是直角梯形ABCD，ABDC，BCCD.其中AB，AD是已有的墙，BAD135，另外两边BC与CD的长度之和为30米，如果梯形的高BC为变量x(米)，梯形面积为y(米2)，问：当x取何值时，梯形的面积最大？最大面积是多少？解析 从题中已知梯形(除去一腰)
12、的长和一个特殊角BAD135，这里可利用梯形面积公式等相关知识构造出函数解析式 考点三二次函数与几何图形例例3如图X210，在矩形ABCD中，ABm(m是大于0的常数)，BC8，E为线段BC上的动点(不与B，C重合)连接DE，作EFDE，EF与射线BA交于点F，设CEx，BFy.(1)求y关于x的函数关系式；(2)若m8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？解析解析 (1)设法证明设法证明y与与x这两条线段所在的两个三角形相似，这两条线段所在的两个三角形相似，由比例式建立由比例式建立y关于关于x的函数关系式；的函数关系式；(2)将将m的值代入的值代入(1)中的函中的函数关系式，配方化成顶点
13、式后求最值；数关系式，配方化成顶点式后求最值；(3)逆向思考，当逆向思考，当DEF是等腰三角形，因为是等腰三角形，因为DEEF，所以只能是，所以只能是EFED，再由，再由(1)可可得得RtBFE RtCED，从而求出，从而求出m的值的值 考点四二次函数与生活应用 例例4利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理)当每吨售价为260元时，月销售量为45吨该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元)(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；(2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；(3)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？(4)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大”你认为对吗？请说明理由 考点五二次函数与体育活动解析 解决这个问题的关键是正确地进行数学建模，将运动员在空中的运动路线抽象为所给出的直角坐标系中的抛物线，用待定系数法求出表达式，再利用函数知识求解
