1、011222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b 一般地，对于一般地，对于n N*有有二项定理二项定理:二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？45453510C 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过观察们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特为特殊值时，二项式系数有什么特点？点？计算计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表展开式的二项式系数并填入下表 n(a+b)n展开式的二项式系数展开式的二项式系数12345616152015611510
2、105114641133112111对称性对称性详解九章算法详解九章算法中记载的表中记载的表杨杨 辉辉杨辉三角杨辉三角(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)61 1）请看系数有没有明显的规律？）请看系数有没有明显的规律？2 2）上下两行有什么关系吗？）上下两行有什么关系吗？ 3 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗? ?每行两端都是每行两端都是1 C1 Cn n0 0= C= Cn nn n=1=1从第二行起，每行除从第二行起，每行除1 1以外的每一个数都等于它肩以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和上的两个数的和(
3、a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+mnmnmnCCC11 展开式的二项式展开式的二项式系数依次是：系数依次是： nba)( nnnnnC,C,C,C210 从函数角度看，从函数角度看， 可看可看成是以成是以r为自变量的函数为自变量的函数 , ,其定义域是：其定义域是： rnC)(rfn, 2 , 1 , 0 当当 时，其图象是右时，其图象是右图中的图中的7个孤立点个孤立点6n（1 1）对称性）对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两的两个二项式系数相等个二项式系数相等这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到mnnmn CC图象的对称轴图象
4、的对称轴：2nr （2 2）增减性与最大值）增减性与最大值 1(1)(2)(1)1CC(1)!kknnn nnnknkkkk由于由于：所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定 knC1Cknkkn1由由：2111nkkkn21nk 可知，当可知，当 时，时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。 因此，因此，当当n为偶数时为偶数时，中间一项的二项式，中间一项的二项式2Cnn系数系数 取得最大值；取得最大值； 当当n为奇数时为奇数时，中间两项的二项式系数
5、，中间两项的二项式系数 、21Cnn21Cnn相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。（2 2）增减性与最大值）增减性与最大值 （3 3）各二项式系数的和）各二项式系数的和 在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 1abnnnnnn2CCCC210这就是说，这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于的展开式的各二项式系数的和等于：()nabn2 （1 1） 一般地，一般地， 展开式的二项式系数展开式的二项式系数 有如下基本性质：有如下基本性质：nba)( nnnnCCC,10mnnmnCC （2 2）mnmnmnCCC11（4 4）nnnnnCCC210 （3 3）当当n
6、n为偶数时，为偶数时， 最大最大 当当n n为奇数时，为奇数时， = = 且最大且最大 2Cnn21Cnn21Cnn（对称性）（对称性）第第0 0行行1第第1 1行行 1 1第第2 2行行 1 2 1第第3 3行行 1 3 3 1第第4 4行行 1 4 6 1第第5 5行行 1 5 1第第6 6行行 1 6 15 6 1第第n-1n-1行行 111 nC121 nC11 rnCrnC1 21 nnC 第第n n行行 11nC12nCrnC1 nnC 第第7 7行行 1 7 21 21 7 11035+=3551520104“ “斜线和斜线和”=1rnC2nC3nC4nC rnrrrCCC1r2
7、r1rC 125第第5 5行行 1 5 10 10 5 1第第6 6行行 1 6 15 20 15 6 1第第7 7行行 1 7 21 35 35 21 7 1第第1 1行行 1 1第第0 0行行1第第2 2行行 1 2 1第第3 3行行 1 3 3 1第第4 4行行 1 4 6 4 1138132134如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？第第8 8行行 1 8 28 56 70 56 28 8 1斐波那契斐波那契数数列列斐波那契斐波那契 （11701170 12501250） 意大利商人兼意大利商人兼数学数学家家, ,他他的的著作算著作算盘书盘
8、书中中, ,首首先引入阿拉伯先引入阿拉伯数数字，字，将将“十十进制进制”介介绍给欧绍给欧洲洲人人认识认识，对欧对欧洲的洲的数学数学发展发展有深有深远远的影的影响响。例例1 证明：在证明：在(a+b)(a+b)n n展开式中，奇数项的二项式系数展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。的和等于偶数项的二项式系数的和。在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 1, 1 bannnnnnnnCCCCC) 1(113210 nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba 110)()()(03120 nnnnCCCC 531420nnnnnnCCCCCC已知已知求求:(
9、1):(1) ； (2) (2) ； (3) (3) ; ; (4) (4)7270127(1 2 )xaa xa xa x 127aaa 1357aaaa 017|aaa 0246aaaa 73110932 1094 2187 418 444454 118313060TTCxxx 变式变式:若将若将“只有第只有第10项项”改为改为“第第10项项”呢？呢？43110,nxx 4.4.已已知知的的展展开开式式中中只只有有第第项项系系数数最最大大求求第第五五项项为偶数依题意 n,110182,.nn 且且解项的展开式中系数最大的求例10215x：类型：求展开式中系数最大的项类型：求展开式中系数最大
10、的项方法方法: :利用通项公式建立不等式组利用通项公式建立不等式组在在(3x - -2y)20的展开式中，求：的展开式中，求：(1)(1)二项式系数最大的项二项式系数最大的项;(2);(2)系数绝对值最大的项系数绝对值最大的项. .解解:(2):(2)设系数绝对值最大的项是第设系数绝对值最大的项是第r+1r+1项项. .则则2011912020201211202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC812812892032TCx y 即即 3(r+1)2(20-r) 3(r+1)2(20-r) 解得解得 2(21-2(21-r r)3r)3r 所以当所以当r=8r=8时，系数绝对值最大的项为时，系数绝对值最大的项为227855r(1)二项式系数的三个性质二项式系数的三个性质 (2) 数学思想：函数思想数学思想：函数思想 a 单调性；单调性； b 图象；图象；c 最值最值. 各各二二项项式式系系数数的的和和增增减减性性与与最最大大值值对对称称性性小小 结结 2.求证：求证：01212312 2nnnnnnCCCnCn
