1、2022年海南省高考数学诊断试卷（3月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知集合Ax|3x21，Bx|x2x60，则AB（）Ax|1x3Bx|1x2Cx|2x1Dx|3x12（5分）已知复数z满足（z2）（1+i）13i，则复数z在复平面内所对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）在数列an中，“2a2a1+a3”是“数列an是等差数列”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（5分）数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如
2、图若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）2（a0）的一部分，且点A（2，2）在该抛物线上（）AB（0，1）CD5（5分）新高考按照“3+1+2”的模式设置，其中“3”为语文、数学、外语3门必考科目，“1”由考生在物理、历史2门科目中选考1门科目，则学生甲选考的科目中包含物理和生物的概率是（）ABCD6（5分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是直角三角形，且ABBCAA1，D为棱B1C1的中点，点E在棱BC上，且BC4BE（）ABCD7（5分）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其中AOB120，OA2OC2上，则的最小值是（）A1
3、B1C3D38（5分）设a2e0.2，be0.2，c1.2，则（）AabcBbcaCbacDcba二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小顺给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9（5分）某班班主任为了了解该班学生寒假期间做家务劳动的情况，随机抽取该班15名学生，调查得到这15名学生寒假期间做家务劳动的天数分别是8，15，20，20，19，19，10，6，20，23，则下列结论正确的是（）A这组数据的中位数是18B这组数据的众数是20C若在记录数据时，漏掉了一个数据，则新数据的众数是20D若在记录数据时，漏掉了一个数据，则新
4、数据的中位数是19（多选）10（5分）已知函数f（x）sin（x+）（0，0），则（）A存在的值，使得f（x）是奇函数B存在的值，使得f（x）是偶函数C不存在的值，使得f（x）是奇函数D不存在的值，使得f（x）是偶函数（多选）11（5分）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一，勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4（）A若P，Q是勒洛四面体ABCD表面上的任意两点，则PQ的最大值是4B勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积是C勒洛四面体ABCD的体积是8D勒洛四面体ABCD内切球的半径是（多选）12（5分）若存在正实
5、数x，y，使得等式4x+a（y3e2x）（lnylnx）0成立，其中e为自然对数的底数（）ABCD2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。13（5分）已知函数f（x）ax32bx2+x是定义在（2a+1，3a）上的奇函数，则a+b 14（5分）若（2x1）n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n （写出一个即可）15（5分）已知x0，y0，且，则x+2y的取值范围是 16（5分）已知双曲线E：的左焦点为F，过点F的直线l垂直于双曲线E的一条渐近线，直线l与双曲线E交于点N，且，则双曲线E的离心率为 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说
6、明、证明过程或演算步骤。17（10分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）求角A的值；（2）延长AC至点D，使得CDAC，且BD2BC，求ABC的周长18（12分）如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，O，EF是底面圆的一条直径，DEDF（1）证明：EFAB；（2）若2ADAB，求平面BCF与平面CDE所成锐二面角的余弦值19（12分）为了让人民群众过一个欢乐祥和的新春佳节，某地疫情防控指挥部根据当地疫情防控工作部署，安排4名干部和三个部门（A，B，C），其中16名职工分别是A部门8人，B部门4人（1）若从这16名职工中选出4人作为组长，求至少有2个组长来自A部门的概率；（2）
7、若将这4名干部随机安排到四个高速路口（假设每名干部安排到各高速路口是等可能的，且各位干部的选择是相互独立的），记安排到第一个高速路口的干部人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望20（12分）设数列an的前n项和为Sn，a14，2Snan+1+2n4（1）求an的通项公式；（2）设bn4n+（1）ntan，若数列bn是递增数列，求t的取值范围21（12分）已知椭圆C：+1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C的离心率小于点P在椭圆C上，|PF1|+|PF2|4，且PF1F2面积的最大值为（1）求椭圆C的标准方程；（2）点M（1，1），A，B是椭圆C上不同的两点，点N在直线l：3x+4y
8、120上，且，试问+是否为定值？若是；若不是，请说明理由22（12分）已知函数f（x）emx+xxlnx（m0）（1）当m1时，求f（x）在1；（2）设函数f（x）的导函数为f（x），讨论f（x）2022年海南省高考数学诊断试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知集合Ax|3x21，Bx|x2x60，则AB（）Ax|1x3Bx|1x2Cx|2x1Dx|3x1【解答】解：Ax|3x26x|x1，Bx|x2x50x|2x2，ABx|1x3，故选：A2（5分）已知复数z满足（z2）（1+i）13
9、i，则复数z在复平面内所对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：由复数z满足（z2）（1+i）63i，则z，则复数z在复平面内所对应的点的坐标为（1，2），则复数z在复平面内所对应的点位于第四象限，故选：D3（5分）在数列an中，“2a2a1+a3”是“数列an是等差数列”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：数列an是等差数列，等价于2an+1an+an+6，当n1时可推得2a5a1+a3，反过来由4a2a1+a6不能推出2an+1an+an+2，“2a2a4+a3”是“数列an为等差数列”的必要不充分条件，故选：B4（
10、5分）数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）2（a0）的一部分，且点A（2，2）在该抛物线上（）AB（0，1）CD【解答】解：点A（2，2）在抛物线上5，a，抛物线方程为yx2，x32y，2p5，焦点坐标为（0，），故选：A5（5分）新高考按照“3+1+2”的模式设置，其中“3”为语文、数学、外语3门必考科目，“1”由考生在物理、历史2门科目中选考1门科目，则学生甲选考的科目中包含物理和生物的概率是（）ABCD【解答】解：由题意可得，学生甲选考的科目中包含物理和生物的概率P故选：B6（5分）如图，在直三棱柱ABCA
11、1B1C1中，ABC是直角三角形，且ABBCAA1，D为棱B1C1的中点，点E在棱BC上，且BC4BE（）ABCD【解答】解：由题意，建立如图所示的直角坐标系，设ABBCAA14，则A（6，4，0），4，0），0，2），0，0），则，（2，0），0，8），则cos，故选：B7（5分）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其中AOB120，OA2OC2上，则的最小值是（）A1B1C3D3【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，则B（2，0），），E（cos），故（3cos，（2cos，则（6cos）（2cos）+（6+cos2cossin+sin72
12、+13sin（+）2sin（+）1，故当+，即时，有最小值233，故选：C8（5分）设a2e0.2，be0.2，c1.2，则（）AabcBbcaCbacDcba【解答】解：a2e0.4，be0.2，lna7.2+ln2，lnb7.2，lnalnb0.3+ln20.3+ln0.4+3.50.70，lnalnb，ab，设f（x）ex（x+1），f（x）ex8，当x0时，f（x）0，当x4时，f（x）0，f（x）f（0）1（4+1）0，f（2.2）0，即e6.2（0.3+1）0，即e2.21.2，bc，abc故选：D二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小顺给出的选项中，有多项符合题目
13、要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9（5分）某班班主任为了了解该班学生寒假期间做家务劳动的情况，随机抽取该班15名学生，调查得到这15名学生寒假期间做家务劳动的天数分别是8，15，20，20，19，19，10，6，20，23，则下列结论正确的是（）A这组数据的中位数是18B这组数据的众数是20C若在记录数据时，漏掉了一个数据，则新数据的众数是20D若在记录数据时，漏掉了一个数据，则新数据的中位数是19【解答】解：将这组数据按从小到大的顺序排列：6，8，10，16，18，19，20，20，25，故这组数据的中位数和众数分别是19和20，则A错误，B正确，漏掉了一个
14、数据后，新数据中出现最多的数仍然是20，若漏掉的数据大于或等于19，则新数据的中位数是18.3故选：BC（多选）10（5分）已知函数f（x）sin（x+）（0，0），则（）A存在的值，使得f（x）是奇函数B存在的值，使得f（x）是偶函数C不存在的值，使得f（x）是奇函数D不存在的值，使得f（x）是偶函数【解答】解：对于函数f（x）sin（x+）（0，0），存在，使得f（x）sin（x+）cosx是偶函数，且D不正确；不存在的值，使得f（x）是奇函数，且A不正确，故选：BC（多选）11（5分）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一，勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球
15、心，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4（）A若P，Q是勒洛四面体ABCD表面上的任意两点，则PQ的最大值是4B勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积是C勒洛四面体ABCD的体积是8D勒洛四面体ABCD内切球的半径是【解答】解：由勒洛四面体的定义可知勒洛四面体表面上的任意两点间的距离的最大值是4，则A正确ABCD被平面ABC截得的截面如图1所示，其面积为634227（）如图2，由对称性可知勒洛四面体内切球的球心O是正四面体ABCD外接球的球心，连接BO，并延长交勒洛四面体的曲面于点E，则OE就是勒洛四面体内切球的半径如图8，在正四面体ABCD中，M为BCD的中心，O是正四面体ABC
16、D外接球的球心，连接BM，BO，AM，由正四面体的性质可知O在AM上因为AB4，所以BM，则AM因为BO2BM5+OM2（AMOM）2，即BO8（）2+OM2（OM）7，解得BO，则正四面体ABCD外接球的体积是6因为勒洛四面体的体积小于正四面体ABCD外接球的体积，则C错误因为BEAB4，所以OE7图1 &nb
17、sp; 图7 &
18、nbsp; 故选：ABD（多选）12（5分）若存在正实数x，y，使得等式4x+a（y3e2x）（lnylnx）0成立，其中e为自然对数的底数（）ABCD2【解答】解：由4x+a（y3e5x）（lnylnx）0得，4x+a（y5e2x）ln0，即2+a（3e2）ln7，设t，则t0，则4+a（t7e2）lnt0，即（t2e2）lnt有解，设g（t）（t5e2）lnt，则g（t）lnt+为增函数，因为g（e2）lne2+32+120，所以当te2时，g（t）3，当0te2时，g（t）4，所以当te2时，函数g（t）取得最小值，g（e2）（e83e2）lne34e2，即g（t）
19、g（e6）4e2，若（t7e2）lnt有解，则4e2，即e2，所以a0或a，故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。13（5分）已知函数f（x）ax32bx2+x是定义在（2a+1，3a）上的奇函数，则a+b4【解答】解：依题意函数f（x）ax32bx6+x是定义在2a+1，7a上的奇函数，所以2a+1+7a0，a4，f（x）4x32bx6+x，f（x）4x32bx2x，f（x）+f（x）4bx40恒成立，所以b0，所以a+b6故答案为：414（5分）若（2x1）n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n8（答案不唯一）（写出一个即可）【解答】解：
20、由题意，可得即，解得3n9，又nN，所以n的取值集合为7，8，9答案为：8（答案不唯一）15（5分）已知x0，y0，且，则x+2y的取值范围是 8+）【解答】解：因为x+2y+7+，所以（x+2y7）（x+3y）（+）（x+5y），因为x0，y0+）（x+2y）+，当且仅当x2y4时，等号成立，设tx+4y，则（t7）t887t86，即（t+1）（t8）2，解得t8或t1（舍去），所以x+8y的取值范围是8，+），故答案为：8，+）16（5分）已知双曲线E：的左焦点为F，过点F的直线l垂直于双曲线E的一条渐近线，直线l与双曲线E交于点N，且，则双曲线E的离心率为 【解答】解：如图所示，双曲线左
21、焦点F（c，双曲线的一条渐近线不妨取，则直线l的方程为：，联立，设N（xN，yN），故由得：，得，故得，将代入中，得：，化简可得13a24c8，故，所以，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）求角A的值；（2）延长AC至点D，使得CDAC，且BD2BC，求ABC的周长【解答】解：（1）ABC的面积得bcsinA，tanA，0A；（2）在ABD中，由余弦定理有BD2AB2+AD82ABADcosA，4a836+4b2462b，a24+b23b，ACB+BCD，cosACB+c
22、osBCD7，+62b218，由解得b7，a3，ABC的周长为15+518（12分）如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，O，EF是底面圆的一条直径，DEDF（1）证明：EFAB；（2）若2ADAB，求平面BCF与平面CDE所成锐二面角的余弦值【解答】解：（1）证明：连接DO，因为DEDFEF是底面圆的一条直径，所以DOEF，因为AD是圆柱的母线，所以ADEF，因为DOADD，AD平面ABCD，所以EF平面ABCD，AB平面ABCD，EFAB；（2）以O为坐标原点，OF，OO所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB2，则F（1，4，B（0，1，C（7，1，），7，），0，2），所以（
23、1，0），4，），（1，），（1，1，），设平面BCF的一个法向量为（x，y，则，令y1，z0，平面BCF的一个法向量为（7，1，设平面DEC的一个法向量为（a，b，则，令c4，a，所以平面DEC的一个法向量为（，5，所以cos，所以平面BCF与平面CDE所成锐二面角的余弦值为19（12分）为了让人民群众过一个欢乐祥和的新春佳节，某地疫情防控指挥部根据当地疫情防控工作部署，安排4名干部和三个部门（A，B，C），其中16名职工分别是A部门8人，B部门4人（1）若从这16名职工中选出4人作为组长，求至少有2个组长来自A部门的概率；（2）若将这4名干部随机安排到四个高速路口（假设每名干部安排到各高速
24、路口是等可能的，且各位干部的选择是相互独立的），记安排到第一个高速路口的干部人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望【解答】解：（1）至少有2个组长来自A部门共有3种情况：有5个组长来自A部门，有3个组长来自A部门设事件A表示“至少有2个组长来自A部门”，则P（A）（2）由题意可得：X的可能取值为0，5，2，3，3P（Xk），k0，1，5，3，4，P（X1），P（X3）可得X的分布列 X 2 1 2 5 4 P E（X）3220（12分）设数列an的前n项和为Sn，a14，2Sn
25、an+1+2n4（1）求an的通项公式；（2）设bn4n+（1）ntan，若数列bn是递增数列，求t的取值范围【解答】解：（1）数列an的前n项和为Sn，a14，8Snan+1+2n4，当n2时，2Sn6an+2（n1）5，得：2anan+1an+8，故an+113（an1），故数列an1是以5为首项，3为公比的等比数列；所以，整理得（首项符合通项），所以；（2）由（1）得：bn4n+（6）ntan4n+（1）nt（2n+1）；故；由于数列bn是递增数列，所以bn+1bn0，整理得：2n+1+（1）n+2t（3n+1+8）4n+（1）nt（5n+1）；即37n（1）nt（46n+2），当n为偶
26、数时，由于函数为单调递增函数，故，当n1时，函数；故；当n为奇数时，由于函数单调递减，故；当n6时，故；故t的取值范围为（）21（12分）已知椭圆C：+1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C的离心率小于点P在椭圆C上，|PF1|+|PF2|4，且PF1F2面积的最大值为（1）求椭圆C的标准方程；（2）点M（1，1），A，B是椭圆C上不同的两点，点N在直线l：3x+4y120上，且，试问+是否为定值？若是；若不是，请说明理由【解答】解：（1）|PF1|+|PF2|72a，a2，则，当P为上顶点或下顶点时，PF4F2的面积最大，由解得所以椭圆C的方程为（2）由于，所以A，M，N，由（1）
27、得椭圆C的方程为，故M（1，所以直线MN与椭圆必有两个交点A，B，不妨设A在MN之间，当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x6，即，即由，得，所以当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y6k（x1），由消去y并化简得（2+4k2）x3+（8k8k3）x+4k25k80，由解得，由，得xAxN（xMxA），xBxN（xMxB），所以综上所述，+为定值22（12分）已知函数f（x）emx+xxlnx（m0）（1）当m1时，求f（x）在1；（2）设函数f（x）的导函数为f（x），讨论f（x）【解答】解：（1）当m1时，f（x）ex+xxlnx，x1f（x）exlnxg（x），g（x）exu
28、（x）在x1g（1）e17，g（x）0，g（x）在x1，e上单调递增，f（x）g（x）3，函数f（x）x1，e上单调递增，x1时，函数f（x）取得最小值；xe时，函数f（x）取得最大值e+eeeef（x）在6，e上的值域为e+1，ee（2）函数f（x）emx+xxlnx（m0），x（2f（x）memx+1lnx1memxlnx，m4时，f（x）1+xxlnx，+）f（x）lnx在x（0，+）上单调递减f（x）在x（8，+）上存在唯一零点1m0时，f（x）memxlnxh（x），h（x）m7emx在x（0x5时，h（x），h（x）+存在唯一x0（0，+）4，2lnm+mx0lnx7，使得函数h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x5，+）上单调递增即xx0时，函数h（x）取得极小值即最小值，h（x0）mlnx0+mx0+2lnm，+mx07，当且仅当8，即mx01时取等号m时，h（x0）2+3ln0，+）上不存在零点m时，x0e，h（x0）h（e）4+2ln7，+）上有一个零点e0m时，存在x3，使得h（x0）5+2lnm2+8ln0，+）上有6个零点1（0，），另一个x2（，+）综上可得：m时，f（x）在x（0m时，f（x）在x（50m时，f（x）在x（6m0时，f（x）在x（0第22页（共22页）
