1、第二篇第二篇 机械振动机械振动与机械波与机械波广义振动广义振动：任一物理量：任一物理量( (如位移、电流等如位移、电流等) )在某一在某一 数值附近反复变化。数值附近反复变化。 振动分类振动分类非线性振动非线性振动线性振动线性振动受迫振动受迫振动自由振动自由振动机械振动机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。：物体在一定位置附近作来回往复的运动。4-1 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征最简单最基本的线性振动。最简单最基本的线性振动。简谐振动简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移平衡位置的位移x（或角位移（或角位移 ）随时间）随时
2、间t按余弦按余弦（或正弦）规律变化的振动。（或正弦）规律变化的振动。)tcos(Ax0 一、弹簧振子模型一、弹簧振子模型弹簧振子弹簧振子：弹簧：弹簧物体系统物体系统 平衡位置：平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置弹簧处于自然状态的稳定位置轻轻弹簧弹簧质量忽略不计，形变满足胡克定律质量忽略不计，形变满足胡克定律 物体物体可看作质点可看作质点 kxOmkxF 22dtxdmkx mk 2 简谐振动简谐振动微分方程微分方程0222 xdtxd 单摆单摆0222 dtd结论结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。单摆的小角度摆动振动是简谐振动。角频率角频率, ,振动的周期分别为：振动的周期分别为：glT
3、lg 2200 当当 时时 sin sinmglM 二、微振动的简谐近似二、微振动的简谐近似gmfTCO mgldtdml 22摆球对摆球对C点的力矩点的力矩 mglM l/g 2 复摆复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体0222 dtd结论结论：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。复摆的小角度摆动振动是简谐振动。 sin当当 时时gmhCO22dtdImgh Imgh 2 其通解为：其通解为：一、简谐振动的运动学方程一、简谐振动的运动学方程)tcos(Ax0 0222 xdtxd 4-2 简谐振动的运动学简谐振动的运动学简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程简谐
4、振动的运动学方程简谐振动的运动学方程)tsin()tcos(200 20 )tsin(x 二、二、描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量)tcos(Ax0 1 1、振幅、振幅 A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。移（或角位移）的绝对值。)tsin(Av0 000vv ,xx,t 初始条件初始条件00 cosAx 00 sinAv 2020)v(xA 频率频率 ：单位时间内振动的次数。单位时间内振动的次数。2、周期周期 、频率、圆频率频率、圆频率对弹簧振子对弹簧振子 21 T角频率角频率 22 TkmT 2 mk 21 mk 固有周期、固
5、有频率、固有角频率固有周期、固有频率、固有角频率周期周期T ：物体完成一次全振动所需时间。物体完成一次全振动所需时间。 00 )Tt(cosA)tcos(A 2 T单摆单摆glT 2 lg 21 lg 复摆复摆mghIT 2 Imgh 21 Imgh )tsin(Av0 0 是是t =0时刻的位相时刻的位相初位相初位相000 cosAxt 时时00 sinAv 000 xvtan 3、位相和初位相位相和初位相)tcos(Ax0 位相，决定谐振动物体的运动状态位相，决定谐振动物体的运动状态0 t位相差位相差 两振动位相之差。两振动位相之差。12 当当=2k ,k=0,1,2,两振动步调相同两振动
6、步调相同, ,称称同相同相当当 = (2k+1) , k=0,1,2.两振动步调相反两振动步调相反, ,称称反相反相 0 2 超前于超前于 1 或或 1滞后于滞后于 2 位相差反映了两个振动不同程度的参差错落位相差反映了两个振动不同程度的参差错落 三、简谐振动的三、简谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法 0t = 0Ax t+ 0t = tA)tcos(Ax0 oX用旋转矢量表示相位关系用旋转矢量表示相位关系x1A2A x1A2A x1A2A 同相同相反相反相)tcos(a)tcos(Aam 002)tcos(Ax0 )tcos(v)tsin(Avm200 谐振动的位移、速度、加速度之间的位相
7、关系谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系toTa vx.avxT/4T/4)2cos( tvvmx)2cos( tA)cos( taamx)cos(2 tA由图可见：由图可见：2 va超前超前2 xv超超前前x t+ o Amv ma 090090例例:如图如图m=210-2kg, 弹簧的静止形变为弹簧的静止形变为 l=9.8cm t=0时时 x0=-9.8cm, v0=0 取开始振动时为计时零点，取开始振动时为计时零点， 写出振动方程；写出振动方程；（2）若取）若取x0=0，v00为计时零点，为计时零点， 写出振动方程写出振动方程,并计算振动频率。并计算振动频率。XOmx解：解： 确定平
8、衡位置确定平衡位置 mg=k l 取为原点取为原点 k=mg/ l 令向下有位移令向下有位移 x, 则则 f=mg-k( l +x)=-kx作谐振动作谐振动 设振动方程为设振动方程为)tcos(Ax0 s/rad.lgmk10098089 由初条件得由初条件得 ,)xv(arctg0000 mvxA09802020.)( 由由x0=Acos 0=-0.0980 cos 00 x0=Acos 0=0 , cos 0=0 0= /2 ,3 /2 v0=-A sin 0 , sin 0 0, 取取 0=3 /2 x=9.8 10-2cos(10t+3 /2) m对同一谐振动取不同的计时起点对同一谐振
9、动取不同的计时起点 不同，但不同，但 、A不变不变Hzlg6 . 1212 XOmx固有频率固有频率例例:如图所示，振动系统由一倔强系数为如图所示，振动系统由一倔强系数为k的的 轻弹簧、轻弹簧、一半径为一半径为R、转动惯量为、转动惯量为I的的 定滑轮和一质量为定滑轮和一质量为m的的 物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期振动，试证物体作简谐振动，并求其周期T.TmTmga2F moxkJR解：取位移轴解：取位移轴ox，m在平在平衡位置时，设弹簧伸长量衡位置时，设弹簧伸长量为为 l，则，则0 lkmg TmTm
10、ga2F moxkJR当当m有位移有位移x时时maTmg RaJRxlkT )(联立得联立得aRJRkx 2 0222 xRJmkdtxd物体作简谐振动物体作简谐振动 22RJmk kRJmT222 例例 已知某简谐振动的已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。所示，试求其振动方程。431.431. 715.715. 01)(st)(1 cmsv解：方法解：方法1100715cms.sinAv )tcos(Ax0 设振动方程为设振动方程为0020 cosAa1431 cmsvAm. 2143171500.Avsin 6560或或0000 cos,
11、a则则60 17151 cmsvt.2161 mvvAv )sin( 6116761或 01001)cos(,a 则则 6761 1143 s. cmvAm10143431 . 故振动方程为故振动方程为cmtx)cos(610 方法方法2： 用旋转矢量法辅助求解。用旋转矢量法辅助求解。)cos( tAx)cos()sin(2 tvtAvm1431 cmsAvm. 0 tst1 2 vov的旋转矢量的旋转矢量与与v轴夹角表轴夹角表示示t 时刻相位时刻相位2 t由图知由图知 322 6 11 s cmvAm10143431 . cmtx)cos(610 以弹簧振子为例以弹簧振子为例谐振动系统的能量
12、谐振动系统的能量=系统的系统的动能动能Ek+系统的系统的势能势能Ep某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速度为v，位移为，位移为x)tsin(Av0 )tcos(Ax0 221mvEk )t(sinkA02221 221kxEp )t(coskA02221 谐振动的动能和势能是时间的周期性函数谐振动的动能和势能是时间的周期性函数4-3 简谐振动的能量简谐振动的能量动动能能221mvEk )t(sinkA02221 势势能能221kxEp )t(coskA02221 情况同动能。情况同动能。pppEEE,minmax0min kE2411kAdtETETttkk 2max21kAEk 机械能机
13、械能221kAEEEpk 简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒xtTEEpokpEE EtEk(1/2)kA2由起始能量求振幅由起始能量求振幅kEkEA022 221kAE 实际振动系统实际振动系统系统沿系统沿x轴振动，势能函数为轴振动，势能函数为Ep(x)，势能曲线存在，势能曲线存在极小值，该位置就是系统的稳定平衡位置。极小值，该位置就是系统的稳定平衡位置。在该位置（取在该位置（取x=0）附近将势能函数作级数展开）附近将势能函数作级数展开 20220210 x)dxEd(x)dxdE()(E)x(Expxppp微振动系统一般可以当作谐振动处理微振动系统一般可以当作谐振动处理00 dx
14、dExp2022210 x)dxEd()(E)x(Exppp dx)x(dEFp )kx(x)dxEd(xp 022一、同方向、同频率谐振动的合成一、同方向、同频率谐振动的合成合振动是简谐振动合振动是简谐振动, , 其频率仍为其频率仍为 )cos(AAAAA10202122212 221122110 cosAcosAsinAsinAtg )tcos(A)t(x1011 )tcos(A)t(x2022 )tcos(Axxxx021 质点同时参与同方向同频率质点同时参与同方向同频率的谐振动的谐振动 : :合振动合振动 : :4-4 简谐振动的合成简谐振动的合成 * *振动的频谱分析振动的频谱分析2
15、A1AA10 20 0 1x2xx1M2MM如如 A1=A2 , , 则则 A=0,kk21021020 两分振动相互加强两分振动相互加强21AAA ,k)k(210121020 两分振动相互减弱两分振动相互减弱21AAA 分析分析若两分振动同相：若两分振动同相：若两分振动反相若两分振动反相: :)cos(AAAAA10202122212 合振动不是简谐振动合振动不是简谐振动式中式中tAtA)2cos(2)(12 tt)2cos(cos12 随随t 缓变缓变随随t 快变快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动合振动可看作振幅缓变的简谐振动二二. . 同方向不同频率简谐振动的合成同方向不同频率简谐振动
16、的合成分振动分振动)tcos(Ax 11)tcos(Ax 22合振动合振动)tcos(t )cos(Ax 222121221xxx 当当 2 1时时, ,ttAx cos)( 则则：1212 拍拍 合振动忽强忽弱的现象合振动忽强忽弱的现象拍频拍频 : : 单位时间内强弱变化的次数单位时间内强弱变化的次数 =| 2- 1| xt tx2t tx1t t12 拍拍122 T或或：*三、振动的频谱分析三、振动的频谱分析振动的分解振动的分解：把一个振动分解为若干个简谐振动。：把一个振动分解为若干个简谐振动。谐振分析谐振分析：将任一周期性振动分解为各个谐振动之和。：将任一周期性振动分解为各个谐振动之和。
17、若周期振动的频率为若周期振动的频率为 : : 0则各分振动的频率为则各分振动的频率为: : 0、2 0、3 0( (基频基频 , , 二次谐频二次谐频 , , 三次谐频三次谐频 , ) , )按傅里叶级数展开按傅里叶级数展开)t(x)Tt(x 102nnn)tnsinbtncosa(a)t (x T 22 方波的分解方波的分解x0t0tx1t0 x3t0 x5t0 x1+x3+x5+x0 tsinAtsinAtsinAAx 55233222xo ot t锯齿波锯齿波A 0 03 3 0 05 5 0 0锯齿波频谱图锯齿波频谱图 一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续一个非周期性振动可分解为无
18、限多个频率连续变化的简谐振动。变化的简谐振动。xo ot t阻尼振动曲线阻尼振动曲线阻尼振动频谱图阻尼振动频谱图o o A* *四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成合振动合振动)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122 分振动分振动)tcos(Ax101 )tcos(Ay202 0(1)1020 0221 )AyAx(xAAy12 合振动的轨迹为通过原点且合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线在第一、第三象限内的直线12AA斜斜率率质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移讨论讨论)(sin)cos(AyAxAy
19、Ax102021020212222122 yx)tcos(AAyxS 222122 1020(2)0221 )AyAx(xAAy12 合振动的轨迹为通过原点且合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线在第二、第四象限内的直线12AA 斜斜率率质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122 yx)tcos(AAyxS 2221222(3)1020 12212 AyAx合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴和y轴轴为轴线的椭圆为轴线的椭圆)tcos(Ax101 质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。质点沿椭圆的运动方向是顺时针
20、的。)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122 yx)tcos(Ay2101 yx2(4)1020 合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴和y轴轴为轴线的椭圆为轴线的椭圆)tcos(Ax101 质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122 )tcos(Ay2101 = 5 /4 = 3 /2 = 7 /4 = 0 = = /2 = 3 /4Q = /4P .0 时，逆时针方向转动。时，逆时针方向转动。 0时，顺时针方向转动。时，顺时针方向转动。*五、五、垂直方向不同频率垂
21、直方向不同频率可看作两频率相等而可看作两频率相等而 2- 1随随t 缓慢变化合运动缓慢变化合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化。轨迹将按上页图依次缓慢变化。 轨迹称为轨迹称为李萨如图形李萨如图形yxA1A2o o- -A2- -A1简谐振动的合成简谐振动的合成)()(xyxyt 4023 xyyx,:两分振动频率相差很小两分振动频率相差很小两振动的频率成两振动的频率成整数比整数比李萨如图形李萨如图形21:31:32 :一、一、 阻尼振动阻尼振动阻阻尼尼振振动动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。摩擦阻尼：摩擦阻尼：系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的系
22、统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统的动能转化为热能。作用，系统的动能转化为热能。辐射阻尼：辐射阻尼：振动以波的形式向外传波，使振动能量振动以波的形式向外传波，使振动能量向周围辐射出去。向周围辐射出去。4-5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振阻尼振动的振动方程阻尼振动的振动方程（系统受到弱介质阻力而衰减）（系统受到弱介质阻力而衰减）振子动力学方程振子动力学方程22dtxdmdtdxkx 振子受阻力振子受阻力dtdxvfr 022022 xdtdxdtxd mk 0 系统固有角频率系统固有角频率m2 阻尼系数阻尼系数弱介质阻力是指振子运动速度较低时，弱介质阻力是指振子运动速度较
23、低时，介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比 阻力系数阻力系数t弱阻尼弱阻尼)(tx弱阻尼弱阻尼 每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，周期越接近于谐振动。周期越接近于谐振动。0 )tcos(eAxt00 220 0220222 T阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的准周期阻尼振动的准周期临界阻尼临界阻尼t)(tx临界阻尼临界阻尼系统不作往复运动，而是较快地系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来回到平衡位置并停下来0 te )tcc(x 21过阻尼过阻尼t)(tx过阻尼过阻尼系统不作
24、往复运动，而是非常缓系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置慢地回到平衡位置0 t )(t )(ececx20220221 二、二、 受迫振动受迫振动受迫振动受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动。振动系统在周期性外力作用下的振动。弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程ptcosFtddxkxtdxdm022 tpcosfxtddxtdxd 20222 令令mk 0 mFf,m,002 周期性外力周期性外力策动力策动力ptcosFF0 稳定解稳定解)ptcos(Ax (1)频率频率: : 等于策动力的频率等于策动力的频率 (2)振幅
25、振幅: :2122222004/p)p(fA (3)初相初相: :2202pptg 特点特点: :稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化)ptcos(A)t(coseAxt 00阻尼振动阻尼振动简谐振动简谐振动三、三、共振共振在一定条件下在一定条件下, , 振幅出现极大值振幅出现极大值, , 振动剧烈的现象。振动剧烈的现象。1 1、位移共振、位移共振(1)共振频率共振频率 : :2202 rp(2)共振振幅共振振幅 : :22002 fAr2、速度共振、速度共振一定条件下一定条件下, , 速度振幅极大的现象。速度振幅极大的现象。速度共振时，速度与速度共振时，速
26、度与策动力同相，一周期策动力同相，一周期内策动力总作正功，内策动力总作正功，此时向系统输入的能此时向系统输入的能量最大。量最大。 0 rp 20fvmr )ptsin(pAv 22222004p)p(pfpAvm 不能用线性微分方程描述的振动称为不能用线性微分方程描述的振动称为非线性振动非线性振动。1、内在的非线性因素、内在的非线性因素发生非线性振动的原因：发生非线性振动的原因：振动系统内部出现非线性回复力振动系统内部出现非线性回复力振动系统的参量不能保持常数振动系统的参量不能保持常数，如漏摆、荡秋千。如漏摆、荡秋千。*4-6 非线性振动简介非线性振动简介一、一、 非线性振动概述非线性振动概述
27、单摆（或复摆）单摆（或复摆）的回复力矩的回复力矩)!(mglM 5353 自激振动自激振动1、外在的非线性影响、外在的非线性影响非线性阻尼的影响非线性阻尼的影响策动力为位移或速度的非线性函数策动力为位移或速度的非线性函数如如33221vkvkvkfr 如如)v ,v ,v ,x,x,x(FF3232 线性振动与非线性振动的最大区别：线性振动与非线性振动的最大区别：线性振动满足叠加原理线性振动满足叠加原理非线性振动不满足叠加原理非线性振动不满足叠加原理p 经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量p Study Constantly, And You Will Know Everything. The More You Know, The More Powerful You Will Be写在最后Thank You在别人的演说中思考，在自己的故事里成长Thinking In Other PeopleS Speeches，Growing Up In Your Own Story讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
