1、1.4 1.4 全称量词与存在量词全称量词与存在量词1.4.1 全称量词思考? 下列语句是命题吗? (1)与(3)之间, (2)与(4)之间有什么关系? (1) x3 ; (2)2x+1是整数; (3)对所有的 xR,x3. (4)对任意一个XZ, 2x+1是整数.语句（1）、（2）无法判断它们的真假从而不是命题，语句（3）在（1）的基础上用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句（4）在（2）的基础上用短语“对任意一个”对变量x进行限定，从而成为了可以判断真假的语句，为命题。 常见的全称量词还有: “对所有的”,”对任意一个”,”对一切”,”对每一个”,”任给”,”所有的”等. 短语”对所有的
2、” “对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号 “ ”表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题. 通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。符号 全称命题“对M中任意一个x有p(x)成立”可用符号简记为读作“对任意x属于M,有p(x)成立”., ( )xM p x 例1.判断下列全称命题的真假:(1)所有的素数是奇数;(2)(3)对每一个无理数x, x2 也是无理数.2,1 1;xx R小小 结：结： 断称题, ( )题：xM p x判判全全命命是是真真命命的的方方法法只需在集合只需在集合M中找到一个元素中找到一个元素x0,使得使得 p(x0)不
3、成立即可（举反例）不成立即可（举反例）. 断称题, ( )题：xM p x判判全全命命是是假假命命的的方方法法需要对集合需要对集合M中每个元素中每个元素x,证明证明p(x)成立成立.（假命题）（真命题）（假命题）例2、判断下列全称命题的真假：（1）每个指数函数都是单调函数；（2）任何实数都有算术平方根；例3、判断下列命题的真假：(1)(2)2,20 ;xRx4,1;xNx1.4.2 存在量词思考?下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?(1)2x+1=3; (2)X能被2和3整除;(3)存在一个x R,使2x+1=3;(4)至少有一个xZ,x能被2和3整除.语句（1）（
4、2）无法判断它们的真假从而不是命题，语句（3）在（1）的基础上用短语“存在一个”对变量x进行限定；语句（4）在（2）的基础上用短语“至少有一个”对变量x进行限定，从而成为了可以判断真假的语句，为命题。常见的存在量词还有常见的存在量词还有“有些有些”“”“有一个有一个”, ,“有有的的”, ,“对某个对某个”等等. . 短语短语”存在一个存在一个”至少有一个至少有一个”在逻辑上在逻辑上通常叫做通常叫做存在量词存在量词, ,并用符号并用符号“ ”“ ”表示表示. .含有含有存在量词的命题存在量词的命题, ,叫做叫做特称命题特称命题. .例如,命题:有的平行四边形是菱形;有一个素数不是奇数;有的向量
5、方向不定;存在一个函数,既是偶函数又是奇函数;有一些实数不能取对数. 特称命题”存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为读做”存在一个x,使p(x)成立”., ( ).xM p x 解解：（：（1）假命题；）假命题； （2）假命题；）假命题； （3）真命题。）真命题。例例4 判断下列特称命题的真假：判断下列特称命题的真假：（1）有一个实数）有一个实数x0，使，使x02+2x0+3=0；（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （3）有些整数只有两个正因数。）有些整数只有两个正因数。小小 结：结：00判断特称命题 xM,p(x )是真命题的方法：00判
6、断特称命题 xM,p(x )是假命题的方法：需要证明集合需要证明集合M中，使中，使p(x)成立的元素成立的元素x不存在。不存在。只需在集合只需在集合M中找到一个元素中找到一个元素x0，使得，使得p(x0) 成立即可成立即可 （举例证明）（举例证明）例4 判断下列特称命题的真假（1）有一个实数x0，使x02+2x0+3=0 ；（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线;（3）有些整数只有两个正因数.00断题, ()题：xM p x判判存存在在性性命命是是真真命命的的方方法法需要证明集合需要证明集合M中中,使使p(x)成立的元素成立的元素x不存在不存在.只需在集合只需在集合M中找到一个元素中找到一个元
7、素x0,使得使得p(x0) 成成立即可立即可 (举例说明举例说明).00断题, ()假题：xM p x判判存存在在性性命命是是命命的的方方法法 例5、判断下列特称命题的真假： （1） （2） （3）至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数.200 |,xx xx无数无数；是是理理是是理理00,0;xxR例6、判断下列命题的真假：(1)(2)200,1;xZ x200,3.xQ x(1)所有正方形都是矩形；(2)每一个有理数都能写成分数的形式；(3)有些三角形是直角三角形；(4)一切三角形的内角和都等于180；(5)存在一个实数，使得x +x-1=0o2二.下列语句中，是特称命题的是三.下列语句
8、是全称命题还是特称命题，并判断其真假。（1）凡是质数都是奇数；）凡是质数都是奇数；（2）方程）方程2x21=0有实数根；有实数根；（3）没有一个无理数不是实数；）没有一个无理数不是实数；（4）如果两直线不相交，则这两条直线平行；）如果两直线不相交，则这两条直线平行；（5）集合）集合AB是集合是集合A的子集；的子集；（6）0不能作除数；不能作除数；（7）任何一个实数除以）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；，仍等于这个实数；小结：1.全称量词、全称命题的定义及记法全称量词、全称命题的定义及记法. 2.判断全称命题真假性的方法判断全称命题真假性的方法. 3.存在量词、特称命题的定义及记法存在量词、
9、特称命题的定义及记法.4.判断特称命题真假性的方法判断特称命题真假性的方法. 同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法：命命题题 全称命题全称命题 特称命题特称命题表表述述方方法法所有的所有的xM，p(x)成立成立对一切对一切xM，p(x)成立成立对每一个对每一个xM，p(x)成立成立任选一个任选一个xM，p(x)成立成立凡凡xM，都有，都有p(x)成立成立存在存在x0M，使，使p(x)成立成立至少有一个至少有一个x0M，使，使 p(x)成立成立对有些对有些x0M，使，使p(x)成立成立对某个对某个x0M，使，使p(x)成立成立有一个有一个x0M，使，使p(x)成立成立
10、, ( )xM p x 0, ( )xM p x1.4.3 含有一个量词的命题的否定含有一个量词的命题的否定全称命题全称命题 “ “对对M M中任意一个中任意一个x,x,有有p(x)p(x)成立成立”符号简记为：符号简记为： xM,p(x)xM,p(x)读作：对任意读作：对任意x x属于属于M M，有，有p(x)p(x)成立成立集合集合复习回顾复习回顾特称命题特称命题“存在存在M M中的一个中的一个x,x,使使p(x)p(x)成立成立”符号简记为：符号简记为： xR ,p(x)xR ,p(x)读作：读作：“存在一个存在一个x x属于属于M M，使，使p(x)p(x)成立成立”含有全称量词的命题
11、，叫做全称命题含有存在量词的命题，叫做特称命题要判定全称命题要判定全称命题“ “ xMxM, p(x) ”, p(x) ”是真命题，需要对集合是真命题，需要对集合M M中中每个元素每个元素x, x, 证明证明p(x)p(x)成立；如果在集合成立；如果在集合M M中找到一个元素中找到一个元素x x0 0, ,使使得得p(xp(x0 0) )不成立，那么这个全称命题就是假命题不成立，那么这个全称命题就是假命题判断全称命题和特称命题真假判断全称命题和特称命题真假要判定特称命题要判定特称命题 “ “ xMxM, p(x)”, p(x)”是真命题，只需在集合是真命题，只需在集合M M中找到一个元素中找到
12、一个元素x x0 0, ,使使p(xp(x0 0) )成立即可，如果在集合成立即可，如果在集合M M中，使中，使p(x)p(x)成立的元素成立的元素x x不存在，则特称命题是假命题不存在，则特称命题是假命题复习回顾复习回顾情景一情景一设设p:“平行四边形是矩形平行四边形是矩形”(1)命题命题p是真命题还是假命题是真命题还是假命题(2)请写出请写出命题命题p的否定形式的否定形式(3)判断判断p的真假的真假命题的否定的真值与原来的命题命题的否定的真值与原来的命题 .而否命题的真值与原命题而否命题的真值与原命题 .相反相反无关无关矛盾矛盾设设p:“平行四边形是矩形平行四边形是矩形”情景一情景一你能否
13、用学过的你能否用学过的“全称量词和存在量词全称量词和存在量词”来解决上述问题来解决上述问题可以在可以在“平行四边形是矩形平行四边形是矩形”的前面加上全称量词，变为的前面加上全称量词，变为p:“所有的所有的平行四边形平行四边形是是矩形矩形”p:“并非所有并非所有的平行四边形都是矩形的平行四边形都是矩形”也就是说，也就是说，p : “存在存在一个一个平行四边形平行四边形不是不是矩形矩形”假命题假命题真命题真命题（平行四边形（平行四边形不都是不都是矩形）矩形）情景二情景二对于下列命题：1)所有的人都喝水；2)每一个素数都是奇数3)对所有实数都有 0|a尝试对上述命题进行否定，你发现有什尝试对上述命题
14、进行否定，你发现有什么规律？么规律？想一想？想一想？1命题（）的否定为“并非所有的人都喝水”，换言之，“有的人不喝水”。命题否定后，全称量词变为存在量词，“肯定”变为“否定”。2,.命题（ ）的否定为“并非每一个素数都是奇数”即“每一个素数都是奇数” 命题否定后，全称量词变为存在量词，“肯定”变为“否定”。30 ,0 .aaaa命题（ ）的否定为“并非对所有的实数 ，都有”即“存在实数 ，使”含有一个量词的全称命题的否定含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论有下面的结论 x xM M, ,p p( (x x) )全称命题全称命题:p它的否定它的否定:p x xM M, ,p p( (x x
15、) )例1写出下列全称命题的否定：例1写出下列全称命题的否定：1）p:所有能被3整除的整数都是奇数；1）p:所有能被3整除的整数都是奇数；22）p:对任意xZ，x 的个位数字不等于3。从形式看，全称命题的否定是特称命题。从形式看，全称命题的否定是特称命题。新课讲授新课讲授情景二情景二对于下列命题：存在有理数，使 ；有些实数的绝对值是正数。022x尝试对上述命题进行否定，你尝试对上述命题进行否定，你发现有什么规律？发现有什么规律？想一想？想一想？22,20 ,20 .xxx x命题（1）的否定为“并非存在有理数使”即“对所有的有理数” 命题否定后，存在量词变为全称量词，“肯定”变为“否定”。3,
16、.命题（ ）的否定为“没有一些实数的绝对值是正数”即“所有实数的绝对值都不是正数”从形式看从形式看,特称命题的否定都变成了全称命题特称命题的否定都变成了全称命题.含有一个量词的特称命题的否定含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论有下面的结论 x xM M, ,p p( (x x) )特称命题特称命题:p它的否定它的否定:p x xM M, , p p( (x x) )0 x 2 2例例2 出2 出下下列列特特 命 命 的 的否否定定：1）1）p:R,x +2x+3；p:R,x +2x+3；2）p:有的三角形是等边三角形；2）p:有的三角形是等边三角形；3）p:有一个素数含有三个正因子。3）
17、p:有一个素数含有三个正因子。写写称称题题问题讨论问题讨论写出下列命题的否定形式写出下列命题的否定形式(1)q：四条边相等的四边形是正方形：四条边相等的四边形是正方形(2)r：奇数是质数：奇数是质数解答解答 (1)q：四条边相等的四边形不是正方形：四条边相等的四边形不是正方形(2)r：奇数不是质数：奇数不是质数以上解答是否错误，请说明理由以上解答是否错误，请说明理由注：非注：非p叫做命题的否定，但叫做命题的否定，但“非非p”绝不是绝不是“是是”与与“不是不是”的简单演绎。因注意命题中是否存在的简单演绎。因注意命题中是否存在“全称量词全称量词”或或“特称特称量词量词”例2写出下列命题的否定，并判断真假：例2写出下列命题的否定，并判断真假：1）p:任意两个等边三角形都是相似的；1）p:任意两个等边三角形都是相似的；x 2 22）p:R,x +2x+2=0；2）p:R,x +2x+2=0；变式练习变式练习巩固训练巩固训练小结小结”。”的否定为“”的否定为“一般地，我们有：)(,)(,)(,)(,xpMxxpMxxpMxxpMx含有一个量词的命题的否定含有一个量词的命题的否定结论：全称命题的否定是特称命题结论：全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题特称命题的否定是全称命题
