1、2022届高三上学期第一次自主调研数学试题卷本试卷满分150分考试用时120分钟一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 已知复数（为虚数单位），则 ABCD2若非零向量、满足，则、两向量的夹角为（ ）A. 0B. 60C. 90D. 1803.已知集合 , 则（ ）A B C. D4从包含甲在内的5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为( )A.48B.72C.90D.965已知，则等于（ ）A B C D 6若，则下列式子成立的是ABCD7.已知双曲线的左、右
2、焦点分别为，过且斜率为的直线与其左支交于点，若存在，使，且，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 8设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9下列说法正确的是( )A.命题“，”的否定是“，”B.已知，则“”是“”的必要不充分条件C.命题：若为第一象限角，则；命题：函数有两个零点，则为假命题D.，10设函数，则下列说法正确的有( )A.当，时，为奇函数B.当，时，的一个对称中心为C.若关于的方程的正实根从小到大依次构成一个等差
3、数列，则这个等差数列的公差为D.当，时，在区间上恰有个零点11已知抛物线C：=4y的焦点为F，A、B在抛物线C上，且=2，过A，B分别引抛物线C两切线交于点P，则下列结论正确的是( )A.点P位于抛物线的准线上 B.APB=90C.PFAB D.PF=212.如图，菱形边长为，为边的中点将沿折起，使到，且平面平面，连接，ACBDEACBDE则下列结论中正确的是( )AB四面体的外接球表面积为C与所成角的余弦值为D直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13曲线在点处的切线方程为_.14.已知等差数列的前项和为，公差，是与的等比中项，则的通项公式为_.15中国
4、工程院院士袁隆平，被誉为“世界杂交水稻之父”他发明的“三系法”籼型杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系某地种植超级杂交稻，产量从第一期大面积亩产公斤，到第二期亩产公斤，第三期亩产公斤，第四期亩产公斤将第一期视为第二期的父代，第二期视为第三期的父代，或第一期视为第三期的祖父代，并且认为子代的产量与父代的产量有关，请用线性回归分析的方法预测第五期的产量为每亩_公斤附：用最小二乘法求得线性回归方程为，其中，16英国数学家泰勒发现了公式：，瑞士大数学家欧拉凭着他非凡的数学洞察力，由此公式得到了下面的无穷级数之和，并最终给出了严格证明其发现过程简单分析如下：当时，有，容易看出方程的所有解为：，于是方程可写
5、成：，改写成：（*）比较方程（*）与方程中项的系数，即可得_四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）已知的内角，的对边分别为，（1）求角；（2）若，求的面积18（12分）已知数列是首项为，公差为的等差数列.(为常数，且).()求证：数列是等比数列；()当时，设，求数列的前项和.19 （12分）如图，在五面体中，面为矩形，且与面垂直，（1）证明：/；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值20（12分）从某企业生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布表和频率分布直方图分组频数频率2.5，7.5)20.
6、0027.5，12.5)0.05412.5，17.5)1060.10617.5，22.5)1490.14922.5，27.5)35227.5，32.5)1900.19032.5，37.5)1000.10037.5，42.5)470.047合计10001.000（1）求，的值；（2）求出这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，其中已计算得如果产品的质量指标值位于区间，企业每件产品可以获利10元，如果产品的质量指标值位于区间之外，企业每件产品要损失100元，从该
7、企业一天生产的产品中随机抽取20件产品，记为抽取的20件产品所获得的总利润，求附：，21（12分）已知椭圆的长轴长为，离心率为，（1）求椭圆的方程；OAxDMNBy（2）过椭圆上的点的直线与，轴的交点分别为，且，过原点的直线与平行，且与交于，两点，求面积的最大值22（12分）已知函数，是自然对数的底数（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，求的取值范围2022届高三上学期第一次自主调研数学试题答案2021.725一、单项选择题：题号12345678答案BABDCCDA二、多项选择题：题号9101112答案ABADABCBCD三、填空题：13. ; 14. ； 15.；16.解析：8解：因为，所以
8、，因为，所以即 因为，设函数在为增函数，所以所以又函数在为增函数，在为减函数，所以的最大值为15解：因为，所以，所以，所以第五期产量为四、解答题：17解：（1）法一：由得，整理得，即又，所以，法二：由应用正弦定理得，即，整理得，于是，又，所以，法三：由应用正弦定理，得，由余弦定理，可得，代入上式，得，又，所以，（2），由余弦定理，得即，则于是18(1)，是首项为，公差为的等差数列 ，又数列是以为首项，公比为的等比数列(2)由(1)得：又.19.解：（1）证明： 面为矩形，且平面，平面，平面，又平面，平面平面，（2）法一：（向量法） 面为矩形面，又面面，且面面，面，由（1）知，.，又，两两垂直，
9、以，所在直线分别为轴，轴，轴建立图示空间直角坐标系，则，xyz， 设平面与平面的法向量分别为，则令，解得，令，解得，于是，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 法二：（几何法）由（1）知， ，又，且，平面，且平面，平面平面二面角与二面角之和为易知 平面，如图，在中作，垂足为，连接， FEACBDM，平面，则， 即为平面与平面所成二面角的平面角 ， 则 即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为法三：（构造空间角）如图，取中点，连接，则由（1）可知，且平面， 多面体是直三棱柱如图在中作，垂足为，作，交于点，连接，则，且，FEACBDMNG平面，则，所以，即为平面与平面所成二面角的平面角9分， 所以平
10、面与平面所成的锐二面角的余弦值为 20解：（1）结合频率分布表可以得到， （2）抽取这1000件产品质量指标值的样本平均数为：，（3）因为，由（2）知， 从而，设为随机抽取20件产品质量指标值位于之外的件数. 依题意知，所以，所以答：该企业从一天生产的产品中随机抽取20件产品的利润为. 21解法一：（1）点在椭圆上且， 又椭圆离心率为，由解得 椭圆的标准方程为： （2）点在椭圆上，即， 设经过点的直线方程为：，可得，即直线斜率为，方程为，即，联立，解得，点到直线的距离为， ， ， 三角形面积的最大值为，当且仅当，即时，等号成立 12分解法二：（1）同解法一（2）设，则，满足曲线上，则，化简得，
11、直线的方程为，即，原点到直线的距离为，易得直线的方程为，设，联立方程组：，化简得，则， ， 又， ，三角形面积的最大值为，当且仅当时，即时，等号成立 22解法一：（1）当时， 令，得，由，得，由，得或， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减（2）由当时，得，记，则， 当时，则，可知在上单调递增，且，不满足当时，舍去； 当时，令，得，因为，所以当时，当时，故在上单调递减，在上单调递增，所以，解得，因为，所以； 当时，则，此时当时，故在上单调递减，所以，解得，所以； 综上所述，的取值范围是. 解法二：（1）同解法一（2）由当时，得，记，则， 由，得，由，得； 当时，令，得，因为，所以当时，当时，故在上单调递减，在上单调递增，所以，解得，因为，所以； 当时，此时当时，故在上单调递减，所以，解得，所以； 综上所述，的取值范围是. 14
