1、1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数第一课时一、温故知新一、温故知新 在初中，我们在直角三角形中定义在初中，我们在直角三角形中定义了锐角的三角函数，即：了锐角的三角函数，即：一、温故知新一、温故知新 在初中，我们在直角三角形中定义在初中，我们在直角三角形中定义了锐角的三角函数，即：了锐角的三角函数，即： baAcbAcaAtancossin正切正切余弦余弦正弦正弦ACBacb 思考：思考：你能用直角坐标系中角你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？函数吗？二、新知探究二、新知探究., 0)(. 122bMPaOMMxPbarbaPxO
2、的的长长度度为为，线线段段的的长长度度为为则则线线段段，轴轴的的垂垂线线，垂垂足足为为作作过过距距离离，它它与与原原点点的的，的的终终边边上上任任取取一一点点限限，在在么么它它的的终终边边在在第第一一象象轴轴的的非非负负半半轴轴重重合合，那那与与重重合合，始始边边的的顶顶点点与与原原点点如如图图，设设锐锐角角 abOMMPraOPOMrbOPMP tancossin，我们有我们有M),(baPO xyababOPP tan,cos,sin1 . 2置置上上，则则的的特特殊殊位位取取在在使使线线段段若若将将点点推推广广M),(baPO xy1)0, 1(Axyxyxxyyyxp tan,tan,
3、3cos,cos,2sin,sin,1),(2即即记记作作的的正正切切叫叫做做）（即即记记作作的的余余弦弦叫叫做做）（即即记记作作的的正正弦弦叫叫做做）（那那么么的的终终边边与与单单位位圆圆交交于于点点是是一一个个任任意意角角，它它的的三三角角函函数数，如如图图，设设义义任任意意角角我我们们可可以以利利用用单单位位圆圆定定推推广广它们统称为三角函数，可看成自变量它们统称为三角函数，可看成自变量为实数的函数为实数的函数.351的的正正弦弦、余余弦弦和和正正切切值值】求求【例例 的的正正弦弦、余余弦弦和和正正切切值值求求角角的的终终边边经经过过点点】已已知知角角【例例 ),4, 3(20 Pxyr
4、xryryx tan,cos,sin,),(3则则它它与与原原点点的的距距离离为为坐坐标标为为终终边边上上任任意意一一点点的的一一般般地地，设设角角推推广广探究：请根据上述任意角的三角函数定义，先将探究：请根据上述任意角的三角函数定义，先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入下表，再将下表，再将这三种函数这三种函数的值在各象的值在各象限的符号填限的符号填入途中的括入途中的括号号.三角函数三角函数定义域定义域sinRcosRtan,2|Zkk yxOyxOyxO sin cos tan)()()()()()()()()()()( 0tan0sin.
5、3 对对为为第第三三象象限限角角，反反之之也也组组成成立立时时，角角】求求证证，当当下下列列不不等等式式【例例 3tan)4()672tan()3()4sin()2(250cos)1(4 用用计计算算器器验验证证符符号号，然然后后】确确定定下下列列三三角角函函数数的的【例例第二课时xyrxry tan,cos,sin 1. 设设是一个任意角，它的终边上一点是一个任意角，它的终边上一点P的坐标为（的坐标为（x，y），它与原点的距离），它与原点的距离为为r，则角，则角的三角函数是怎样定义的？的三角函数是怎样定义的？ 2. 三角函数在各象限的函数值符号三角函数在各象限的函数值符号分别如何？分别如何？
6、一全正，二正弦，三正切，四余弦一全正，二正弦，三正切，四余弦.三角函数三角函数定义域定义域sinRcosRtan,2|Zkk 3、三角函数的定义域：、三角函数的定义域：探究探究1. 思考并回答其数学意义如何？并回答其数学意义如何？ )(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(Zkkkk 终边相同的角的同名三角函数值相等终边相同的角的同名三角函数值相等. .1. 公式一公式一)(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(Zkkkk 2. 角是一个几何概念角是一个几何概念, 同时角的大小同时角的大小也具有数量特征也具有数量特征. 我们从数的观点定义了我们从数的观点定义了三
7、角函数三角函数, 如果能从图形上找出三角函数如果能从图形上找出三角函数的几何意义，的几何意义，, 就能实现数与形的完美统就能实现数与形的完美统一一. 下面我们再从图形角度认识一下三角下面我们再从图形角度认识一下三角函数。函数。 探究探究2、正弦线和余弦线、正弦线和余弦线 角角的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P，过点，过点P作作x轴的轴的垂线，垂足为垂线，垂足为M，根据三角函数定义，我们有，根据三角函数定义，我们有xyO)0, 1(AMPT的终边的终边 ) I (xyO)0, 1(AT的终边的终边 )II(PMxyO)0, 1(AT的终边的终边 )III(PMxyO)0, 1(APT的终
8、边的终边 )IV(M思思 考考（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段否给线段OM、MP规定一个适当的方向，使它规定一个适当的方向，使它们的取值与点们的取值与点P的坐标一致？的坐标一致？（2）你能借助单位圆，找到一条如）你能借助单位圆，找到一条如OM、MP一样的线段来表示角一样的线段来表示角的正切吗？的正切吗？ 当线段当线段OM与与x轴同向时，轴同向时，OM的方向为正向，的方向为正向，且有正值且有正值x，当线段，当线段OM与与x轴反向时，轴反向时，OM的方向的方向为负，且有负值为负，且有负值x，其中，其中x为点为点P的横坐标，这样，的横坐标，这样，无
9、论哪一种情况都有：无论哪一种情况都有：OM=x=cos 同理，当角同理，当角的终边不在坐标轴上时，以的终边不在坐标轴上时，以M为为始点、始点、P为终点，规定：为终点，规定： 当线段当线段MP与与y轴同向时，轴同向时，MP的方向为正向，的方向为正向，且有正值且有正值y；当线段；当线段MP与与y轴反向时轴反向时, MP的方向为的方向为负向，且有负值负向，且有负值y, 其中其中y为为P点的纵坐标点的纵坐标, 这样无论这样无论哪一种情况都有：哪一种情况都有：MP=y=sin 像像OM、MP这种被看作带有方向的线段，这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段叫做有向线段.注：线段从始点到终点与坐标轴同向时为
10、正方向，注：线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向反向时为负方向. 探究：设探究：设为锐角，你能根据正弦为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明线和余弦线说明sin+cos1吗？吗？xyOMP 探究：设探究：设为锐角，你能根据正弦为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明线和余弦线说明sin+cos1吗？吗？MP + OM OP = 1xyOMPxyOAMPT探究探究3、正切线、正切线 过点过点A(1，0)做单位圆的切线，这条切线必做单位圆的切线，这条切线必然平行于然平行于y轴轴(为什么为什么?)，设它与，设它与的终边的终边(当当为为第一、四象限角时第一、四象限角时)或其他反向延长线或其他反
11、向延长线(当当为第为第二、三象限角时二、三象限角时)相交于点相交于点T，根据正切函数的，根据正切函数的定义与相似三角形的定义与相似三角形的知识，借助有向线段知识，借助有向线段OA、AT，我们有，我们有xyAT tan思考：思考：观察下列不等式：观察下列不等式：你有什么一般猜想？你有什么一般猜想？ 6tan66sinppp 4tan44sinppp 3tan33sinppp xyOAMPT 引申：引申：对于不等式对于不等式 sintan（其中（其中为锐角），你能用数形结合思为锐角），你能用数形结合思想证明吗？想证明吗？ 【例例1】作出下列各角的正弦线、余弦作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：线
12、、正切线：512)4(;32)3(;65)2(;4)1( .23sin202的的取取值值范范围围的的成成立立内内，求求使使】在在【例例 23 yxMOyP2P1P.1cos2)(3的的定定义义域域】求求函函数数【例例 fxOy21 xMP2P1P 1. 三角函数线是三角函数的一种几何表示，三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段表示三角函数值，是今后进一即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数图象的有效工具步研究三角函数图象的有效工具. 2. 正弦线的始点随角的终边位置的变化而正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化，余弦线和正切线的始点都是定点，分变化，余弦线和正切线的始点都是定点，分别是原点别是原点O和点和点A（1，0）. 3. 利用三角函数线处理三角不等式问题，利用三角函数线处理三角不等式问题，是一种重要的方法和技巧，也是一种数形结是一种重要的方法和技巧，也是一种数形结合的数学思想合的数学思想.
