1、组 合 问题一：问题一：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参名去参加某天的一项活动，其中加某天的一项活动，其中1 1名同学参加上午的名同学参加上午的活动，活动，1 1名同学参加下午的活动，有多少种不名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？同的选法？问题二：问题二：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？加某天一项活动，有多少种不同的选法？236A 甲、乙；甲、丙；乙、丙甲、乙；甲、丙；乙、丙 3 3从已知的从已知的3个个不同元素中不同元素中每次取出每次取出2个个元素元素, ,并成一并成一组组问题
2、二问题二从已知的从已知的3 个不同元素个不同元素中每次取出中每次取出2个元素个元素, ,按按照一定的顺照一定的顺序排成一列序排成一列. .问题一问题一排列排列组合组合有有顺顺序序无无顺顺序序 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素个元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合. . 排列与组合的排列与组合的概念有什么共概念有什么共同点与不同点？同点与不同点？ 组合定义组合定义: :? ?组合定义组合定义: 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素个元素并成一组并成一组，叫做
3、从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素的一个素的一个组合组合排列定义排列定义: 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m (mn) 个元素，个元素，按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列，叫做从，叫做从 n 个不个不同元素中取出同元素中取出 m 个元素的一个个元素的一个排列排列.共同点共同点: 都要都要“从从n个不同元素中任取个不同元素中任取m个元素个元素” 不同点不同点: : 排列排列与元素的顺序有关，与元素的顺序有关， 而组合而组合则与元素的顺序无关则与元素的顺序无关. .思考一思考一:aB与与Ba是相同的排列是相同的排列 还是相同的组还是相同的组合
4、合?为什么为什么? ?思考二思考二: :两个相同的排列有什么特点两个相同的排列有什么特点? ?两个相同两个相同的组合呢的组合呢? ?）元素相同；）元素相同；）元素排列顺序相同）元素排列顺序相同. .元素相同元素相同 构造排列分成两步完成，先取后排；构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤而构造组合就是其中一个步骤. .思考三思考三: :组合与排列有联系吗组合与排列有联系吗? ?判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题? ? (1)设集合设集合A=a,b,c,d,e，则集合，则集合A的含有的含有3个元素的个元素的子集有多少个子集有多少个?(2)某铁路
5、线上有某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票多少种车票? 有多少种不同的火车票价？有多少种不同的火车票价？组合问题组合问题排列问题排列问题(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共共需握手多少次需握手多少次?组合问题组合问题组合问题组合问题组合是选择的结果，排列组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果是选择后再排序的结果.1.从从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是有组合分别是:ab , ac , bc 2.已知已知4个元素个元素a , b
6、 , c , d ,写出每次取出两个元写出每次取出两个元素的所有组合素的所有组合.ab c d b c d cd ab , ac , ad , bc , bd , cd(3(3个个) )(6(6个个) ) 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的所）个元素的所有组合的个数，叫做从有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示.mnC233C 246C 如如:从从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是的所有组合个数是:如如:已知已知4个元素个元素a 、b 、 c
7、、 d ,写出每次取出写出每次取出两个元素的所有组合个数是：两个元素的所有组合个数是：组合数组合数 是一个数，应该把它与是一个数，应该把它与“组合组合”区别开来区别开来 mnC1.写出从写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有四个元素中任取三个元素的所有组合组合abc ， abd ， acd ，bcd .bcddcbacd组合组合排列排列abcabdacdbcdabc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbdc cdb dcb（三个元素的）（三个元素的）1 1个组合，对应着个
8、组合，对应着6 6个排列个排列你发现了你发现了什么什么?PPC333434 34 4C第一步，（）个；33 6A第二步，（）个；333.434 CAA根据分步计数原理，334343ACA从而34A对于对于，我们可以按照以下步骤进行，我们可以按照以下步骤进行组合数公式组合数公式 排列与组合是有区别的，但它们又有联系排列与组合是有区别的，但它们又有联系 一般地，求从一般地，求从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的排列个元素的排列数，可以分为以下数，可以分为以下2步：步： 第第1 1步，先求出从这步，先求出从这n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数 mnC第第2步，
9、求每一个组合中步，求每一个组合中m个元素的全排列数个元素的全排列数 mnA根据分步计数原理，得到：根据分步计数原理，得到：mmmnmnACA因此：因此： !121mmnnnnAACmmmnmn 这里这里m,n是自然数，且是自然数，且 m n ，这个公式叫做，这个公式叫做 组合数公式组合数公式: :(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAmmmmnmnCAA!()!mnnCm nm01.nC我们规定：从从 n个不同元中取出个不同元中取出m个元素的排列数个元素的排列数例题分析例题分析例例1.1.计算：计算：（1 1）和；（）和；（2 2）和）和47C37C3100C329999CC 组合
10、数的性质组合数的性质mn mnnCC（1 1）11mmmnnnCCC（2 2）例例2 2计算：计算：6458882CCC6659109CCC9495969796979899CCCC（1 1）（2 2）（3 3）96979999CC练习练习（1 1）求）求 的值的值221717xxCC（2 2）求满足）求满足 的的x值值11122mmmmnnnnCCCC（3 3）求证：）求证：11111mmmmnnnnCCCC129999CCC（4 4）求）求 的值的值1617005或2511例例3.3.11CmnmCmnmn:求证,! :）（！证明mnmnCmn)!1()!1(! 111mnmnmnmmnmC
11、mn)!1)(! )!1(1mnmnnmm.! )( !Cmnmnmn 1.理解组合的定义，区别排列与组合之间的关系.（2）同是从）同是从n个元素中取个元素中取m个元素，但是组合个元素，但是组合一旦取完就结束，而排列还要继续进行排序一旦取完就结束，而排列还要继续进行排序（1）有序与无序的区别）有序与无序的区别2.2.理解组合数的的定义与公式理解组合数的的定义与公式(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm（1 1）!()!mnnCmnm（2 2）有关组合的应用题有关组合的应用题 例例1 1一位教练的足球队共有一位教练的足球队共有1717名初级学员，他们中名初级学员，他们中以前没有一人
12、参加过比赛按照足球比赛规则，比赛以前没有一人参加过比赛按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是时一个足球队的上场队员是1111人问：人问：（1 1）这位教练从这）这位教练从这1717名学员中可以形成多少种学员名学员中可以形成多少种学员上场方案？上场方案？ （2 2）如果在选出）如果在选出1111名上场队员时，还要确定其中的名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？例例2 2（1 1）平面内有）平面内有1010个点，以其中每个点，以其中每2 2个点为端点个点为端点的线段共有多少条？的线段共有多少条？（2 2）平面内有）平
13、面内有1010个点，以其中每个点，以其中每2 2个点为端点的有向个点为端点的有向线段共有多少条？线段共有多少条？例例2 2有有4 4本不同的书，一个人去借，有多少种不同的本不同的书，一个人去借，有多少种不同的借法？借法？例例3 3有有1313本不同的书，其中小说本不同的书，其中小说6 6本，散文本，散文4 4本，诗本，诗歌歌3 3本，某人借本，某人借6 6本，其中有本，其中有3 3本小说，本小说，2 2本散文，本散文，1 1本本诗歌，问有几种借法？诗歌，问有几种借法？（1）某些特殊元素包含在（或不包含在）所要求的）某些特殊元素包含在（或不包含在）所要求的组合中：组合中：例例1一个口袋内装有大小
14、相同的一个口袋内装有大小相同的7个白球和个白球和1个黑球，个黑球，（1）从口袋内取出）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出）从口袋内取出3个球，使其中含有个球，使其中含有1个黑球，有个黑球，有多少种取法？多少种取法？（3）从口袋内取出）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少个球，使其中不含黑球，有多少种取法？种取法？例例2100件产品中，有件产品中，有98件合格品，件合格品，2件次品从这件次品从这100件产品中任意抽出件产品中任意抽出3件件（1）一共有多少种不同的抽法；）一共有多少种不同的抽法；（2）抽出的）抽出的3件都不是次品的抽法有多少种？件都不
15、是次品的抽法有多少种？（3）抽出的）抽出的3件中恰好有件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？件是次品的抽法有多少种？（4）抽出的）抽出的3件中至少有件中至少有1件是次品的取法有多少种？件是次品的取法有多少种？（2 2）某些特殊元素有特殊归类问题：）某些特殊元素有特殊归类问题：例例1 1平面上有五个蓝点和七个红点，其中有三个红平面上有五个蓝点和七个红点，其中有三个红点与两个兰点在同一条直线上，除此以外，再无三点与两个兰点在同一条直线上，除此以外，再无三点共线，问过两个不同颜色的点，共可作多少条直点共线，问过两个不同颜色的点，共可作多少条直线？线？例例2 2有划船运动员有划船运动员1010人，其中人
16、会划右舷，人人，其中人会划右舷，人会划左舷，其余人都会划，现要从中选出人，会划左舷，其余人都会划，现要从中选出人，平均分配在船的两舷，有多少种选法？平均分配在船的两舷，有多少种选法？（3 3）组合中的有重复问题：）组合中的有重复问题：例例1 1由数由数1 1、2 2、3 3、4 4可组成多少个不同的和？可组成多少个不同的和？例例2 2以正方体的四个顶点为顶点可以确定多少个三以正方体的四个顶点为顶点可以确定多少个三棱锥？棱锥？（4 4）“不相邻不相邻”的组合问题：的组合问题：例例1 1现有十只灯，为节约用电，将其中的三只灯关掉，现有十只灯，为节约用电，将其中的三只灯关掉，但不能关掉相邻的两只或三
17、只，也不能关掉两端的灯，但不能关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，关灯方法有多少种？关灯方法有多少种？例例2 2某仪表显示屏上一排个小孔，每个小孔可显示某仪表显示屏上一排个小孔，每个小孔可显示红与黄两种颜色信号，若每次有三个小孔同时给出信红与黄两种颜色信号，若每次有三个小孔同时给出信号，但相邻的两孔不能同时给出信号，求此显示屏可号，但相邻的两孔不能同时给出信号，求此显示屏可显示多少种不同的信号？显示多少种不同的信号？3 3“名额分配名额分配”问题：问题：例例1 1有有1010个参加数学竞赛的名额，要分给个参加数学竞赛的名额，要分给7 7所学校，所学校，每校至少一个名额，有多少种不同的名额
18、分配方法？每校至少一个名额，有多少种不同的名额分配方法？例例3 3第第1717届世界杯足球赛于届世界杯足球赛于20022002年夏季在韩国、年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有日本举办、五大洲共有3232支球队有幸参加，他们支球队有幸参加，他们先分成先分成8 8个小组循环赛，决出个小组循环赛，决出1616强（每队均与本组强（每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级其他队赛一场，各组一、二名晋级1616强），这支强），这支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三、四名，问这次世界杯总共将此外还要决出第三、四名，问这次世界杯总共将进行
19、多少场比赛？进行多少场比赛？例例1. 1. 在产品检验中，常从产品中抽出一部分在产品检验中，常从产品中抽出一部分进行检查进行检查. .现有现有100100件产品，其中件产品，其中3 3件次品，件次品，9797件件正品正品. .要抽出要抽出5 5件件进行检查，根据下列各种要求，进行检查，根据下列各种要求，各有多少种不同的抽法？各有多少种不同的抽法？(1)无任何限制条件；无任何限制条件；(2)全是正品；全是正品；(3)只有只有2件正品；件正品；(4)至少有至少有1件次品；件次品；(5)至多有至多有2件次品；件次品；(6)次品最多次品最多.解答：解答：5100C（1 1）597C（2 2）23973
20、CC（3 3）5510097CC（4 4）413223973973973CCCCCC，或，或（5 5）504132973973973CCCCCC23973CC（6 6）1. 1.有有1010道试题，从中选答道试题，从中选答8 8道，共有道，共有 种选法、种选法、又若其中又若其中6 6道必答，共有道必答，共有 不同的种选法不同的种选法. .2.2.某班有某班有5454位同学，正、副班长各位同学，正、副班长各1 1名，现选派名，现选派6 6名同学名同学参加某科课外小组，在下列各种情况中参加某科课外小组，在下列各种情况中 ，各有多少种，各有多少种不同的选法？不同的选法？（1 1）无任何限制条件；）无
21、任何限制条件；（2 2）正、副班长必须入选；）正、副班长必须入选；（3 3）正、副班长只有一人入选；）正、副班长只有一人入选；（4 4）正、副班长都不入选；）正、副班长都不入选；（5 5）正、副班长至少有一人入选；）正、副班长至少有一人入选；（5 5）正、副班长至多有一人入选；）正、副班长至多有一人入选；练习：练习：小结：至多至少问题常用分类的或排除法小结：至多至少问题常用分类的或排除法. .例例2 从数字从数字1,2,5,7中任选两个中任选两个 练习练习 有不同的英文书有不同的英文书5本本,不同的中文书不同的中文书7本本, 从中选出两本书从中选出两本书.(1)若其中一本为中文书若其中一本为中
22、文书,一本为英文书一本为英文书. 问共有多少种选法问共有多少种选法?(1) 可以得到多少个不同的和可以得到多少个不同的和? (2)可以得到多少个不同的差可以得到多少个不同的差?(2)若不限条件若不限条件,问共有多少种选法问共有多少种选法?6个12个35种66种例例4 4 有有1212名划船运动员名划船运动员, ,其中其中3 3人只会划左舷人只会划左舷, , 4 4人只会划右舷人只会划右舷, , 其它其它5 5人既会划左舷人既会划左舷, , 又会划又会划右舷右舷, , 现要从这现要从这1212名运动员中选出名运动员中选出6 6人平均分人平均分在左右舷参加划船比赛在左右舷参加划船比赛, ,有多少种
23、不同的选法有多少种不同的选法? ?例例3 在在MON的边的边ON上有上有5个异于个异于O点的点点的点,OM上有上有4个异于个异于O点的点点的点,以这十个点以这十个点(含含O)为为顶点顶点,可以得到多少个三角形可以得到多少个三角形?NOMABCDEFG HI练习练习 如图如图,在以在以AB为直径的半圆周上有异于为直径的半圆周上有异于A,B的六个点的六个点C1, C2 ,C3 , C4 ,C5 ,C6 , AB上有异上有异于于A, B的四个点的四个点D1 , D2 , D3 , D4,问问 (1)以这以这10个点中的个点中的3个点为顶点可作多少个点为顶点可作多少个三角形个三角形? (2)以图中以图
24、中12个点个点(包括包括A,B)中的四个为顶中的四个为顶点点,可作多少个四边形可作多少个四边形?ABD1D2D3D4C1C2C3C4C5C61. 排列与组合之间的区别在于有无顺序。组合中常见的问题有：选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题，解答组合问题的关键是用好组合的定义和两个基本原理，只选不排，合理分类、分步.2.理解组合数的性质3.解受条件限制的组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）.思悟小结P27 习题习题1.2 10、 11组合与组合数组合与组合数 通过前面的学习，我们已经知道了组合的定义，组合的定义，组合数及其一些性质和组合与排列的关系。今天我组合数及其一些性
25、质和组合与排列的关系。今天我们将在此基础上，继续学习它们的一些应用们将在此基础上，继续学习它们的一些应用（一）组合数的（一）组合数的公式及其性质：公式及其性质：(1)(2)(1)!mmnnnmAn nnnmCAm!()!mnnCmnm组合数性质组合数性质1 1：mnmnnCC 11mmmnnnCCC 2 2：01nnnCC特别地：特别地：_,4A3A2918nnn则已知7_3337410ACC0_,231010 xCCxx则1,或或5_9910098999799CCC5050练习一练习一129999CCC（5 5）求）求 的值的值（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）511例例1 1、计算：
26、、计算： 47C 710C例例2.2.甲、乙、丙、丁甲、乙、丙、丁4 4支足球队举行单循环赛，支足球队举行单循环赛，（1 1）列出所有各场比赛的双方；）列出所有各场比赛的双方；（2 2）列出所有冠亚军的可能情况）列出所有冠亚军的可能情况. .（2 2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲乙甲、丙甲丙甲、丁甲丁甲、丙乙丙乙、丁乙丁乙、丁丙丁丙（1 1） 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：解：32 nnCA（3）已知：）已知： ，求，求n的值的值 3535 (2)(2) 12012022264290C C C 22264
27、2C C C33A22236423C C CxA2226423315C C CxAmmmmnmnmmnnCCCA 12365360C C C12336533360C C C A例例1 16 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：的选法：（5 5）分给甲、乙、丙三人，每人至少）分给甲、乙、丙三人，每人至少1 1本本 22264290C C C 12336533360C C C A 436390C A 元素相同问题隔板策略元素相同问题隔板策略例例. .有有1010个运动员名额，再分给个运动员名额，再分给7 7个班，每个班，每班至少一个班至少一个, ,有多
28、少种分配方案？有多少种分配方案？ 解：因为解：因为1010个名额没有差别，把它们排成个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有对应一种分法共有_种分法。种分法。一班二班三班四班五班六班七班69C11mnC59C59126C 2615C 1234666623126CCCC4425624C34A24C34A333424ACC或者也可以3620C 一生产过程有一生产过程有4道工序，每道工序需
29、道工序，每道工序需要安排一人照看现从甲、乙、丙等要安排一人照看现从甲、乙、丙等6名名工人中安排工人中安排4人分别照看一道工序，第一人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（人，则不同的安排方案共有（ ）A24种种 B36种种 C48 D72种种 B 甲、乙、丙甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至位志愿者安排在周一至周五的周五的5天中参加某项志愿者活动，要求天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要每人参加一天且每天至多安排一人，并
30、要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（法共有（ ）A. 20种种 B. 30种种 C. 40种种 D. 60种种 A某人有某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（灯泡足够多），要在如题（16）图所示的）图所示的6个点个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有法共有 种（用数字作答）种（用数字作答）. 216455C 222mntC C C22mnC
31、C3122440C 211182772()AC C C1277C A211182772()AC C C1277C A9. 9. 某餐厅供应盒饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜某餐厅供应盒饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选肴中任选2 2荤荤2 2素共素共4 4种不同的品种种不同的品种. .现在餐厅准备了现在餐厅准备了5 5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200200种以上种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜_种种.( .(结果用数值表示结果用数值表示) )7 7【解题回顾】由于化为一元二次不等式【解题回顾】由于化为
32、一元二次不等式n2n400求求解较繁，考虑到解较繁，考虑到n为正整数，故解有关排列、组合的不为正整数，故解有关排列、组合的不等式时，常用估算法等式时，常用估算法. .10. 某电视台邀请了某电视台邀请了6位同学的父母共位同学的父母共12人，请这人，请这12位位家长中的家长中的4位介绍对子女的教育情况，如果这位介绍对子女的教育情况，如果这4位中恰位中恰有一对是夫妻，那么不同选择方法的种数是有一对是夫妻，那么不同选择方法的种数是( )(A)60 (B)120 (C)240 (D)270C11. 某次数学测验中，学号是某次数学测验中，学号是i (i=1、2、3、4)的四位的四位同学的考试成绩同学的考
33、试成绩 f(i)86,87,88,89,90，且满足，且满足f(1)f(2)f(3)f(4)，则四位同学的成绩可能情况有，则四位同学的成绩可能情况有( )(A)5种种 (B)12种种 (C)15种种 (D)10种种CB12.表达式表达式 可以作为下列哪一问题的答案可以作为下列哪一问题的答案 ( )(A)n个不同的球放入不同编号的个不同的球放入不同编号的n个盒子中，只有一个盒子个盒子中，只有一个盒子放两个球的方法数放两个球的方法数(B)n个不同的球放入不同编号的个不同的球放入不同编号的n个盒子中，只有一个盒子个盒子中，只有一个盒子空着的方法数空着的方法数(C)n个不同的球放入不同编号的个不同的球放入不同编号的n个盒子中，只有两个盒子个盒子中，只有两个盒子放两个球的方法数放两个球的方法数(D)n个不同的球放入不同编号的个不同的球放入不同编号的n个盒子中，只有两个盒子个盒子中，只有两个盒子空着的方法数空着的方法数211nnnnC A 1113216CCC( -1)mmmmnnmmmmCCCA
