1、基本图形探究微课学习目标“半角”模型生长探究123能识别半角基本图形，能运用半角基本图形解决相关几何问题；探索半角基本图形，掌握其图形基本特征、基本结论、基本方法；能利用条件构造半角基本图形，进一步解决相关几何问题.探究 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、DC上的点，且EAF=45.猜一猜：线段BE、DF、EF之间有什么数量关系？ EF=BE+DF想一想：证两条线段之和等于一条线段有哪些常用方法？试一试：你能找到全等三角形吗？证一证：你可以证明吗？截长补短ADFABGEAGEAF旋转一、探索发现AE=AEBAG+BAE=45=EAF，即EAG=EAF证明：如图将ADF绕点A顺时针
2、旋转90 得到ABG，由旋转可得BG=DF，AF=AG，BAG=DAF，ABG=90ABC=90,G、B、E三点共线，探究 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、DC上的点，且EAF=45.四边形ABCD为正方形，BAD=90，EAF=45，BAE+DAF=45，AGEAFE（SAS），GE=EF，GE=GB+BE=DF+BE，EF=BE+DF.EF=BE+DF一、探索发现半角模型利用旋转构造全等 解题策略：定义：由一个角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为原来角的一半这样的模型称为“半角”模型.AB=AD 1 2EAFBAD半角模型的图形特征共端点的等线段共顶点的倍半角一、探索发现
3、变式探究1 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B=D=90，点E、F分别是边BC、DC上的点，且 ，线段BE、DF、EF之间存在着怎样的数量关系？ 并说明理由.12EAFBADADF绕点A顺时针旋转得到ABG12EAFBADE、B、G三点共线三点共线AE=AEAF=AGDF=BGDAF=BAGABG=90EAF=EAGEAGEAFEF=EGEF=BE+DF半角模型利用旋转构造全等 一、探索发现一、探索发现变式探究 如图，请对四边形内的线段和角补充合适的条件，使得线段BE+DF=EF仍然成立?1. 添加怎样的条件，ADF旋转得到ABG？3. 添加怎样的条件，AEG与AEF全等？ AD=AB
4、2. 添加怎样的条件，E、B、G三点共线？D+B=180弱化弱化利用旋转构造全等 AB=AD 1 2EAFBAD共端点的等线段共顶点的倍半角对角互补 D+B=180三点共线 EF=BE+DF半角模型解题策略图形特征一、探索发现问题1 如图，四边形ABCD内接于 O,BAD=90，AB=AD,BC=8，CD=6，点E为BC的中点，且满足 ,求EF的长.12EAFBAD12EAFBADAB=ADEF=x= 5.8 C=90=xBG=DF=x-4,CF=6-(x-4)=10-x42+(10-x)2=x2半角模型EF=EG=DF+BEx410-x有半角，想模型，用旋转，构全等；求线段，想直角，用勾股，
5、建方程.二、应用体验B+D=18012EAFBAD问题2 如图，矩形ABCD的边长AB=4，AD=8，点、分别在线段BC和射线DC上若BE1，EAF=45,求DF的长.思考1.半角模型的图形特征主要有什么？半角模型的图形特征共端点的等线段共顶点的倍半角思考2.本题中已具备哪个特征呢？构造？三、拓展生长三、拓展生长12EAFBAD边相等？构造AD上截取AN4，在上截取 4，连结交于点，连 结 半角模型EG=BE+NG设NG=aEMG=90NAGDAF(4-a)2+32=(a+1)2a=2.4DF=4.8a4-a1a+13问题2 如图，矩形ABCD的边长AB=4，AD=8，点、分别在线段BC和射线
6、DC上若BE1，EAF=45,求DF的长.构造半角模型共顶点的倍半角三、拓展生长问题2 如图，矩形ABCD的边长AB=4，AD=8，点、分别在线段BC和射线DC上若BE1，EAF=45,求DF的长.12EAFBADAD=AM构造半角模型FG=MG+DF设DF=aABEAMGMG=2(8-a)2+62=(a+2)2a=4.812a8-a6a+2构造半角模型共顶点的倍半角半角模型共端点的等线段共顶点的倍半角利用旋转构造全等线段问题方程思想勾股定理图形特征解题策略四、感悟提升特殊的半角模型一般的半角模型五、自主作业2.如图2，点P是以AB为直径的半圆的中点，AB=12，C、D是直径AB上的两点，CP
7、D=45，AC=4，则CD的长为 .1. 如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、DC上的点，且EAF=45.若正方形边长为8，DF=2,则BE=_.3.如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,B+D=180，点E和点F分别在边BC和CD上，连结AE、AF、EF，且BE+DF=EF,求证：BAD=2EAF .图1图2图3五、自主作业2. 5 思路：将BPD绕点P逆时针旋转90至APE，连结CE.易证得CAE=90.1. 4.8 思路：由“半角”型基本图形结论可知：EF=BE+DF3.思路：将ADF绕点A逆时针旋转至ABG,则ADFABG，接下来证点G、B、E三点共线，再证AEGAEF,得出EAG=EAF，易得出BAD=2EAF.图1图212图3谢谢大家
