1、理科数学参考答案 第 1页（共 6页）绵阳市高中绵阳市高中 2019 级第三次诊断性考试级第三次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分DBCADABBABDC二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分132410159116192三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分17解： （1）cos2cosbAaB，由正弦定理得BAABcossin2cossin，即ABtan2tan 2 分tanC=-3，A+B+C=，2tantan3tantantan()tan()31 tantantan2ABBCABABABB，解得
2、 tanB=1 或-2tanC=-3，C 为钝角，B 为锐角，tanB=1，即4B6分（2）tanC=-3，3 10sin10C ，10cos10C 8 分A+B+C=，A =-(B+C)，sinsin()sin()sincoscossinABCBCBCBC21023 105()2102105 10 分由正弦定理CcAasinsin，得sinsincAaCc=3，5103253 10a 理科数学参考答案 第 2页（共 6页）ABC 的面积1123sin232222SacB 12 分18解： （1）1234563.506x，621()17.5iixx，61621()()8414817.5()ii
3、iiixxyybxx 3 分又144y ，14448 3.524aybx y 关于 x 的线性回归方程为4824yx 5分（2）若利用线性回归模型，可得 2022 年我国新能源乘用车的年销售量的预测值为48 724312y （万辆）7分若利用模型0.3337.71exy ，则ln3.630.33yx，即3.63 0.33exy2022 年我国新能源乘用车的年销售量的预测值为3.63 0.33 75.94ee380y（万辆）9分（3）0.710.87，且2R越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好，用模型0.3337.71exy 得到的预测值更可靠 12 分19解： （1）证明：设点 M 为
4、 BC 的中点，连接 PM，MAPMBC，且 PM=1在ABM 中，可得3MA ，且MABC，又MC/AD，且1MCAD，四边形 AMCD 为矩形，AM/CD2 分在PAM 中，可得222PAAMPM，PMMA，即PMCD又BCCD，PMBCM，直线 PM，BC 均在平面 PBC 内，理科数学参考答案 第 3页（共 6页）zyx平面CDPBC4 分又PB平面 PBC，PBCD，又PBPC，PCCDC，PBPCD 平面 6分（2）以 M 为坐标原点，分别以 MA，MC，MP 为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 M-xyz由题意得 M(0，0，0)，A(3，0，0)，P(0，0
5、，1)，B(0，1，0)，D(3，1，0)，PA (3，0，1)，PB (0，1，1)，设平面 PAB 的一个法向量为 n1=(x，y，z)300 xzyz ，不妨设3x，则 n1=(3，3，3)9 分同理可得平面 PAD 的一个法向量为 n2=(3，0，3)cos=1212122 772112n nnn11分由图可知，所求二面角的平面角为钝角，二面角 B-PA-D 的平面角的余弦值为2 7712 分20解：（1）22cea，222abc，222ab2分222|4aABb，由题意得点 A 的坐标为( 22)，代入椭圆方程得22221ab联立解得23b ，26a 椭圆 E 的方程为22163xy
6、5 分（2）联立22163，yxmxy消 y 整理得2234260 xmxm由221612(26)0mm ，解得33m 理科数学参考答案 第 4页（共 6页）由韦达定理得1243mxx ，212263mxx 7 分若存在点 P，使得| |APAB，APAB，则214()3，Py且直线 AP 的斜率为2121111141433yyxxkxx ，即211423xx 9分联立得21128170mm，解得1m或1711存在点 P 满足题意，此时1m或171112 分21解： （1）( )lnfxxa令( )0fx，解得eax，( )0fx，解得0eax函数 f(x)在区间(0e )，a上单调递减，在区
7、间(e)，a 上单调递增3 分当0 x 时，f(x)1；当x 时，f(x)=xlnx-(a+1)+1要使得 f(x)有 2 个零点，则(e )1 e0aaf ，解得 a05 分（2）( )ln1e，fxxax，ln01，xi)当 a0 时，( )0fx恒成立，函数 f(x)在区间1，e上单调递增，m= f(e)=1-ae，n= f(1)=-am-n=(1-e)a+1令 p(a)= (1-e)a+1，则函数 p(a)在区间(0，上单调递减，函数 p(a)最小值为 h(0)=1 7 分ii) 当 a1 时，( )0fx恒成立，函数 f(x)在区间1，e上单调递减m= f(1)=-a，n= f(e)
8、=1-ae，m-n=(e-1)a-1令 h(a)=(e-1)a-1，则函数 h(a)在区间1)， 上单调递增，函数 h(a)最小值为 h(1)=e-2 9 分iii) 当 0a0函数 q(a)在区间(0)， 上单调递增，函数 q(a)的最小值为1()(1)e2e 1qq，理科数学参考答案 第 5页（共 6页）11e 1e 111e()=e1=ee 1e 1e 1q11 分当10e 1a时，由 f(1)- f(e)= (e-1)a-10，m= f(e)=1-aem-n= f(e)- f(ea)=ea-ae令(a)= ea-ae，则( )eeaa0函数( )a在区间(0，1)上单调递减，1e 11
9、e( )()ee 1e 1a综上，m-n 的最小值为1e 1eee 112 分22解： （1）将直线 l 的参数方程消参，得直线 l 的普通方程为43xy222cossin，xyxy又22xyxy，2|cos|sin|，曲线 C 的极坐标方程为|cos|sin| 5 分（2）联立02|cos|sin|，解得cossin .，点 B 的坐标为(cossin)，7 分由题意得直线 l 的极坐标方程为4cossin3联立4cossin3，解得4.3(cossin )，点 A 的坐标为4()3 cossin，8 分443 cossincossin3 1sin2OAOB02 ，02 ，0sin21，11
10、121sin2，24433(1sin2 )32433OAOB，即OAOB的取值范围是2 43 3，10 分23解：当 x1 时，不等式等价于3 21x x，解得23x，综合，23x；理科数学参考答案 第 6页（共 6页）当 1x2 时，不等式等价于 1x+1，解得 x0，综合，无解；当 x2 时，不等式等价于 2x-3x+1，解得 x4，综合，x4；综上，不等式的解集为2 |43或 x xx5 分（2）证明：不等式等价于11| | | | |abababab，要证11| | | | |abababab，只要证1 |1 | | |abababab，只要证11| |abab，只要证|abab，上式显然成立，所以原不等式成立10分
