1、等差数列等差数列1复习回顾复习回顾: :1.数列定义数列定义:按照一定顺序排成的一列数按照一定顺序排成的一列数简记作简记作:an2.通项公式通项公式:如果数列如果数列an中第中第n项项an与与n之间的之间的 关系可以用一个式子来表示关系可以用一个式子来表示,那么这那么这 个公式叫做数列的通项公式个公式叫做数列的通项公式.3.数列的分类数列的分类(1)按项数分：按项数分：项数有限的数列叫有穷数列项数有限的数列叫有穷数列(2)按项之间的大小关系：按项之间的大小关系：递增数列，递增数列， 递减数列，递减数列，项数无限的数列叫无穷数列项数无限的数列叫无穷数列摆动数列，摆动数列， 常数列。常数列。5.递
2、推公式递推公式:4.数列的实质数列的实质 数列可以看作是一个定义域为正整数集数列可以看作是一个定义域为正整数集（ 或它的有限子集或它的有限子集1，2，n）的函数，的函数，当自变量从小到大依当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函次取值时对应的一列函数值数值。*N 如果已知如果已知an的第的第1项项(或前或前n项项),且任一项且任一项an与它的前一项与它的前一项an-1(或前或前n项项)间的关系可用一个间的关系可用一个公式来表示公式来表示,这个公式叫做数列的递推公式这个公式叫做数列的递推公式.说明说明:递推公式也是数列的一种表示方法。递推公式也是数列的一种表示方法。 ）（即即，倍倍再再加加上上项
3、项的的起起每每一一项项等等于于它它的的前前一一项项，从从第第的的首首项项如如果果一一个个数数列列112122111 naaaannn，那么那么12122312 aaaa称称为为递递推推公公式式。）（其其中中叫叫做做递递推推法法，象象这这样样给给出出数数列列的的方方法法1121 naann递推关系举例递推关系举例: :在过去的三百在过去的三百多年里，人们多年里，人们分别在下列时分别在下列时间里观测到了间里观测到了哈雷慧星：哈雷慧星：（1）1682，1758，1834，1910，1986，（，（ ）你能预测出下一次的大致时间吗？2062某饮料公司拟推出一项有利于环境保护的回收饮料瓶的措施，规定每3
4、个饮料罐可换1罐饮料问题一:购买11罐，可喝到几罐?购买12罐，可喝到几罐?购买13罐，可喝到几罐?若购买77罐饮料，可喝到几罐饮料？若购买m罐饮料，可喝到几罐饮料？通常情况下，从地面通常情况下，从地面到到10公里的高空，气公里的高空，气温随高度的变化而变温随高度的变化而变化符合一定的规律，化符合一定的规律，请你根据下表估计一请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的下珠穆朗玛峰峰顶的温度。温度。8844.43米高度(km)温度()1232821.515458.529-24(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, , -24.减少减少6.5我国现行储蓄制度规定银行支付利息方式为单利,即不把
5、利息加入本金计算下一期的利息.按照单利计算本利和的公式是: 本利和=本金(1+利率存期)如按活期存入10000元,年利率是0.72%,那么按照单利,5年内各年末的本利和分别是: 1007210144102161028810360从0开始数数,每隔5数一次,可以得到数列:0,5,10,15, ( 3 ) 10072，10144，10216，10288，10360( 4 ) 0，5，10，15, ( 1 ) 1682，1758，1834，1910，1986，（，（2062）( 2 ) 32, 25.5, 19, 12.5, 6, , （ -24）.它们的共同的规律是？它们的共同的规律是？共同特点共
6、同特点: :从第二项起从第二项起, ,每一项与前一项的每一项与前一项的差都等于同一常数差都等于同一常数. .为回答以上问题,先看下面的数列： 1，3，5，7，9， 1，4，7，10，13； 2，4，6，8，10； 2，5，8，11，14；1.1.等差数列的定义等差数列的定义: : 一般地一般地,如果一个数列从第二项起如果一个数列从第二项起,每一项与每一项与它的前一项的差等于同一个常数它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列那么这个数列就叫做等差数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母通常用字母d表示表示. 注注: (1)从第二项起从第二项起; (
7、2)同一个常数同一个常数,且由后项减前项且由后项减前项 可以表示为可以表示为: an- an-1=d (d为常数为常数,与与n无关的数或者字母无关的数或者字母,n1) 它们是等差数列吗？它们是等差数列吗？(6) 5，5，5，5，5，5，公差公差 d=0 常数列常数列公差公差 d= 2x(5) 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10,3 ,5 , 7,9,xxxxx(7) 在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：一个等差数列：（1）2 ，( ) ， 4 （2）-12，( ) ，0 3-6 如果在如果
8、在a a与与b b中间插入一个数中间插入一个数A A，使，使a a，A A，b b成等差数列，那么成等差数列，那么A A叫做叫做a a与与b b的等差中项的等差中项2baA2ab212nnnaaa探究探究1 1( 3 ) , ( ) , ab2.2.等差中项等差中项: :(3) 1，4，7，10，13，16，1(1)3nan探究探究2: 2:你会求该数列你会求该数列的通项公式吗？的通项公式吗？2413a 3743123a 4107 3 1 3 3a 5131031 4 3a 等差数列的通项公式如果一个数列如果一个数列是等差数列，它的公差是是等差数列，它的公差是d，那么，那么,1a,2a,3a,
9、na，daa12daddadaa2)(1123daddadaa3)2(1134daddadaa4)3(1145dnaan) 1(1 n=1时亦适合21aad32aad43aad12nnaad1nnaad迭加得迭加得1(1)naand等差数列的通项公式3.等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d a1为首项为首项,d为公差为公差注：注：1 1、等差数列的通项变形公式：、等差数列的通项变形公式：an=am+an=am+（n-mn-m）d (m,n Nd (m,n N* *) ) 2 2、知三求一、知三求一111nnmnnaaaadaaddnnm例例1 (1) 求等差数列求等差数列8，5，2，的第
10、，的第20项。项。解：解：49)3()120(820 a(2) 等差数列等差数列 -5，-9，-13，的第几项是，的第几项是 401？解：解：,401, 4)5(9, 51nada因此，因此，)4()1(5401n解得解得100ndnaan) 1(1,20, 385, 81nda应用应用例例2 2 在等差数列中在等差数列中, ,已知已知a5=10,a12=31,a5=10,a12=31,解：由题意可知解：由题意可知这是一个以这是一个以 和和 为未知数的二元一次为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得方程组，解这个方程组，得即这个等差数列的首项是即这个等差数列的首项是- -，公差是，公差是.
11、.求首项求首项a1a1与公差与公差d.d.dnaan) 1(1114101131adad1ad123ad 1. 求等差数列求等差数列3，7，11，的第的第4，7，10项；项；2. 100是不是等差数列是不是等差数列2，9，16，中的项？中的项？3. -20是不是等差数列是不是等差数列0，- ，-7中的项；中的项；,154a,277a3910adnaan) 1(1157)1(2100nn)(74727)1(020舍nn练一练练一练72练一练练一练4. 4. 在等差数列中在等差数列中471(1)10,19,.aaad已知求 与11,3ad3912(2)9,3aaa已知，求111,1ad 120a1
12、、试用三种数学语言（文字语言、符号语言）来表述、试用三种数学语言（文字语言、符号语言）来表述一下等差数列的概念：一下等差数列的概念：如果一个数列从第如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。 如果数列如果数列an，满足，满足an-an-1=d（d为常数，为常数，n2，且且nN*），则数列），则数列an叫做以叫做以d为公差的等差数列。为公差的等差数列。 2、首项是、首项是a1，公差是，公差是d的等差数列的通项公式为的等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，在在a1，d，n，an这四个量中可知三求一，体现方程思想；这四个量中可知三求一，体现方程思想；总结反思总结反思3、等差数列的通项公式的推导方法、等差数列的通项公式的推导方法归纳法（由特殊到归纳法（由特殊到一般）和累加法，也是我们今后已知数列的递推式求通项公一般）和累加法，也是我们今后已知数列的递推式求通项公式的常用方法。式的常用方法。4、数学与生活实际有着密切联系，数学概念、数学与生活实际有着密切联系，数学概念
