1、2022年河南省洛阳市高考数学第二次统一考试试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合Ax|yln（1x），则AB（）Ax|1x1Bx|x1Cx|x1Dx|1x12（5分）已知复数z（）2+i，则在复平面内z对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）若抛物线y22px（p0）的焦点是椭圆的一个焦点（）A2B3C4D84（5分）已知角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（cos15+sin15，cos15sin15）（）AB1CD25（5分）等差数列an中，a12020，前n
2、项和为Sn，若，则S2022（）A1011B2022C1011D20226（5分）下列说法中正确的是（）A命题“p且q”为真命题，则p，q恰有一个为真命题B命题“p：xR，x2+10”，则“p：xR，x2+10”CABC中，AB是sinAsinB的充分不必要条件D设等比数列an的前n项和为Sn，则“a10”是“S3S2”的充要条件7（5分）已知曲线C1：ycosx，为了得到曲线C2，则对曲线C1的变换正确的是（）A先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度B先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度C先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐
3、标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度D先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度8（5分）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”（）A30B45C60D1209（5分）已知函数yf（x）的图象如图所示，则此函数可能是（）Af（x）Bf（x）Cf（x）Df（x）10（5分）“迎冬奥，跨新年，向未来”，现安排两名男队员和两名女队员组队参演，参演选手每人展示其中一个不同的项目，则所有不同出场顺序
4、与项目展示方案种数为（）A576B288C144D4811（5分）设曲线yx36kx在xk处切线的斜率为f（k），则（）ABCD12（5分）已知O为坐标原点，F是双曲线C：1（a0，b0），A、B分别为双曲线的左、右顶点，点P在C上，过点A的直线与线段PF交于点M，与y轴交于点E，若|OE|ON|，则双曲线C的离心率为（）AB2CD二、填空题（每小题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）13（5分）已知向量（1，1），（m，2），若（+），则实数m 14（5分）已知函数f（x）x3f（1）x22，则f（2） 15（5分）已知三棱锥PABC中，AB4，BC3，当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面
5、积为 16（5分）过抛物线C：x24y的焦点F作斜率为的直线l，交抛物线于A，抛物线在A，B处的两条切线交于点M 三、解答题：共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）求角B；（2）若，b3，求ACD面积的最大值18（12分）已知ABC是边长为6的等边三角形，点M，N分别是边AB，且，沿MN将AMN折起到AMN的位置，使AMB90（1）求证：AM平面MBCN；（2）在线段BC上是否存在点D，使平面AND与平面AMB所成锐二面角的余弦值为？若存在，设；若不存在，说明理由19（12分）一商场为了解某商品的销售情况，对该商
6、品30天的销售量统计后发现每天的销售量x（单位：件）分布在500，其中100nx100（n+1）（nN*，且n为偶数）的销售天数为3（na）；100nx100（n+1）（nN*，且n为奇数）的销售天数为（1）求实数a的值；（2）当一天销售量不小于700时，则称该日为销售旺日，其余为销售不景气日将销售日按照销售量数据700，800，900），1000）分成3组，在销售旺日的3组中用分层抽样的方法随机抽取8天，如果这3天来自X个组，求随机变量X的分布列与数学期望20（12分）已知函数（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a1时，求证：21（12分）点P与定点F（1，0）的距离和它到定直线x4的距
7、离之比为1：2（1）求点P的轨迹方程；（2）记点P的轨迹为曲线C，若过点P的动直线l与C的另一个交点为Q，原点O到l的距离为请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（为参数）以坐标原点为极点，直线l的极坐标方程为cos+2sin150（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值选修45：不等式选讲（本小题满分0分）23已知函数，（1）若|f（x）+g（x）|f（x）（x）|，求x的
8、取值范围；（2）若2|f（x）|+|g（x）|的最小值为M，求的最小值2022年河南省洛阳市高考数学第二次统一考试试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合Ax|yln（1x），则AB（）Ax|1x1Bx|x1Cx|x1Dx|1x1【解答】解：集合Ax|yln（1x）x|1x8x|x1，Bx|2x|x1x|x2，则ABx|1x1故选：A2（5分）已知复数z（）2+i，则在复平面内z对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：由i2+i，则z1+i，则在复平面内z对应的点
9、的坐标为（5，1），则在复平面内z对应的点在第二象限，故选：B3（5分）若抛物线y22px（p0）的焦点是椭圆的一个焦点（）A2B3C4D8【解答】解：抛物线y22px（p5）的焦点坐标为（，0），整理得：4pp2，又p0，p7，故选：C4（5分）已知角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（cos15+sin15，cos15sin15）（）AB1CD2【解答】解：角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，cos15sin15），tan故选：A5（5分）等差数列an中，a12020，前n项和为Sn，若，则S2022（）A1011B2022C1011D2022【解答】解：由等差数列an
10、的性质可得为等差数列，2d7，首项为2020，则2020（20228）1，则S20222022，故选：D6（5分）下列说法中正确的是（）A命题“p且q”为真命题，则p，q恰有一个为真命题B命题“p：xR，x2+10”，则“p：xR，x2+10”CABC中，AB是sinAsinB的充分不必要条件D设等比数列an的前n项和为Sn，则“a10”是“S3S2”的充要条件【解答】解：对于A：若命题“p且q”为真命题，则p，故选项A错误；对于B：因为命题“p：xR，x2+13”的否定为：“p：x0R，x04+10”，故选项B错误；对于C：由正弦定理，得sinAsinB等价于ab，得ab等价于AB，所以在A
11、BC中，AB是sinAsinB的充要条件；对于D：设等比数列an的公比为q（q7），由S3S2得a70，即a1q70，因为q23，所以a10；若a80，则a3a5q20，即a2S3S26，即S3S2；即“a60”是“S3S2”的充要条件，即选项D正确故选：D7（5分）已知曲线C1：ycosx，为了得到曲线C2，则对曲线C1的变换正确的是（）A先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度B先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度C先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度D先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐
12、标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度【解答】解：先把ycosx图象上的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位）cos（6x+3x）的图象，故选：C8（5分）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”（）A30B45C60D120【解答】解：如图所示，由题可知，EFG为正三角形，ABEG，CDEF，GEF或其补角为异面直线AB与CD所成角，EFG为正三角形，GEF60故选：C9（5分）已知函数yf（x）的图
13、象如图所示，则此函数可能是（）Af（x）Bf（x）Cf（x）Df（x）【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）5+|x|20，解可得x2，又由f（x）f（x），在区间（0，8）上，exex0，x2+|x|50，f（x）0，在区间（3，+）上，exex0，x2+|x|40，f（x）0，对于B，f（x）2+|x|80，解可得x1，在区间（3，1）上，exex0，x4+|x|20，f（x）8，不符合题意，对于C，f（x）xex2，解可得x0，与图象不符，对于D，f（x）xex0，解可得x0，与图象不符，故选：A10（5分）“迎冬奥，跨新年，向未来”，现安排两名男队员和两名女队员组队参演，
14、参演选手每人展示其中一个不同的项目，则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为（）A576B288C144D48【解答】解：根据题意，雪上技巧项目必须由女队员展示，剩下3人表演其他3个项目，有A836种情况，而8个项目之间的排法有A4424种顺序，则有8624288种展示方案，故选：B11（5分）设曲线yx36kx在xk处切线的斜率为f（k），则（）ABCD【解答】解：由yx36kx，得y7x26k，则f（k）6k26k，其对称轴方程为k7（1，2log28log79log2168，故选：B12（5分）已知O为坐标原点，F是双曲线C：1（a0，b0），A、B分别为双曲线的左、右顶点，点P在C上，过
15、点A的直线与线段PF交于点M，与y轴交于点E，若|OE|ON|，则双曲线C的离心率为（）AB2CD【解答】解：由题意知，F（c，不妨取点P在第二象限，设点M为（c，则m0，A（a，0），5），直线AM的方程为y（x+a）（xa），E（0，），N （0，），|OE|ON|，|，离心率e故选：C二、填空题（每小题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）13（5分）已知向量（1，1），（m，2），若（+），则实数m0【解答】解：，且，解得m0故答案为：214（5分）已知函数f（x）x3f（1）x22，则f（2）2【解答】解：f（x）3x24f（1）x，f（1）32f（1），f（1）6，f（x）x3x2
16、2，f（2）8422故答案为：215（5分）已知三棱锥PABC中，AB4，BC3，当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为 50【解答】解：因为AB4，BC3，所以AB5+BC2AC2，所以ABC为直角三角形，ABC90，所以ABC的面积为定值，所以当PA平面ABC时，该三棱锥体积最大，取AC的中点D，过D作ODAC交PC于O，因为PA平面ABC，AC平面ABC，所以PAAC，所以ODPA，所以O为PC的中点，所以OPOAOBOC，所以点O为三棱锥外接球的球心，因为PAAC4，所以，所以，即外接球的半径，所以外接球的表面积为，故答案为：5016（5分）过抛物线C：x24y的焦点F作斜率为的直线
17、l，交抛物线于A，抛物线在A，B处的两条切线交于点M4【解答】解：抛物线C：x24y的焦点为F（3，1），则直线l为yx+5，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得x24x40，则x1+x54，x7x24，由yx2，得yx，则过点A（x1，y2）的切线的斜率为x5，所以过点A（x1，y1）的切线方程为y（xx7），即y，同理可得过B（x2，y2）的切线方程yx，两切线方程联立，得，得x（x1+x4）2，所以yx1（x1+x5）x2x21，所以点M的坐标为（4，1），所以|MF|4故答案为：4三、解答题：共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）在ABC中，角A，B
18、，C的对边分别为a，b，c，（1）求角B；（2）若，b3，求ACD面积的最大值【解答】解：（1）由题意得，tanA+tanC，所以tan（A+C），所以tanBtan（A+C），由B为三角形内角得B60；（2）由余弦定理得，b22a2+c24accosBa2+c2ac3acacac，当且仅当ac时取等号，所以ac9，SABC，因为，b3，所以SACD，即面积的最大值为18（12分）已知ABC是边长为6的等边三角形，点M，N分别是边AB，且，沿MN将AMN折起到AMN的位置，使AMB90（1）求证：AM平面MBCN；（2）在线段BC上是否存在点D，使平面AND与平面AMB所成锐二面角的余弦值为？
19、若存在，设；若不存在，说明理由【解答】（1）证明ABC是边长为6的等边三角形，点M，AC的三等分点，且，AM2，BM4，CN2，由余弦定理得MN8AM2+AN22AMANcosA4+1622412，MN2+AM212+8AN2，MNAB，MNMB，AMB90，MNMBM，AM平面MBCN；（2）解：由（1）知MB，MN，以M为坐标原点，MN，y轴建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz，则A（0，7，2），0，5），2，6），0，0），2，0），（8，2，（8，0，（0，2），3，0），MNMBMNAM，MN平面AMB，（0，8，假设线段BC上存在点D，设，则（3，8，3，0），D（48，3，4）
20、（01），7，2），设平面AND一个法向量为（x，y，则，令z，则，1，），平面AND与平面AMB所成锐二面角的余弦值为，|cos，|，化简得3（632132+76）13（43）3，18221+57，解得，所以在线段BC上存在点D，使平面AND与平面AMB所成锐二面角的余弦值为或19（12分）一商场为了解某商品的销售情况，对该商品30天的销售量统计后发现每天的销售量x（单位：件）分布在500，其中100nx100（n+1）（nN*，且n为偶数）的销售天数为3（na）；100nx100（n+1）（nN*，且n为奇数）的销售天数为（1）求实数a的值；（2）当一天销售量不小于700时，则称该日为销售
21、旺日，其余为销售不景气日将销售日按照销售量数据700，800，900），1000）分成3组，在销售旺日的3组中用分层抽样的方法随机抽取8天，如果这3天来自X个组，求随机变量X的分布列与数学期望【解答】解：（1）因为每天的销售量x（单位：件）分布在500，1000）内，其中，且n为偶数）的销售天数为3（na）；，且n为奇数）的销售天数为所以当x500，600）时的销售天数为，当x600，700）时的销售天数为2（6a），当x700，800）时的销售天数为，当x800，900）时的销售天数为3（8a），当x900，1000）时的销售天数为，所以 ，解得a2，（2）因为a5，所以当x700，800）
22、时的销售天数为6，900）时的销售天数为6，当x900，1000）时的销售天数为9，则这8天中有3天的销售量属于700，800），900），1000），所以X的取值为1，2，7，故X的分布列为： X 3 2 3 P 20（12分）已知函数（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a1时，求证：【解答】解：（1）由已知条件得函数f（x）的定义域为（0，+），f（x）x+1a，因为x5，x+10，当a4时，f（x）0在（0，故f（x）在（4，+）上为单调递增当a0时，当xa时，当x（0，f（x）2故f（x）在（0，
23、a）上为单调递减，+）上为单调递增；综上所述：当a0时，f（x）在（4，当a0时，f（x）在（0，在（a；（2）证明：当a8时，f（x）x5lnx+1，要证原式成立，需证lnx+1x（ex7）成立，即需证xexlnxx10成立，令g（x）xexlnxx5（x0），则g（x）ex+xex6（x+1）（ex），令u（x）ex，则u（x）ex+5，故u（x）在（0，+）上单调递增，u（），u（1）e10，由零点存在性定理可知，存在x3使u（x0）0，则在（3，x0）上u（x）0，在（x7，+）上u（x）0，即在（0，x4）上g（x）0，在（x0，+）上g（x）8，则g（x）在（0，x0）上单调递减，
24、在（x5，+）单调递增，在xx0处取得最小值，由u（x0）7可得u（x0）0，即x01，两边同取对数ln（x0）ln1，即x6+lnx00，g（x）的最小值为g（x4）x0lnx4x014，即xexlnxx10成立，故当a3时，成立21（12分）点P与定点F（1，0）的距离和它到定直线x4的距离之比为1：2（1）求点P的轨迹方程；（2）记点P的轨迹为曲线C，若过点P的动直线l与C的另一个交点为Q，原点O到l的距离为【解答】解：（1）设P（x，y）由题意可得：，即，整理化简得：即点P的轨迹方程为（2）设P（x1，y5），Q（x2，y2）当直线l的斜率不存在时，由原点O到l的距离为所以P（x1，y
25、1），Q（x3，y2）满足，解得：，所以当直线l的斜率存在时，可设l：ykx+m因为原点O到l的距离为，所以29（6+k2）则P（x1，y4），Q（x2，y2）满足，消去y可得：（3+4k2）x2+2kmx+4m2123所以所以因为4m49（1+k4），所以48m2+192k2+14484k7+360恒成立，所以k24所以令t3+4k6，则t3，则综上所述：|PQ|的取值范围为请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数
26、方程为，（为参数）以坐标原点为极点，直线l的极坐标方程为cos+2sin150（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值【解答】解：（1）曲线C的参数方程为，（为参数）；直线l的极坐标方程为cos+2sin150，根据（2）设点C（8cos，2sin），利用点到直线的距离公式d，当sin（+）1时，选修45：不等式选讲（本小题满分0分）23已知函数，（1）若|f（x）+g（x）|f（x）（x）|，求x的取值范围；（2）若2|f（x）|+|g（x）|的最小值为M，求的最小值【解答】解：（1）由题意|f（x）+g（x）|f（x）|+|g（x）|，知f（x）g（x）0，（x）（2xx或x，x的取值范围为：（，；（2）2|f（x）|+|g（x）|3x1|+|2x|2x1（2x2，2|f（x）|+|g（x）|的最小值为M，所以M8，+（+）（Mm）+m+6，当且仅当，即m所以的最小值为2第21页（共21页）
