1、2022年四川省南充市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）复数，则|z|（）A4BC3D2（5分）已知集合Mx|2x3，Nx|lnx1，则MRN（）A2，0B2，e）C2，eD（e，33（5分）设x、y都是实数，则“x2且y3”是“x+y5且xy6”的（）条件A充分非必要B必要非充分C充要D既非充分也非必要4（5分）在RtABC中，两直角边AB6，AC4，F分别是AB，AC的中点，则（）A10B20C10D205（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，满足a10，S9S16，则（）Ad0BSn的最小
2、值为S25Ca130D满足Sn0的最大自然数n的值为256（5分）若双曲线C：的一条渐近线被圆（x+2）2+y24所截得的弦长为2，则C的离心率为（）ABCD27（5分）我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破性进展，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为（）ABCD8（5分）已知椭圆C：（ab0）的左焦点为F，过点F的直线，B若P为线段AB的中点，O为坐标原点，则椭圆C的方程为（）ABCD9（5分）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘
3、积已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，BD是其两条对角线，BD12，则四边形ABCD的面积为（）ABCD10（5分）如图，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P为线段A1C上的动点，点M，N分别为线段A1C1，CC1的中点，则下列说法错误的是（）AA1PBC1B三棱锥PB1NM的体积为定值CDAP+D1P的最小值为11（5分）函数f（x）Asin（2x+）（，A0）的部分图像如图所示（a）f（b）01，x2a，b，若f（x1）f（x2），有，则（）Af（x）在上单调递减Bf（x）关于直线对称Cf（x）关于点对称Df（x）在上是单调递增12（5分）已知函数f（x）xex，g
4、（x）xlnx，若f（m）（n）t（t0），则mnlnt的取值范围为（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题纸上）13（5分）已知实数x，y满足，则zx+3y的最大值为 14（5分）已知F是抛物线C：y24x的焦点，P是C上一点，O为坐标原点，则|OP| 15（5分）若等比数列an的各项均为正数，且a1010a1013+a1011a10122e2，则lna1+lna2+lna2022 16（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为，E，F为体对角线BD1的三等分点，动点P在三角形ACB1内，且三角形PEF的面积SPEF2，则点P的轨迹长度为 三、解答题
5、：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答17（12分）在；这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中问题：在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）求角B；（2）在ABC中，求ABC周长的最大值18（12分）某公司招聘员工，应聘者需进行笔试和面试笔试分为三个环节，每个环节都必须参与应聘者甲笔试部分每个环节通过的概率均为，否则直接淘汰；应聘者甲面试通过的概率为，面试都通过，则可以成为该公司的正式员工（1）求应聘者甲未能参与面试的概率；（2）记应聘者甲本次应聘通过的环节数为X，求X的分布列以及数学
6、期望；19（12分）如图所示，四边形ABCD为菱形，PAPD，点E是棱AB的中点（）求证：PEAC；（）若PAAB，当二面角PACB的正切值为2时，求直线PE与平面ABCD所成的角20（12分）如图所示，椭圆的右顶点为A，O为坐标原点，椭圆离心率为1作不与x轴重合的直线，与椭圆C相交于M，N两点直线l的方程为：x2a，垂足为E（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：线段EN过定点，并求定点的坐标；求OEN面积的最大值21（12分）已知f（x）alnxxlnx（a0）（1）求f（x）在（1，f（1）的切线方程；（2）求证：f（x）仅有一个极值；（3）若存在a，使f（x）a+b对任意x（0，+），求
7、实数b的取值范围（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知圆C的参数方程为（为参数）（1）以原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，写出圆C的极坐标方程；（2）已知直线l经过原点O，倾斜角，设l与圆C相交于A，求O到A，B两点的距离之积选修4-5：不等式选讲23已知函数（1）若关于x的不等式f（x）a有解，求实数a的取值范围；（2）设f（x）mint，m0，n02022年四川省南充市高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中
8、，只有一项是符合题目要求的1（5分）复数，则|z|（）A4BC3D【解答】解：，|z|故选：C2（5分）已知集合Mx|2x3，Nx|lnx1，则MRN（）A2，0B2，e）C2，eD（e，3【解答】解：Mx|2x3，Nx|lnx4x|xe，RNx|xe，则M（RN）x|2x3x|xex|5xe故选：B3（5分）设x、y都是实数，则“x2且y3”是“x+y5且xy6”的（）条件A充分非必要B必要非充分C充要D既非充分也非必要【解答】解：当x2且y3，显然x+y7且xy6反过来取x1，y2，xy6所以“x2且y8”是“x+y5且xy6”的的充分而非必要条件故选：A4（5分）在RtABC中，两直角边
9、AB6，AC4，F分别是AB，AC的中点，则（）A10B20C10D20【解答】解：由题意令，则，则，所以故选：C5（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，满足a10，S9S16，则（）Ad0BSn的最小值为S25Ca130D满足Sn0的最大自然数n的值为25【解答】解：因为等差数列an满足a10，S8S16，a10+a11+a12+a13+a14+a15+a167a130，所以a135，C正确；因为a10，所以d8，A错误；由a10，d6，a130可知，Sn的最小值为，S12或S13，B错误；S2525a130，D错误故选：C6（5分）若双曲线C：的一条渐近线被圆（x+2）2+y24所截得的
10、弦长为2，则C的离心率为（）ABCD2【解答】解：设双曲线C：的一条渐近线不妨为：bx+ay0，圆（x6）2+y24的圆心（2，0），双曲线C：的一条渐近线被圆（x2）2+y64所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：，解得：524，即e8故选：D7（5分）我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破性进展，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为（）ABCD【解答】解：大于3且不超过30的素数为5，7，11，17，23，共8个，随机选取2个不同的数，共有种，其中恰好是一组孪生素数的有（5，4），13），19）共3种，故恰好是一组孪生
11、素数的概率为故选：B8（5分）已知椭圆C：（ab0）的左焦点为F，过点F的直线，B若P为线段AB的中点，O为坐标原点，则椭圆C的方程为（）ABCD【解答】解：设A（x1，y1），B（x4，y2），P（x0，y2），x1+x27x0，y1+y52y0，kOP，过点F的直线的斜率为1，7，由，可得1+x8）（x1x2）（y1+y8）（y1y2），7，则a22b8，过点F的直线，当y8时，F（，3），c，a2b8c22，b22，a23，椭圆方程为+1故选：B9（5分）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积
12、已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，BD是其两条对角线，BD12，则四边形ABCD的面积为（）ABCD【解答】解：设ADDCACa，由托勒密定理知，所以AB+BCBD12又因为ABDACD，CBDCAD，所以S四边形ABCDSABD+SBCDABBDsin+（AB+BC）BD36故选：D10（5分）如图，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P为线段A1C上的动点，点M，N分别为线段A1C1，CC1的中点，则下列说法错误的是（）AA1PBC1B三棱锥PB1NM的体积为定值CDAP+D1P的最小值为【解答】解：选项A，如图所示1D，BC1，由正方体可知BC6A1D，且CD平面
13、BCC1B4，即CDBC1，又CDA1DD，所以BC2平面A1CD，所以BC1A2C，即A1PBC1，正确；选项B，如图所示8M，B1N，MN1，PM，PN，由点M，N分别为线段A4C1，CC1的中点，得MNA8C，故A1C平面B1MN，即点P到平面B5MN的距离d为定值，且，故为定值，所以三棱锥PB1NM的体积为定值；选项C，连接AP，D4P，由点P为线段A1C上的动点，设，故取最小值为，当1时，取最大值为，故，即，错误；选项D，当时，AP+D1P的最小值为，正确；故选：C11（5分）函数f（x）Asin（2x+）（，A0）的部分图像如图所示（a）f（b）01，x2a，b，若f（x1）f（x
14、2），有，则（）Af（x）在上单调递减Bf（x）关于直线对称Cf（x）关于点对称Df（x）在上是单调递增【解答】解：由题意得，A2，由f（a）f（b）0得ba，sin（a+b+）1，a+b+，x1，x2a，b3）f（x2），x1+x7a+b，又，sin2（a+b）+，f（x）4sin（2x+），由，kZ，kZ，当k0时，函数的递增区间为，当k8时，函数的递增区间为，由，kZ，kZ，当k0时，函数f（x）的递减区间为，D错误，f（），故C错误故选：A12（5分）已知函数f（x）xex，g（x）xlnx，若f（m）（n）t（t0），则mnlnt的取值范围为（）ABCD【解答】解：由于f（m）g（n
15、）t（t0），即memnlnnt0，所以m3，n1，当x0时，f（x）（x+4）ex0，f（x）递增，所以f（m）t有唯一解当x1时，g（x）2+lnx0，所以g（n）t有唯一解由memnlnn得memelnnlnnmlnn，所以mnlnt（nlnn）（lnt）tlnt令h（t）tlnt，h（t）1+lnt，所以h（t）在区间（6，），h（t）0；在区间（，h（t）0所以h（t）h（），所以mnlnt的取值范围为，+）故选：D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题纸上）13（5分）已知实数x，y满足，则zx+3y的最大值为 6【解答】解：作出实数x，y满足，变形目标函数
16、可得yx+zx可知，当直线经过点A（0，3）时，此时目标函数取最大值z0+386，故答案为：614（5分）已知F是抛物线C：y24x的焦点，P是C上一点，O为坐标原点，则|OP|4【解答】解：抛物线y24x的准线方程为：x5，焦点F（1，又P为C上一点，|PF|5P6，代入抛物线方程得：|yP|4，|OP|故答案为：415（5分）若等比数列an的各项均为正数，且a1010a1013+a1011a10122e2，则lna1+lna2+lna20222022【解答】解：因为an是等比数列，所以，即，所以故答案为：202216（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为，E，F为体对角线BD1
17、的三等分点，动点P在三角形ACB1内，且三角形PEF的面积SPEF2，则点P的轨迹长度为 【解答】解：因为正方体的棱长为，所以，设P到EF的距离为d，由，得d2，A4D1平面ABB1A3，AB1平面ABB1A7，A1D1AB3，又 AB1A1B，A7D1A1BA6，AB1平面A1D2B，BD1AB1，同理可证BD3AC，又AB1ACA，BD1面AB3C，P 点在AB1C所在平面的轨迹是以2为半径的圆，AB3C内切圆的半径为，该圆一部分位于三角形外，如图：有，解得，圆在三角形内的圆弧为圆周长的，故答案为：三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生
18、都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答17（12分）在；这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中问题：在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）求角B；（2）在ABC中，求ABC周长的最大值【解答】解：（1）选择：条件即，由正弦定理可知，在ABC中，B，C（2，所以sinB0，sinC0，所以，且cosB0，即，所以；选择：条件即，即，在ABC中，B（6，所以sinB0，所以，所以（2）由（1）知，由余弦定理知：，所以12a4+c2ac（a+c）22ac，得，所以，当且仅当ac时，所以ABC周长的最大值为18（12分）某公司招聘员工，应聘者需进行笔试和面试笔试分为三个环
19、节，每个环节都必须参与应聘者甲笔试部分每个环节通过的概率均为，否则直接淘汰；应聘者甲面试通过的概率为，面试都通过，则可以成为该公司的正式员工（1）求应聘者甲未能参与面试的概率；（2）记应聘者甲本次应聘通过的环节数为X，求X的分布列以及数学期望；【解答】解：（1）设应聘者甲末能参与面试为事件A，则甲通过了0个或1个笔试环节，（2）X 的可能取值为0，1，8，3，4，则X的分布列为： X 0 1 8 3 4 P 故E19（12分）如图所示，四边形ABCD为菱形，PAPD，
20、点E是棱AB的中点（）求证：PEAC；（）若PAAB，当二面角PACB的正切值为2时，求直线PE与平面ABCD所成的角【解答】解：（）证明：如图，设点F是棱AD的中点，EF，由PAPD，F是AD的中点，又二面角PADC是直二面角，PFAC，四边形ABCD是菱形，BDAC，EF是ABD的中位线，EFBD，PFEFF，且PF平面PEF，AC平面PEF，PE平面PEF，PEAC（）设点O是AC与BD的交点，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，过O作平面ABC的垂线为z轴，设OA2，OB2b，3，0），0，3），b，），则（4，0，（5，），设平面PAC的法向量（x，y，则，取z1，得，1），平面AB
21、C的一个法向量为（2，0，二面角PACB的正切值为2，|cos|，P（3，2），E（1，（3，2），则|cos|，（0，20（12分）如图所示，椭圆的右顶点为A，O为坐标原点，椭圆离心率为1作不与x轴重合的直线，与椭圆C相交于M，N两点直线l的方程为：x2a，垂足为E（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：线段EN过定点，并求定点的坐标；求OEN面积的最大值【解答】解：（1）由题意可得：，所以故椭圆的标准方程为：（2）证明由题意知，F（1，设直线MN方程：xmy16，y1），N（x2，y7），E（4，y1），联立方程，得（5m2+4）y76my96，所以，所以2my4y23（y3+y2），又，所
22、以直线EN方程为：，令y4，则综上：直线EN过定点由（1）中144（m2+2）0，所以mR，又，所以，令，则，令，当t8时，g（t）0，故在1，则在1，即在1，所以t1时，21（12分）已知f（x）alnxxlnx（a0）（1）求f（x）在（1，f（1）的切线方程；（2）求证：f（x）仅有一个极值；（3）若存在a，使f（x）a+b对任意x（0，+），求实数b的取值范围【解答】解：（1），得f（1）a5，又f（1）0所以f（x）在（1，f（1）的切线方程为：y（a5）（x1）即（a1）xy+6a0；（2），令，则0当a5时，f（x）在（0，又p（）ae5ln（a+1）8ln，存在唯一x0（，a+
23、1），即为f（x）的极大值点即f（x）仅有一个极值（3）f（x）a+b对任意x（0，+）恒成立，a+bf（x）max，由（2）可知：存在唯一x4（，a+1），即为f（x）的极大值点f（x）的极大值即最大值为f（x8）alnx0x0lnx6，ax0+x0lnx4，存在a，bf（x0）a的最小值，令h（x0）f（x5）alnx0（x0+x2lnx0）x0lnx2x0x0lnx6x0ln2x7x0lnx0x8，h（x0）（lnx0+7）（lnx01），x5（，a+1），lnx2+20，由lnx610，解得lnx3e，x0e时函数h（x0）取得极小值即最小值h（e）e，be实数b的取值范围是e，+）（
24、二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知圆C的参数方程为（为参数）（1）以原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，写出圆C的极坐标方程；（2）已知直线l经过原点O，倾斜角，设l与圆C相交于A，求O到A，B两点的距离之积【解答】解：（1）由得，两式平方后相加得，曲线C是以，半径等于2圆，令xcos，ysin，代入并整理得，即曲线C的极坐标方程是（2）直线的参数方程是（t是参数），因为点A，B都在直线l上1和t2，圆化为直角坐标系的方程，以直线l的参数方程代入圆的方程整理得到，因为t1和t3是方程的解，从而，|OA|OB|t1t5|1|1选修4-5：不等式选讲23已知函数（1）若关于x的不等式f（x）a有解，求实数a的取值范围；（2）设f（x）mint，m0，n0【解答】解：（1）若关于x的不等式f（x）a的解集不是空集，只需af（x）min即可其中，当且仅当时，等号成立所以实数a的取值范围为2，+）（2）证明：由（1）知f（x）mint5由柯西不等式得：8，当且仅当，即时等号成立因为m0，n0，所以即，故，证毕第23页（共23页）
