1、2022年陕西省西安市周至县高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Ax|3x0，Bx|1x1，则AB（）A（1，0）B3，1C（1，1D（1，22（5分）已知等差数列an满足a5+a7+a96，则a7（）A3B2C2D23（5分）已知复数z满足（1i）zi，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4（5分）函数f（x）ln（x2+2x+3）的单调递减区间为（）A1，+）B（，1C（1，1）D（1，3）5（5分）若变量x，y满足
2、约束条件x+y1，y-x1，x1，则z3xy的最小值为（）A1B3C3D16（5分）甲忘记了电脑开机密码的前两位，只记得第一位和第二位取自1，2，3（可以相同），则甲输入一次密码就能够成功打开电脑的概率为（）A19B16C13D127（5分）若数据x1，x2，x9的方差为2，则数据2x1，2x2，2x9的方差为（）A2B4C6D88（5分）已知点A（4，2），点F为抛物线y24x的焦点，点P在抛物线上移动，则|PA|+|PF|的最小值为（）A13B4C5D69（5分）意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，在
3、实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用已知斐波那契数列an满足：a11，a21，an+2an+1+an，若a3+a5+a7+a9+a11aka2，则k等于（）A12B13C89D14410（5分）已知m，n是空间中两条不同的直线，是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A若n，mn，m，则B若，n，则nC若nm，n，则mD若，n，则n11（5分）在九章算术中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，若四棱锥PABCD为阳马，侧棱PA底面ABCD，且PA22，ABBC2，则该阳马的外接球的表面积
4、为（）A4B8C16D3212（5分）已知函数f(x)=f(x-2)，x1，|x|-1，-1x1若函数g（x）f（x）loga（x+1）恰有3个零点，则实数a的取值范围为（）A15，13）B（15，13）C（16，14）D16，14）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）曲线y2lnx在点（1，0）处的切线方程为 14（5分）若双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的右焦点F（2，0）到一条渐近线的距离为3，则其离心率是 15（5分）已知函数f（x）2sin（x+）（0）的部分图像如图所示，则f(12)= 16（5分）在庄子天下中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭
5、”，蕴含了无限分割、等比数列的思想，体现了古人的智慧如图，正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第二个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第三个正方形IJKL，依此方法一直继续下去，记第一个正方形ABCD的面积为S1，第二个正方形EFGH的面积为S2，第n个正方形的面积为Sn，则前n个正方形的面积之和为 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，
6、c，C30，c2再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：（）a的值；（）ABC的面积条件：2b=3a；条件：A45注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分18（12分）数字人民币是由中国人民银行发行的数字形式的法定货币，由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价为了进一步了解普通大众对数字人民币的认知情况，某机构进行了一次问卷调查，统计结果如下：学历小学及以下初中高中大学专科大学本科硕士研究生及以上不了解数字人民币35358055646了解数字人民币406015011014025（）如果将高中及高中以下的学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数
7、据，完成下面的22列联表：低学历高学历合计不了解数字人民币了解数字人民币合计800（）根据（）中所得列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中na+b+c+dP（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819（12分）如图，在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）ABCA1B1C1中，AA12AC4，D，E分别是AC，C1C的中点（）求证：BD平面ACC1A1；（）求三棱锥C1BDE的体积20（12分）已知函数f（x）ax3+x2（aR）在x=-43处取得极值
8、，g（x）f（x）ex（）求a的值；（）若xR，g（x）m，求m的最大整数值21（12分）已知椭圆D：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为e=22，点(-2，1)在椭圆D上（）求椭圆D的方程；（）过椭圆内一点P（0，t）的直线l的斜率为k，且与椭圆C交于M，N两点，设直线OM，ON（O为坐标原点）的斜率分别为k1，k2，若对任意k，存在实数，使得k1+k2k，求实数的取值范围（二）选考题：共10分。考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2cosy=2+2sin（为参数），以坐
9、标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为sin+cos=-4，A，B分别是曲线C，E上的动点（）求曲线C的极坐标方程；（）求|AB|的最小值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|xa|x4|（）当a2时，求不等式f（x）0的解集；（）若f（x）2，求实数a的取值范围2022年陕西省西安市周至县高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Ax|3x0，Bx|1x1，则AB（）A（1，0）B3，1C（1，1D（1，2【解答】解：集合Ax|3x0，Bx
10、|1x1，ABx|3x13，1故选：B2（5分）已知等差数列an满足a5+a7+a96，则a7（）A3B2C2D2【解答】解：根据题意，由an是等差数列，得a5+a7+a93a76，得a72，故选：B3（5分）已知复数z满足（1i）zi，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：（1i）zi，（1+i）（1i）zi（1+i），z=-12+12i，z=-12-12i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点（-12，-12）位于第三象限故选：C4（5分）函数f（x）ln（x2+2x+3）的单调递减区间为（）A1，+）B（，1C（
11、1，1）D（1，3）【解答】解：设tx2+2x+3，由x2+2x+30可得1x3，则ylnt，由于ylnt在t（0，+）递增，由复合函数的单调性：同增异减，可得要求函数f（x）ln（x2+2x+3）的单调递减区间，只需求tx2+2x+3（1x3）的减区间而tx2+2x+3在（1，3）递减，故选：D5（5分）若变量x，y满足约束条件x+y1，y-x1，x1，则z3xy的最小值为（）A1B3C3D1【解答】解：由变量x，y满足约束条件x+y1，y-x1，x1，作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立x+y=1y-x=1，解得A（0，1）z3xy的最小值为3011故选：D6（5分）甲忘记了电脑开机
12、密码的前两位，只记得第一位和第二位取自1，2，3（可以相同），则甲输入一次密码就能够成功打开电脑的概率为（）A19B16C13D12【解答】解：小华忘记了手机开机密码的前两位，只记得第一位和第二位取自1，2，3（可以相同），基本事件总数n339，则小华输入一次密码就能够成功解锁的概率为P=19故选：A7（5分）若数据x1，x2，x9的方差为2，则数据2x1，2x2，2x9的方差为（）A2B4C6D8【解答】解：由x1，x2，xn的方差为S2，则ax1+b，ax2+b，axn+b的方差为a2S2，又数据x1，x2，x9的方差为2，则数据2x1，2x2，2x9的方差为2228，故选：D8（5分）已
13、知点A（4，2），点F为抛物线y24x的焦点，点P在抛物线上移动，则|PA|+|PF|的最小值为（）A13B4C5D6【解答】解：抛物线y24x的焦点为F（1，0），准线方程为x1，如图所示，过点P作直线x1的垂线，垂足为点E，由抛物线的定义可得，|PF|PE|，|PA|+|PF|PA|+|PE|，由图可知，当点A，P，E三点共线时，即当AP与直线x1垂直时，|PA|+|PF|取得最小值，且最小值为4+15故选：C9（5分）意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草等）的瓣
14、数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用已知斐波那契数列an满足：a11，a21，an+2an+1+an，若a3+a5+a7+a9+a11aka2，则k等于（）A12B13C89D144【解答】解：根据题意，若a3+a5+a7+a9+a11aka2，即aka2+a3+a5+a7+a9+a11a4+a5+a7+a9+a11a6+a7+a9+a11a8+a9+a11a10+a11a12，故k12；故选：A10（5分）已知m，n是空间中两条不同的直线，是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A若n，mn，m，则B若，n，则nC若nm，n，则mD若，n，则n【解答
15、】解：m，n是空间中两条不同的直线，是空间中两个不同的平面，对于A，若n，mn，m，则由面面垂直的判定定理得，故A正确；对于B，若，n，则n或n，故B错误；对于C，若nm，n，则m或m，故D错误；对于D，若，n，则n与相交、平行或n，故D错误故选：A11（5分）在九章算术中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，若四棱锥PABCD为阳马，侧棱PA底面ABCD，且PA22，ABBC2，则该阳马的外接球的表面积为（）A4B8C16D32【解答】解：四棱锥PABCD为阳马，侧棱PA底面ABCD，且PA22，ABBC2，所以外接球的直径为PC，设外接球的半径为R，所以（2R）2PA
16、2+AB2+8+4+416，解得R24，所以S表4416故选：C12（5分）已知函数f(x)=f(x-2)，x1，|x|-1，-1x1若函数g（x）f（x）loga（x+1）恰有3个零点，则实数a的取值范围为（）A15，13）B（15，13）C（16，14）D16，14）【解答】解：令g（x）f（x）loga（x+1）0，可得f（x）loga（x+1），所以，曲线yf（x）与曲线yloga（x+1）有三个交点，当a1时，曲线yf（x）与曲线yloga（x+1）只有一个交点，不合乎题意；当0a1时，若使得曲线yf（x）与曲线yloga（x+1）有三个交点，则f(2)=loga3-1f(4)=lo
17、ga5-10a1，解得15a13故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）曲线y2lnx在点（1，0）处的切线方程为y2x2【解答】解：y2lnx，y=2x，当x1时，y2曲线y2lnx在点（1，0）处的切线方程为y2x2故答案为：y2x214（5分）若双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的右焦点F（2，0）到一条渐近线的距离为3，则其离心率是 2【解答】解：双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的右焦点F（2，0）到它的一条渐近线bxay0的距离为3，所以3=2ba2+b2=b，所以a=c2-b2=1，所以双曲线的离心率e=ca=21=2故答案为：215
18、（5分）已知函数f（x）2sin（x+）（0）的部分图像如图所示，则f(12)=2【解答】解：由图象知34T=1312-3=912，即T，则2=，得2，由五点对应法得23+，得=3，则f（x）2sin（2x+3），则f(12)=2sin（212+3）2sin2=2，故答案为：216（5分）在庄子天下中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，蕴含了无限分割、等比数列的思想，体现了古人的智慧如图，正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第二个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第三个正方形IJKL，依此方法一直继续下去，记第一个正方形AB
19、CD的面积为S1，第二个正方形EFGH的面积为S2，第n个正方形的面积为Sn，则前n个正方形的面积之和为 322n+5【解答】解：由题意，S1，S2，Sn构成等比数列Sn，且首项为S14416，公比为q=12，所以前n个正方形的面积之和为Tn=161-(12)n1-12=322n+5故答案为：322n+5三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，C30，c2再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求
20、：（）a的值；（）ABC的面积条件：2b=3a；条件：A45注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分【解答】解：选择条件：2b=3a，（）在ABC中，因为2b=3a，所以b=32a，因为c2，C30，根据余弦定理：cosC=a2+b2-c22ab，得cos30=a2+(32a)2-42a32a=32，整理，得a216，由于a0，所以 a4（）由（ I）可知，b=32a23，因为a4，c2，所以a2b2+c2所以A90因此，ABC是直角三角形所以S=12bc=1223223选择条件：A45（）在ABC中，因为 A45，C30，c2根据正弦定理：asinA=csinC，所以a=csinAs
21、inC=2sin45sin30=22212=22（）在ABC中，因为sinBsin（A+C）所以sinBsin（30+45）sin30cos45+cos30sin45=6+24，所以S=12acsinB=122226+24=3+118（12分）数字人民币是由中国人民银行发行的数字形式的法定货币，由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价为了进一步了解普通大众对数字人民币的认知情况，某机构进行了一次问卷调查，统计结果如下：学历小学及以下初中高中大学专科大学本科硕士研究生及以上不了解数字人民币35358055646了解数字人民币406015011014025（）如果将高中及高中以下的学历
22、称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成下面的22列联表：低学历高学历合计不了解数字人民币了解数字人民币合计800（）根据（）中所得列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中na+b+c+dP（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解答】解：（I）完成的22列联表如下： 低学历 高学历 合计 不了解数字人民币 150 125 275 了解数字人民币 250 275 525 合计 400 400800（II）K2=800(15
23、0275-125250)22755254004003.4633.841，没有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关19（12分）如图，在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）ABCA1B1C1中，AA12AC4，D，E分别是AC，C1C的中点（）求证：BD平面ACC1A1；（）求三棱锥C1BDE的体积【解答】（）证明：在正三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，又BD平面ABC，CC1BD，D是AC的中点，ABC为正三角形，BDAC又ACCC1C，AC1，CC1平面ACC1A1，BD平面ACC1A1（）在正三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，又AC平面 ABC，
24、ACCC1，点D到直线C1E的距离为DC1SC1DE=1212=1由（）知点B到平面C1DE的距离为BD=22-(122)2=3，VC1-BDE=VB-C1DE=1313=3320（12分）已知函数f（x）ax3+x2（aR）在x=-43处取得极值，g（x）f（x）ex（）求a的值；（）若xR，g（x）m，求m的最大整数值【解答】解：（I）f（x）3ax2+2x，函数f（x）ax3+x2（aR）在x=-43处取得极值，f(-43)=0，即3a169+2(-43)=16a3-83=0，解得a=12（II）由（I）可得，g（x）=(12x3+x2)ex，则g（x）=(32x2+2x)ex+(12x
25、3+x2)ex=(12x3+52x2+2x)ex=12x(x+1)(x+4)ex，令g（x）0，解得x0，x1或x4，当x4时，g（x）0，故g（x）在（，4）上单调递减，当4x1时，g（x）0，故g（x）在（4，1）上单调递增，当1x0时，g（x）0，故g（x）在（1，0）上单调递减，当x0时，g（x）0，故g（x）在（0，+）上单调递减，函数g（x）的两个极小值分别为g（4）和g（0），又g（4）16e4，g（0）0，故g(x)min=-16e-4，m16e4，116e40，m的最大整数值为121（12分）已知椭圆D：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为e=22，点(-2，1)在椭圆
26、D上（）求椭圆D的方程；（）过椭圆内一点P（0，t）的直线l的斜率为k，且与椭圆C交于M，N两点，设直线OM，ON（O为坐标原点）的斜率分别为k1，k2，若对任意k，存在实数，使得k1+k2k，求实数的取值范围【解答】解：（）椭圆C的离心率e=a2-b2a=22，所以a=2b，又点(-2，1)在椭圆上，所以2a2+1b2=1，解得a2，b=2，所以椭圆D的方程为x24+y22=1（）设直线l的方程为ykx+t由x24+y22=1y=kx+t，消元可得（2k2+1）x2+4ktx+2t240，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=-4kt2k2+1，x1x2=2t2-42k2+1，
27、而k1+k2=y1x1+y2x2=kx1+tx1+kx2+tx2=2k+t(x1+x2)x1x2=-4kt2-2，由k1+k2k，得-4kt2-2=k，因为此等式对任意的k都成立，所以-4t2-2=，即t2=2-4由题意得点P（0，t）在椭圆内，故0t22，即02-42，解得2（二）选考题：共10分。考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2cosy=2+2sin（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为sin+cos=-4，A，B分别是曲线C，
28、E上的动点（）求曲线C的极坐标方程；（）求|AB|的最小值【解答】解：（）曲线C的参数方程为x=2cosy=2+2sin（为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y2）22，根据x=cosy=sinx2+y2=2，转换为极坐标方程为24sin+20；（）曲线E的极坐标方程为sin+cos=-4，转换为直角坐标方程为x+y+40；由圆心（0，2）到直线的距离的最小值d=|0+2+4|1+1-2=22选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|xa|x4|（）当a2时，求不等式f（x）0的解集；（）若f（x）2，求实数a的取值范围【解答】解：（I）当a2时，f（x）|x2|x4|=-2，x22x-6，2x42，x4，故当a2时，不等式f（x）0的解集为3，+）（II）f（x）|xa|x4|（xa）（x4）|a4|，|a4|2，解得2a6，故实数a的取值范围为（2，6）第17页（共17页）
