1、第一讲第一讲 微分中值定理微分中值定理 内容提要内容提要 1.1.罗尔定理；罗尔定理； 2.2.拉格朗日中值定理；拉格朗日中值定理； 3.3.柯西中值定理。柯西中值定理。 教学要求教学要求 1.1.深刻理解罗尔定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值深刻理解罗尔定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理；定理； 2.2.熟练掌握用罗尔定理和拉格朗日中值定理证明等式或不熟练掌握用罗尔定理和拉格朗日中值定理证明等式或不等式解题方法。等式解题方法。一、罗尔定理一、罗尔定理例如例如,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上上连连续续在在 ,)3 , 1(内内可可导导在在 , 0)3()1( f
2、f且且, 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理 如果函数如果函数 )(xf满足条件：满足条件：（1）在闭区间）在闭区间 ,ba上连续上连续, （2）在开区间在开区间 内可导内可导, ),( ba),()()3(bfaf ,),( 内内至至少少存存在在一一点点那那末末在在ba0)( f使使得得（罗尔：法国数学家罗尔：法国数学家）),3 , 1(1( xyabo)(xfy AB罗尔定理的几何解释：罗尔定理的几何解释：1 2 C;,)()1(上上是是一一条条连连续续曲曲线线在在baxfy ;),()2(轴轴的的切切线线内内处处处处有有不不垂垂直直于于曲曲线线
3、在在xba;)3(度度相相同同曲曲线线在在两两个个端端点点处处的的高高.是是水水平平的的，上上至至少少有有一一点点在在曲曲线线弧弧CAB在在该该点点处处的的切切线线如图所示如图所示:下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理条件？下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理条件？;2 , 0 ,)2()()3(32 xxf;4 , 0 ,)2()()2(32 xxf,)2(32)(31 xxf;2 , 0; 2 , 1,1; )1 , 0,)()1( xxxf解解(1)解解(2)。不不存存在在时时当当)(,2xfx 。上上不不满满足足罗罗尔尔定定理理条条件件在在故故2 , 0)(xf。上上不不满满足足罗罗尔
4、尔定定理理条条件件在在故故4 , 0)(xf解解(3)2()0(ff 。上不满足罗尔定理条件上不满足罗尔定理条件在在2 , 0)(xf练习练习)2()0(ff 指出：指出： 若罗尔定理中的三个条件有任何一个不满足，若罗尔定理中的三个条件有任何一个不满足，就不能保证定理的结论成立就不能保证定理的结论成立.例如，下列三个函数例如，下列三个函数 1, 110, 121)(xxxxf)11(|)( xxxg)10()( xxxhoyx11 )(xfy oyx1 1)(xgy oyx11)(xhy 由图可知，由图可知，1 , 0,1 , 1,1 , 0 上分别不满足罗尔定理中的条件上分别不满足罗尔定理中
5、的条件).3(),2(),1(它们的图像都没有水平切线它们的图像都没有水平切线.这三个函数在指定的区间这三个函数在指定的区间用罗尔定理证明曲线用罗尔定理证明曲线例例xxxf)1()( 在区间在区间)1 , 0(内有水平切线内有水平切线.证明证明:xxxf)1()( 在闭区间在闭区间1 , 0上连续上连续 . )(xfxx213 )(xf在在)1 , 0(所以所以内处处可导内处处可导. 并且并且 )0(f由罗尔定理，由罗尔定理， 在开区间在开区间)1 , 0(内至少存在一点内至少存在一点, , 0)( f使使.)(,()(处的切线是水平的处的切线是水平的上点上点从而曲线从而曲线 fxfy 021
6、3)( xxxf令令31 x,31 取取 )31(f332 .)332,31()(处有水平切线处有水平切线上点上点从而曲线从而曲线 xfy0)1( f)(1()1( xxxx二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）中值定理）中值定理 )()()(abfafbf 如果函数如果函数 )(xf满足条件：满足条件：（1）在闭区间）在闭区间 ,ba上连续上连续, （2）在开区间）在开区间 内可导内可导, ),( ba那末至少有一点那末至少有一点),(ba 使得使得（拉格朗日：法国数学家拉格朗日：法国数学家）AB拉格朗日中值定理几何解释拉格朗日中值定理几何解释:.,A
7、BCAB平平行行于于弦弦在在该该点点处处的的切切线线上上至至少少有有一一点点在在曲曲线线弧弧).()()( fabafbf 亦可写成亦可写成xoy)(xfy ba1 2 1C 2C 证证 (分析分析:).()(bfaf 弦弦AB方程为方程为).()(axkafy ).()()(axkafxf )()()(bFaFxF 满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件比比罗罗尔尔定定理理少少了了条条件件abafbfk )()(记记的的端端点点重重合合，的的端端点点与与曲曲线线弦弦)(xfyAB )(xF根根据据罗罗尔尔定定理理至少存在一点至少存在一点),(ba 0)( F使使0)()()( abafbff
8、即即).)()()(abfafbf ab1 2 xoy)(xfy AB1C2C拉格朗日定理拉格朗日定理xMN 0)( kf 即即xfxfxxf )()()( ,. 1xxbxa 令令可写为可写为则则)()()(abfafbf 2. 如果在拉格朗日中值定理中加上条件如果在拉格朗日中值定理中加上条件)()(bfaf 那么就成为罗尔定理那么就成为罗尔定理.故拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广故拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广.).(之间之间与与在在xxx 说明：说明：).)()()(abfafbf 对对例例3上上满满足足在在区区间间验验证证函函数数 2, 0cos)( xxf拉格拉格 朗日中值定理朗日
9、中值定理.解解 ,2, 0cos)(上上连连续续在在区区间间因因为为函函数数 xxf内内可可导导，在在)2,0( 满满足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理故故)(xf.的条件的条件xxfsin)( 而而02)0()2( ff)0cos2(cos2 2 ，由由 2sin 2arcsin 解得解得)2, 0( )()()( fabafbf . 并求并求练习练习., 1ln)( 中中值值定定理理，并并求求上上满满足足拉拉格格朗朗日日在在区区间间验验证证函函数数exxf 解解 , 1ln)(上上连连续续在在区区间间因因为为函函数数exxf 内内可可导导，在在),1(e满满足足拉拉格格朗朗日日中中值值定
10、定理理故故)(xf.的条件的条件xxf1)( 而而1)1()( efef)()()( fabafbf 11 e111 e 由由1 e 得得), 1( e 拉格朗日定理有以下两个推论拉格朗日定理有以下两个推论:推论推论1内内导导数数恒恒等等于于零零，在在区区间间如如果果函函数数),()(baxf.),()(内内恒恒等等于于常常数数在在区区间间则则baxf证明证明:条条件件，上上满满足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的在在则则,)(21xxxf,),(21xxba，内任取两点内任取两点在区间在区间，不妨设不妨设21xx 由由拉拉格格朗朗日日定定理理，得得),)()()(1212xxfxfxf 21xx
11、 , 0)( xf由于由于, 0)( f所以所以).()(12xfxf 于是于是,),(21内任意两点内任意两点是区间是区间，由于由于baxx.),()(内内恒恒等等于于常常数数在在区区间间所所以以baxf推论推论2证明证明:内内的的导导数数在在区区间间和和如如果果函函数数),()()(baxgxf处处相等，处处相等，),()(xgxf 即即只只相相差差一一个个常常数数，在在区区间间),(ba)()(xgxf和和则则，常数常数C即存在一个即存在一个,)()(Cxgxf 使使,)()(Cxgxf 或或),()()(xgxfxF 令令内内处处处处有有则则在在),(ba)()()(xgxfxF 0
12、由推论由推论1知知,)(CxF .)()(Cxgxf 所以所以三、柯西中值定理三、柯西中值定理柯西（柯西（Cauchy）中值定理）中值定理 如果函数如果函数 及及 满足条件：满足条件：)(xf)(xg（1）在闭区间）在闭区间 上连续上连续, ,ba（2）在开区间在开区间 内可导内可导, ),(ba0)( xg且且那末至少存在一点那末至少存在一点 ),(ba 使得使得)()()()()()( gfbgagbfaf 作为拉格朗日中值定理的推广，有如下的定理作为拉格朗日中值定理的推广，有如下的定理,)(xxg 取取在在柯柯西西中中值值定定理理中中，若若即得拉格朗日中值定理即得拉格朗日中值定理.（柯西
13、柯西: 法国数学家法国数学家）成立成立例例4 4:,)1 , 0(,1 , 0)(xf证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数证证分析分析:结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 设设,1 , 0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf有有内内至至少少存存在在一一点点在在,)1 , 0( 01)0()1(ff).0()1(2)(fff 即即).0()1(2)()1 , 0(fff ，使使至至少少存存在在一一点点)()()()()()( gfbgagbfaf 2)(f 小结小结Rolle定理定理La
14、grange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxg )()()(bfaf 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；练练 习习 前者是后者的特殊情形前者是后者的特殊情形, ,.)()(即为前者即为前者后者加上条件后者加上条件afbf 1、函数、函数 在区间在区间1,2上满足拉格朗日中值定理上满足拉格朗日中值定理4)(xxf 则则= 一、填空题一、填空题 34152、设函数、设函数),4)(3)(2)(1()( xxxxxf有有则则0)( xf 个根，个根，它们分别在区间它们分别在区间 上上3(1,2),(2,3),(3,
15、4)(1,2),(2,3),(3,4)3、罗尔定理与拉格朗日定理之间的关系是、罗尔定理与拉格朗日定理之间的关系是 罗尔在数学上的成就主要是在代数方面。罗尔在数学上的成就主要是在代数方面。任意次方程的一个解法的证明任意次方程的一个解法的证明的论述中指出了：在多项式方程的论述中指出了：在多项式方程多年后，即多年后，即并把此命题名为罗尔定理。并把此命题名为罗尔定理。一新生事物还存在逻辑上的缺陷，从而遭受多方面的非议，一新生事物还存在逻辑上的缺陷，从而遭受多方面的非议，罗尔罗尔。罗尔罗尔 生平简介生平简介且结婚过早，年轻时贫困潦倒，靠充当公证人与律师抄录员的微薄且结婚过早，年轻时贫困潦倒，靠充当公证人
16、与律师抄录员的微薄收入养家糊口，他利用业余时间刻苦自学代数家奥扎南提出的一个收入养家糊口，他利用业余时间刻苦自学代数家奥扎南提出的一个数论难题，受到了学术界的好评，从而声名雀起，也使他的生活有数论难题，受到了学术界的好评，从而声名雀起，也使他的生活有了转机，此后担任初等数学教师和陆军部行政官员。了转机，此后担任初等数学教师和陆军部行政官员。1685 年进入法年进入法国科学院，担任低级职务，到国科学院，担任低级职务，到1699年才获得科学院发给的固定薪水年才获得科学院发给的固定薪水.此后他一直在科学院供职，此后他一直在科学院供职，1719年因中风去世。年因中风去世。罗尔是法国数学家。罗尔出生于小
17、店主家庭，只受过罗尔是法国数学家。罗尔出生于小店主家庭，只受过初等教育，初等教育，罗尔于罗尔于1691年在题为年在题为0)( xf的两个相邻的实根之间，方程的两个相邻的实根之间，方程 至少有一个根。一百至少有一个根。一百0)( xf1846年，尤斯托年，尤斯托伯拉维提斯将这一定理推广到可微函数。伯拉维提斯将这一定理推广到可微函数。罗尔所处的时代正当牛顿、莱布尼兹的微积分诞生不久，罗尔所处的时代正当牛顿、莱布尼兹的微积分诞生不久， 由于这由于这其中也包括其中也包括（1652.4.211719.11.8）拉格朗日（拉格朗日（1736.1.251813.4.10）生平简介）生平简介拉格朗日是法国数学
18、家，他的父亲是陆军骑兵里的一名会计官，拉格朗日是法国数学家，他的父亲是陆军骑兵里的一名会计官，后又经商。拉格朗日兄弟姐妹后又经商。拉格朗日兄弟姐妹11人，他的父亲希望他能当一名律师人，他的父亲希望他能当一名律师，他，他14岁考入中学时，逐渐对物理学和几何学感兴趣，特别对几何岁考入中学时，逐渐对物理学和几何学感兴趣，特别对几何学更热爱。学更热爱。17岁时，当他读到英国天文学家哈雷撰写的介绍牛顿微岁时，当他读到英国天文学家哈雷撰写的介绍牛顿微积分成就的一篇短文之后，对分析产生了浓厚的兴趣，而分析在当积分成就的一篇短文之后，对分析产生了浓厚的兴趣，而分析在当时是迅速发展的一个数学领域。时是迅速发展的
19、一个数学领域。1754年，年，18岁的拉格朗日给出了二个函数积的高阶导数公式，他岁的拉格朗日给出了二个函数积的高阶导数公式，他将这一发现告诉了当时的几何学家泥尼亚诺、数学家欧拉。后来得将这一发现告诉了当时的几何学家泥尼亚诺、数学家欧拉。后来得知这一结果早在半个世纪以前就被莱布尼兹所发现，他生怕别人误知这一结果早在半个世纪以前就被莱布尼兹所发现，他生怕别人误认为他是剽窃者和科学骗子。但这一挫折并没有使他丧失信心，认为他是剽窃者和科学骗子。但这一挫折并没有使他丧失信心，1755年年8月月12日，拉格朗日给欧拉写了一封信，在这封信中，他对求日，拉格朗日给欧拉写了一封信，在这封信中，他对求积分极值问题
20、的纯分析方法做了系统的总结，这是变分法研究的一积分极值问题的纯分析方法做了系统的总结，这是变分法研究的一个重大进展，也是他在数学研究中最杰出的成就之一。个重大进展，也是他在数学研究中最杰出的成就之一。拉格朗日在数学的许多领域都留下了足迹，他的工作总结了拉格朗日在数学的许多领域都留下了足迹，他的工作总结了18世纪的数学成果，同时开辟了世纪的数学成果，同时开辟了19世纪数学研究的道路。世纪数学研究的道路。1813年年4月月10日，拉格朗日与世长辞，人们争相悼念他，在法国科学院、意大日，拉格朗日与世长辞，人们争相悼念他，在法国科学院、意大利各大学都举行了追悼会。利各大学都举行了追悼会。柯西（柯西（1
21、789.8.211857.5.23）生平简介）生平简介柯西是法国数学家、力学家。柯西的父亲是法国波旁王朝的官员柯西是法国数学家、力学家。柯西的父亲是法国波旁王朝的官员,幼年时，他的父亲常带领他到法国参议院的办公室，并在那里指导幼年时，他的父亲常带领他到法国参议院的办公室，并在那里指导他进行学习，因此他有机会遇到参议员拉普拉斯和拉格朗日两位大他进行学习，因此他有机会遇到参议员拉普拉斯和拉格朗日两位大数学家。他们对他的才能十分赏识，拉格朗日认为他将来必定会成数学家。他们对他的才能十分赏识，拉格朗日认为他将来必定会成为大数学家。柯西于为大数学家。柯西于1805年考入综合工科学校，在那里主要学习数年考
22、入综合工科学校，在那里主要学习数学和力学，学和力学，1807年考入桥梁公路学校，年考入桥梁公路学校，1810年以优异成绩毕业。前年以优异成绩毕业。前往瑟堡参加海港建设工程。他在业余时间悉心攻读有关数学各分支往瑟堡参加海港建设工程。他在业余时间悉心攻读有关数学各分支从数论到天文学方面的书籍。从数论到天文学方面的书籍。柯西最有首创性的工作是有关复变函数论，他对数学的最大贡献是柯西最有首创性的工作是有关复变函数论，他对数学的最大贡献是在微积分中引进了清晰和严格的表述于证明方法，在这方面他写了在微积分中引进了清晰和严格的表述于证明方法，在这方面他写了三部专著三部专著分析教程分析教程、无穷小计算教程无穷小计算教程、微分计算教程微分计算教程。柯西还是数理弹性理论的奠基人之一，并开创了积分几何。柯西还是数理弹性理论的奠基人之一，并开创了积分几何。柯西直到逝世前不断参加学术活动，不断发表学术论文，生命不息柯西直到逝世前不断参加学术活动，不断发表学术论文，生命不息，奋斗不止。他既是一位杰出的数学大师，也是一位多产的数学家，奋斗不止。他既是一位杰出的数学大师，也是一位多产的数学家，他的全集从，他的全集从1882年开始出版，到年开始出版，到1974年才出最后一卷，总计年才出最后一卷，总计28卷卷.
