1、2022年陕西省西安市阎、高、蓝、周四区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）设集合MxZ|x|5，Nx|yln（x2+2x3），xM，则MN（）A3，1B3，1C2，1，0，1，2D3，2，1，0，12（5分）某市中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了解该地区中小学生近视形成的原因，现用分层抽样的方法抽取5%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A750，100B1500，100C1500，120D750，1203（5分）若复数z=a-i1+i（a为实数，i为虚数单
2、位）在复平面内对应的点在第三象限内，则实数a的值可以是（）A2B1C0D14（5分）设yf（x）是定义在R上的函数，若下列四条性质中只有三条是正确的，则错误的是（）Ayf（x）为0，+）上的减函数Byf（x）为（，0上的增函数Cyf（x+1）为偶函数Df（0）不是函数的最大值5（5分）由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是奇数的概率是（）A12B25C34D356（5分）若等差数列an和bn的前n项的和分别是Sn和Tn，且SnTn=n2n+1，则a6b6=（）A1221B1123C613D12237（5分）若a，b，c，d为实数，则下列命题正确的是（）A若ab，则a|c
3、|b|c|B若ac2bc2，则abC若ab，cd，则acbdD若ab，cd，则acbd8（5分）已知函数f（x）sinx（0），则“02是“函数f（x）在（6，3）上单调递增的（）A必要而不充分条件B充分而不必要条件C既不充分也不必要条件D充分必要条件9（5分）如图所示的程序框图中，若输入的x（2，9），则输出的y（）A0，7B（0，17）C（0，7D（0，7）10（5分）已知F1，F2是双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点，以F2为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，若|AB|F1F2|3，则双曲线的离心率的取值范围是（）A（3，355）B（355，+）C
4、（1，3）D（1，355）11（5分）已知a0，若函数f（x）=ax2-x，x1ax-1-1，x1有最小值，则实数a的取值范围是（）A（1，+）B1，+）C(12，+)D12，+)12（5分）四面体DABC内接于球O，（O为球心），BC2，AC4，ACB60若四面体DABC体积的最大值为4，则这个球的体积为（）A256327B1639C128D128327二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）若曲线在f（x）mxexn在点（1，f（1）处的切线为yex，则mn 14（5分）设Sn是等比数列an的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a4+a72an.则n 15（5分）已
5、知P是边长为1的正六边形ABCDEF内的一点，则APAB的取值范围是 16（5分）过点P（1，1）的直线与椭圆x23+y22=1交于点A和B，且AP=PB点Q满足AQ=-QB，若O为坐标原点，则线段OQ长度的最小值为 三、解答题：本大题共5小题，满分60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题（60分）17（12分）某单位组织“新型冠状病毒”相关知识抢答竞赛，甲，乙两人分别代表各自科室参加，竞赛共有五道题目，对于每道题规定：抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，先得3分者获胜，比赛结束，若
6、每次出题甲，乙两人抢到答题机会的概率都是12甲，乙正确回答每道题的概率分别为47，57，且两人每道题是否回答正确均相互独立（1）求甲先得1分的概率；（2）求甲获胜的概率；（3）若将抢答5道题改为抢答3道题，先得3分获胜改为先得2分获胜，其余条件不变，则规则的修改对甲是否有利，请说明理由？18（12分）已知锐角ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若sinAsinBsinC=32（sin2A+sin2Bsin2C）（1）求sinC；（2）若c=3，求ABC周长的取值范围19（12分）如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1，O，M，N分别为线段BC，AA1，BB1的中点，P为线段AC1上的
7、动点，AA116，AC8（1）若AO=12BC，试证：C1NCM；（2）在（1）的条件下，当AB6时，试确定动点P的位置，使线段MP与平面BB1C1C所成角的正弦值最大20（12分）已知抛物线x2ay（a0），过点M（0，a2）作两条互相垂直的直线l1，l2，设l1，l2分别与抛物线相交于A，B及C，D两点，当A点的横坐标为2时，抛物线在点A处的切线斜率为1（1）求抛物线的方程；（2）设线段AB、CD的中点分别为E、F，O为坐标原点，求证：直线EF过定点21（12分）函数f（x）ex+asinx，x（，+）（1）求证：当a1时，f（x）存在唯一极小值点x0，且1f（x0）0；（2）是否存在实数
8、a使f（x）在（，+）上只有一个零点，若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=1+cosy=sin（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin22cos0（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）过点M（12，0）的直线l依次与两曲线交于A，B，C，D四点，且|AB|CD|，求直线l的普通方程选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|xa|+|x3|（）若a
9、3，且不等式f（x）5的解集为x|-32x72，求a的值；（）如果对任意xR，f（x）4，求a的取值范围2022年陕西省西安市阎、高、蓝、周四区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）设集合MxZ|x|5，Nx|yln（x2+2x3），xM，则MN（）A3，1B3，1C2，1，0，1，2D3，2，1，0，1【解答】解：MxZ|x|54，3，2，1，0，1，2，3，4，Nx|yln（x2+2x3）4，2，3，4，故MN3，2，1，0，1，故选：D2（5分）某市中小学生人数和近视情况分
10、别如图甲和图乙所示，为了解该地区中小学生近视形成的原因，现用分层抽样的方法抽取5%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A750，100B1500，100C1500，120D750，120【解答】解：由题意，样本容量为（18500+7500+4000）5%1500，抽取的高中生近视人数为40005%0.5100，故选：B3（5分）若复数z=a-i1+i（a为实数，i为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限内，则实数a的值可以是（）A2B1C0D1【解答】解：z=a-i1+i=(a-i)(1-i)(1+i)(1-i)=a-1-(a+1)i2在复平面内对应的点在第三象限内，a-
11、10-(a+1)0，解得1a1，故实数a的值可以是0故选：C4（5分）设yf（x）是定义在R上的函数，若下列四条性质中只有三条是正确的，则错误的是（）Ayf（x）为0，+）上的减函数Byf（x）为（，0上的增函数Cyf（x+1）为偶函数Df（0）不是函数的最大值【解答】解：由yf（x+1）为偶函数得函数yf（x）的图像关于x1对称假设A、B正确，则有f（x）maxf（0），所以D错误，yf（x+1）不可能为偶函数，由此判断出C、D错误，与已知矛盾；由此判断答案A、B中一个正确一个错误，C、D正确；而A、C矛盾，由此确定A错误故选：A5（5分）由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则组成
12、的五位数是奇数的概率是（）A12B25C34D35【解答】解：从1，2，3，4，5中任取5个数字，组成没有重复数字的五位数，基本事件总数n=A55=120，组成的五位数是奇数包含的基本事件个数m=C31A44=72，组成的五位数是奇数的概率是p=mn=72120=35故选：D6（5分）若等差数列an和bn的前n项的和分别是Sn和Tn，且SnTn=n2n+1，则a6b6=（）A1221B1123C613D1223【解答】解：由等差数列的前n项和公式可得S11T11=11(a1+a11)211(b1+b11)2=11a611b6=a6b6，又S11T11=11211+1=1123，a6b6=112
13、3，故选：B7（5分）若a，b，c，d为实数，则下列命题正确的是（）A若ab，则a|c|b|c|B若ac2bc2，则abC若ab，cd，则acbdD若ab，cd，则acbd【解答】解：若ab，则a|c|b|c|（|c|0时“”成立），故A错误；若ac2bc2，则c20，则ab，故B正确；若ab，cd，则dc，得adbc，故C错误；若ab0，cd0，则acbd，故D错误正确的命题是B故选：B8（5分）已知函数f（x）sinx（0），则“02是“函数f（x）在（6，3）上单调递增的（）A必要而不充分条件B充分而不必要条件C既不充分也不必要条件D充分必要条件【解答】解：由02，可得在（6，3）上，0
14、x23，故函数f（x）sinx（0）不一定单调递增，故充分性不成立由函数f（x）在（6，3）上单调递增，可得32，32，02，故必要性成立，故选：A9（5分）如图所示的程序框图中，若输入的x（2，9），则输出的y（）A0，7B（0，17）C（0，7D（0，7）【解答】解：由程序框图可得，f（x）=x2，-2x22x-3，2x51x，5x9，当2x2时，0y4，当2x5时，1y7，当5x9时，19y15，故0y7故选：A10（5分）已知F1，F2是双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点，以F2为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，若|AB|F1F2|3，则双曲线
15、的离心率的取值范围是（）A（3，355）B（355，+）C（1，3）D（1，355）【解答】解：焦点F2（c，0）到渐近线y=bax的距离为d=|cb|a2+b2=b，所以|AB|=2a2-b2，因为，|AB|F1F2|3，即|AB|2c3，即2a2-b22c3，9（a2b2）c2，9a29（c2a2）c2，解得e295e1，1e355故选：D11（5分）已知a0，若函数f（x）=ax2-x，x1ax-1-1，x1有最小值，则实数a的取值范围是（）A（1，+）B1，+）C(12，+)D12，+)【解答】解：函数f（x）=ax2-x，x1ax-1-1，x1（a0），当a1时，x1，f（x）0；x
16、1时，f（x）x2x（x-12）2-14-14，x=12时取得最小值；当0a1时，x1，f（x）ax11递减，可得f（x）0，即f（x）无最小值；当a1时，x1，f（x）递增，可得f（x）0；x1时，f（x）ax2xa（x-12a）2-14a-14a，当x=12a时f（x）取得最小值-14a综上可得，a的范围是1，+）故选：B12（5分）四面体DABC内接于球O，（O为球心），BC2，AC4，ACB60若四面体DABC体积的最大值为4，则这个球的体积为（）A256327B1639C128D128327【解答】解：在ABC中，BC2，AC4，ACB60，BA2=AC2+BC2-2ACBCcosA
17、CB=16+4-24212=12，AC2AB2+BC2，ABC90，ABC外接圆半径r=12AC=2，SABC=12223=23如图所示，设AC的中点为O1，则O1为过ABC的截面圆的圆心，设球的半径为R，所以球心O到平面ABC的距离为OO1=R2-r2=R2-4，当点DO1平面ABC时，四面体DABC体积的最大，即：13SABC(R+OO1)=1323(R+OO1)=4，解得R=433，V=43(433)3=256327故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）若曲线在f（x）mxexn在点（1，f（1）处的切线为yex，则mn-e4【解答】解：由f（x）mxexn
18、，得f（x）mex+mxex，又曲线f（x）mxexn在点（1，f（1）处的切线方程为yex，f(1)=me-n=ef(1)=2me=e，解得：m=12，n=-e2，mn=-e4故答案为：-e414（5分）设Sn是等比数列an的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a4+a72an.则n10【解答】解：若q1，则有S33a1，S66a1，S99a1但a10，即得S3+S62S9，与题设矛盾，q1又依题意S3+S62S9，可得a1(1-q3)1-q+a1(1-q6)1-q=2a1(1-q9)1-q，整理得2q6q310由q1，得方程2q3+10，q3=-12，a4+a72an，a4+a4q32
19、a4qn412=2(-12)n-43，得n10，故答案为：1015（5分）已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内的一点，则APAB的取值范围是 （-12，32）【解答】解：画出图形，如图所示；APAB=|AP|AB|cosAP，AB，它的几何意义是AB的长度与AP在向量AB上的投影的乘积；当点P在C处时，取得最大值，|AC|cosCAB|AB|+12|AB|=32，所以APAB=|AP|AB|cosAP，AB=132=6，即最大值为32；点P在F处时取得最小值，所以APAB=|AP|AB|cosAP，AB=-1112=-12，即最小值为-12；由P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，所
20、以APAB的取值范围是（-12，32）故答案为：（-12，32）16（5分）过点P（1，1）的直线与椭圆x23+y22=1交于点A和B，且AP=PB点Q满足AQ=-QB，若O为坐标原点，则线段OQ长度的最小值为 61313【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（m，n），AP=(1-x1，1-y1)，PB=(x2-1，y2-1)，AQ=(m-x1，n-y1)，QB=(x2-m，y2-n)，由AP=PB，AQ=-QB得：1-x1=(x2-1)m-x1=-(x2-m)，x1+x2=1+x1-x2=m(1-)，两式相乘得：x12-2x22=m(1-2)，同理可得：y12-y22=n(1
21、-2)，x123+y122-2(x223+y222)=(1-2)(m3+n2)由题意知：0且1，否则与AQ=-QB矛盾，m3+n2=1，Q 点轨迹为x3+y2=1，即直线2x+3y60，线段OQ长度的最小值即为原点到直线的距离，|OQ|min=64+9=61313故答案为：61313三、解答题：本大题共5小题，满分60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题（60分）17（12分）某单位组织“新型冠状病毒”相关知识抢答竞赛，甲，乙两人分别代表各自科室参加，竞赛共有五道题目，对于每道题规定：抢
22、到并回答正确得1分，答错则对方得1分，先得3分者获胜，比赛结束，若每次出题甲，乙两人抢到答题机会的概率都是12甲，乙正确回答每道题的概率分别为47，57，且两人每道题是否回答正确均相互独立（1）求甲先得1分的概率；（2）求甲获胜的概率；（3）若将抢答5道题改为抢答3道题，先得3分获胜改为先得2分获胜，其余条件不变，则规则的修改对甲是否有利，请说明理由？【解答】解：（1）每道题的抢答中，记甲得1分为事件M，M发生有两种可能：抢到题且答对，乙抢到题且答错，甲先得1分的概率P（M）=1247+1227=37（2）由（1）知，在每道题的抢答中甲、乙得一分的概率分别为37，47，设两人共抢答了X道题比赛
23、结束，且甲获胜，根据比赛规则，X的所有可能取值分别为3，4，5，P（X3）（37）3=27343，P（X4）=C31(37)2(47)(37)=3242401，P（X5）=C42(37)2(47)2(37)=259216807，甲获胜的概率PP（X3）+P（X4）+P（X3）=618316807（3）将抢答5道题改为抢答3道题，先得3分获胜改为先得2分获胜，其余条件不变，甲获胜的概率为P（37）2+C21(37)(47)(37)=135343=661516807618316807661516807，规则的修改对甲有利18（12分）已知锐角ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若sin
24、AsinBsinC=32（sin2A+sin2Bsin2C）（1）求sinC；（2）若c=3，求ABC周长的取值范围【解答】解：（1）由sinAsinBsinC=32（sin2A+sin2Bsin2C）及正弦定理得：absinC=32（a2+b2c2），即absinC=3abcosC，所以tan=3，又C为锐角，可得C=3，所以sinC=32（2）由2R=csinC=332，得R1，所以ABC的周长La+b+c2R（sinA+sinB）+32（sinA+sinB）+32sinA+2sinB+32sinA+2sin（23-A）+33sinA+3cosA+323sin（A+6）+3，因为A（0，2
25、），23-A（0，2），所以A（6，2），A+6（3，23），所以23sin（A+6）+3（3+3，33，即a+b+c（3+3，33，所以ABC周长的取值范围为（3+3，3319（12分）如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1，O，M，N分别为线段BC，AA1，BB1的中点，P为线段AC1上的动点，AA116，AC8（1）若AO=12BC，试证：C1NCM；（2）在（1）的条件下，当AB6时，试确定动点P的位置，使线段MP与平面BB1C1C所成角的正弦值最大【解答】证明：（1）在ABC 中，O为BC中点且AO=12BC，ABAC平面ABC平面ACC1A1交线为AC，AB平面ACC1A1，ABCM
26、M，N分别为AA1，BB1的中点，MNABCMMN在直角AMC和直角MA1C1中，AMA1M8，ACA1C18，AMCA1MC1，CM=C1M=64+64=82，CM2+C1M2=128+128=162=CC12，CMC1M，MNC1MMCM平面C1MN，C1N平面 C1MN，CMC1N（2）AA1平面 ABC，由（1）得AB，AC，AA1两两垂直，以A为原点，以AB，AC，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图，则 A（0，0，0），B（6，0，0），C（0，8，0），C1（0，8，16），M（0，0，8），B1（6，0，16），BC=(-6，8，0)，BB1=(0，0，16)设平面BB
27、1C1C 的一个法向量为n=（x，y，z），则-6x+8y=016z=0，令x4，得y=3，n=(4，3，0)，设P(x，y，z)，AP=mAC(0m1)，则（x，y，z）m（0，8，16），P(0，8m，16m)，MP=(0，8m，16m-8)，设直线MP与平面BB1C1C所成的角为，则sin=|nMP|n|MP|=24m564m2+(16m-8)2=3m55m2-4m+1若m0，sin0，此时点P与A重合，若m0，令t=1m(t1)，则sin=355-4t+t2=35(t-2)2+135当t2，即m=12，P为AC1的中点时，sin取得最大值3520（12分）已知抛物线x2ay（a0），过
28、点M（0，a2）作两条互相垂直的直线l1，l2，设l1，l2分别与抛物线相交于A，B及C，D两点，当A点的横坐标为2时，抛物线在点A处的切线斜率为1（1）求抛物线的方程；（2）设线段AB、CD的中点分别为E、F，O为坐标原点，求证：直线EF过定点【解答】解：（1）x2ay即y=x2a的导数为y=2ax，可得抛物线在点A处的切线斜率为4a=1，解得a4，即有抛物线的方程为x24y；（2）证明：M（0，2），设直线l1的方程为yk1x+2，直线l2的方程为yk2x+2，k1k21，与抛物线的方程x24y联立，可得x24k1x80，xA+xB4k1，可得AB的中点E（2k1，2+2k12），同理可得
29、F（2k2，2+2k22），直线EF的斜率为2+2k12-2-2k222k1-2k2=k1+k2，直线EF的方程为y22k12（k1+k2）（x2k1），化为y（k1+k2）x+22k1k2即y（k1+k2）x+4，所以直线EF恒过定点（0，4）21（12分）函数f（x）ex+asinx，x（，+）（1）求证：当a1时，f（x）存在唯一极小值点x0，且1f（x0）0；（2）是否存在实数a使f（x）在（，+）上只有一个零点，若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由【解答】解：（1）证明：当a1时，f（x）ex+sinx，x（，+），则f（x）ex+cosx，f（x）exsinx，当x（，0）时，
30、ex0，sinx0，则f（x）exsinx0，当x0，+）时，ex1，sinx1，所以f（x）exsinx0，所以f（x）exsinx0恒成立，所以f（x）单调递增，又f(2)=-e-20，f(-34)=e-34+cos(-34)=e-34-22，因为(e34)2=e34e2，所以e342，即1e3422，所以f(-34)0，所以存在x0(-34，-2)，使得f（x0）0，即ex0+cosx0=0，则在（，x0）上，f（x）0，f（x）单调递减，在（x0，+）上，f（x）0，f（x）单调递增，所以f（x）存在唯一的极小值点x0，所以f(x0)=ex0+sinx0=sinx0-cosx0=2si
31、n(x0-4)，所以x0(-34，-2)，则x0-4(-，-34)，所以f(x0)=2sin(x0-4)(-1，0)，（2）存在a=-2e4，或a=2e-34，使得f（x）在（，+）上只有一个零点，理由如下：当a0时，f(x0)=ex无零点，当a0时，由f（x）0得ex+asinx0，则-1a=sinxex，令F(x)=sinxex，x（，+），则F(x)=cosx-sinxex=-2sin(x-4)ex，令F（x）0，则x=k+4，k1，kZ，由函数y=2sin(x-4)的图像性质可知，所以x(4+2k，54+2k)，2sin(x-4)0，F（x）单调递减，当x(54+2k，4+2+2k)时
32、，2sin(x-4)0，F（x）单调递增，所以x=54+2k，kZ，k1时，F（x）取得极小值，即当x=-34，54，时，F（x）取得极小值，又sin(-34)e-34sin(54)e540，即F(-34)F(54)0，又因为在(-，-34)上，F（x）单调递减，所以F(-34)F(x)0，同理当x=2k+4，kZ，k0时，F（x）取得极大值，即x=4，94，时，取得极大值，又sin(4)e4sin(94)e940，即F(4)F(94)0，因为F(4)=22e4=22e-4，F(-34)=-22e34，所以当-1a=22e-4，或-1a=-22e34，即a=-2e4，或a=2e-34时，y=-
33、1a与F(x)=sinxex的图像只有一个交点，所以存在实数即a=-2e4，或a=2e-34时，使得f（x）在（，+）上只有一个零点选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=1+cosy=sin（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin22cos0（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）过点M（12，0）的直线l依次与两曲线交于A，B，C，D四点，且|AB|CD|，求直线l的普通方程【解答】解：（
34、1）曲线C1的参数方程为x=1+cosy=sin（为参数），转换为普通方程为（x1）2+y21；曲线C2的极坐标方程为sin22cos0，根据x=cosy=sinx2+y2=2，转换为直角坐标方程为y22x；（2）设过点M（12，0）的直线l的方程为：y=k(x-12)，由于该直线依次与两曲线交于A，B，C，D四点，所以当直线与圆相交时，|AB|21-d2=21-(2k-k1+k2)2，当直线与抛物线相交时，y2=2xy=k(x-12)，整理得k2x2-(k2+2)x+k24=0；所以x1+x2=k2+2k2，x1x2=14；故|DC|=1+k2|x1-x2|=1+k2(k2+2k2)2-4，
35、利用|AB|CD|，解得k1，故直线l的方程为y=(x-12)选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|xa|+|x3|（）若a3，且不等式f（x）5的解集为x|-32x72，求a的值；（）如果对任意xR，f（x）4，求a的取值范围【解答】解：（）若a3，不等式f（x）5即为|xa|+|x3|5，由解集为x|-32x72，可得-32，72为方程|xa|+|x3|5的两个实根，即有a3|-32-a|+92=5|72-a|+12=5，解得a1，由|x+1|+|x3|5的几何意义为数轴上的点与1，3的距离之和小于5，而-32x72，满足原不等式，故a1；（）如果对任意xR，f（x）4，等价为|xa|+|x3|4恒成立，由|xa|+|x3|xax+3|a3|，当且仅当（xa）（x3）0取得等号，即有|a3|4，解得a7或a1第22页（共22页）
