1、高中数学 高一年级课标要求课标要求1.1.理解异面直线所成的角。理解异面直线所成的角。2.2.了解直线与平面垂直的定义。了解直线与平面垂直的定义。3.3.掌握直线与平面垂直的判定定理。掌握直线与平面垂直的判定定理。素养提升素养提升通过对线线夹角、线面垂直判定定理的学习通过对线线夹角、线面垂直判定定理的学习, ,培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。推理能力。目标导航复习引入复习引入空间中两条直线的位置关系空间中两条直线的位置关系相交直线相交直线平行直线平行直线异面直线异面直线 在平面内在平面内,两条直线相交成四个角两条直线相交成四个角, 其中其中
2、不大于不大于90度度的角称为它们的夹角的角称为它们的夹角, 用以刻画一用以刻画一条直线相对于另一条直线倾斜的程度条直线相对于另一条直线倾斜的程度, 如图如图.O 在空间在空间,如图所示如图所示, 正方体正方体ABCDEFGH中中, 异面直线异面直线AB相对于相对于HF的倾斜程度可以怎的倾斜程度可以怎样来刻画呢样来刻画呢?ABGFHEDC异面直线所成角的定义异面直线所成角的定义: 如图如图,已知两条异面直线已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点经过空间任一点O作作 直线直线 aa , b b 则把则把 a 与与 b 所成的锐角所成的锐角(或直角或直角)叫做异面直线所成的角叫做异面直线所
3、成的角 (或夹角或夹角).abb aO思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题异面直线所成的角的范围异面直线所成的角的范围( 0 , 90 oo如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ba 新课探究新课探究新课探究新课探究思考思考 : 这个角的大小与这个角的大小与O点的位置有关吗点的位置有关吗 ? 即即O点位置不同时点位置不同时, 这一角的大小是否改变这一角的大小是否改变? aa , a a a a (基本事实4),解答：解答： 如图如图设a 与 b 相交所成的角为1, a 与 b 所成的角为2 ,又 bb, 1 =
4、 2 (等角定理)b aO1aab2 答答 :这个角的大小与这个角的大小与O点的位置点的位置无关无关.在求作异面直线所成的角时在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上点常选在其中的一条直线上(如线段的如线段的端点端点,线段的线段的中点中点等等)知识总结知识总结定义前提两条异面直线a，b作法经过空间任一点O作直线aa，bb结论我们把a与b所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围记异面直线a与b所成的角为，则_特殊情况当_时，a与b互相垂直，记作_锐角(或直角)09090ab当两条直线平行时，我们当两条直线平行时，我们规定规定它们所成的角为它们所成的角为00空间两直线所成的角的
5、范围为空间两直线所成的角的范围为0 , 90 oo方法总结方法总结求异面直线所成的角的步骤是求异面直线所成的角的步骤是:一作一作(找找)：作（或找）平行线：作（或找）平行线二证：证明所作的角二证：证明所作的角（或其补角）（或其补角）为所求的异面直线所成的角为所求的异面直线所成的角三求：在一恰当的三角形中求出角三求：在一恰当的三角形中求出角作出异面直线所成的角作出异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生可通过多种方法平移产生,主要有三种主要有三种方法方法:直接平移法直接平移法(可利用图中已有的平行线可利用图中已有的平行线);中位线平移法中位线平移法;补形平移法补形平移法(在已知图形中在已知图形中
6、,补作一个相同的几何体补作一个相同的几何体,以便找到以便找到平行线平行线).例1、如图，已知正方体ABCDABCD 中。（1）哪些棱所在的直线与直线AA 垂直？（2）直线BA 和CC 所成的角是多少？（3）直线BA 和AC 所成的角是多少？解：（1）,AB BC CD DA A BB C C D D A （2）由 可知， （或其补角） 异面直线 与 所成的角,所以异面直线 与 所成的角为450 。 /BBCCBBABACCCCBA巩固练习巩固练习例例1 1、如图，已知正方体、如图，已知正方体ABCDABCDABCDABCD 中。中。（1 1）哪些棱所在的直线与直线）哪些棱所在的直线与直线AAA
7、A 垂直？垂直？（2 2）直线）直线BABA 和和CCCC 所成的角是多少？所成的角是多少？（3 3）直线）直线BABA 和和ACAC 所成的角是多少？所成的角是多少？（3 3）如图，连接）如图，连接AC.AC.因为因为ABCDABCDABCDABCD 是是正方体，所以正方体，所以AAAA与与CCCC平行且相等平行且相等. .可得四边形可得四边形ACCAACCA为平行四边形为平行四边形. .所以所以ACAC可平移至可平移至AC.AC. 连接连接BCBC，易证，易证ABCABC为等边三角形，从为等边三角形，从而求得直线而求得直线BABA与与ACAC所成角为所成角为6060。巩固练习巩固练习巩固练
8、习巩固练习例例2 2、在空间四边形、在空间四边形ABCDABCD中，中，AD=2AD=2，BC=2 BC=2 ，E E，F F分分别是别是ABAB，CDCD的中点，的中点，EF= EF= ，则异面，则异面直线直线ADAD与与BCBC所成角的大小为所成角的大小为 ( () )A.150A.150B.60B.60C.120C.120D.30D.3037取取ACAC的中点的中点M M，连接，连接EMEM，FM.FM.M则则EMBCEMBC，FMADFMAD，EM= FM=1EM= FM=1，所以，所以EMFEMF或或其补角其补角即为异面直线即为异面直线ADAD与与BCBC所成角所成角. .在在MEF
9、MEF中，中，cosEMFcosEMF= = 所以所以EMF=150EMF=150. .所以异面直线所以异面直线ADAD与与BCBC所成角的大小为所成角的大小为3030. .33 1 73,223 1 实例导入实例导入问题问题1 1：请同学们观察图片：请同学们观察图片, ,说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？你能举出一些类似的例子吗？ 一条直线与一个平面垂直的意义是什么？一条直线与一个平面垂直的意义是什么？ABB1C1CB旗杆旗杆ABAB所在直线与地面内所在直线与地面内任意一条过点任意一条过点B B的直线垂的直线
10、垂直直 与地面内任意一条不过点与地面内任意一条不过点B B的直线的直线B B1 1C C1 1也垂直也垂直 直线垂直于平面内的直线垂直于平面内的任意一条直线任意一条直线新课探究新课探究新课探究直线与平面垂直的定义：直线与平面垂直的定义：Pl直线直线平面平面l的垂面的垂面垂足垂足的垂线的垂线如果直线如果直线l 和平面和平面内的内的任意任意一条直线都垂直，我们就说直线一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面和平面互相垂直互相垂直 记作：记作：l l 叫做叫做的的, 叫做叫做l 的的, l 与与的唯一公共点的唯一公共点P叫做叫做说明：说明：l l等价于对任意的直线等价于对任意的直线m m ，都有，都有
11、l lm.m.符号语言：符号语言：任意任意a，都有，都有la .画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的的平行四边形的一边垂直一边垂直新课探究新课探究1.1.过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. . 2.过一点作垂直于过一点作垂直于已知平面的直线，已知平面的直线，则该点与垂足间则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的的线段，叫做这个点到该平面的垂线段垂线段，垂线段的长，垂线段的长度叫做这个度叫做这个点到该平面的距离点到该平面的距离.点到该平面的距离：点到该平面的距离：新课探究新课探究Pab
12、l作用：线线垂直作用：线线垂直 线面垂直线面垂直符号语言：符号语言： l.新课探究新课探究巩固练习巩固练习如图如图,已知已知PA垂直于垂直于O所在的平面所在的平面,AB是是O的直径的直径,C是是O上上任意一点任意一点,求证求证:BCPC.析：析：首先利用首先利用PA平面平面ABC得到得到PABC,然后根据圆然后根据圆的性质得到的性质得到ACBC,进而利用线面垂直判定定理证得进而利用线面垂直判定定理证得BC平面平面PAC,从而得到从而得到BCPC.证明证明:PA平面平面ABC,BC 平面平面ABC,PABC. AB是是O的直径的直径,BCAC. 又又PAAC=A,BC平面平面PAC. PC 平面平面PAC,BCPC.总结提升总结提升直角直角互相垂直互相垂直ab锐角或直角锐角或直角总结提升总结提升任意一条任意一条垂线垂线垂面垂面垂足垂足总结提升总结提升两条相交两条相交课后作业课后作业 作业：作业： 1.课堂练习。 2.课后练习 。
