1、栏目索引总纲目录二次函数综合专题栏目索引总纲目录专题概述专题概述命题探究命题探究专题训练专题训练总纲目录总纲目录栏目索引专题概述二次函数的综合题是中考数学的必考问题,一般作为压轴题出现,常与动点、点的存在性、相似、等腰三角形、直角三角形、四边形等相结合,难度较大,是考生失分的重灾区.为攻克二次函数的压轴题,通常把二次函数大题拆分,大题小做,稳拿分.专题概述栏目索引命题探究类型一类型一 二次函数与线段、周长的综合性问题二次函数与线段、周长的综合性问题命题探究类型三类型三 二次函数与四边形的综合性问题二次函数与四边形的综合性问题类型二类型二 二次函数与三角形的综合性问题二次函数与三角形的综合性问题
2、栏目索引命题探究类型一类型一 二次函数与线段、周长的综合性问题二次函数与线段、周长的综合性问题例例1已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于点A(-2,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,3).对称轴为直线l,顶点为M,P为线段CB上的一个动点(点P不与点B,C重合),点D为抛物线上一点.(1)求抛物线和直线CB的表达式;(2)设点E为x轴上一点,且AE=CE,求点E的坐标;(3)设点G是y轴上一点,是否存在点G,使得GM+GB最小?若存在,求出点G的坐标?若不存在,请说明理由.栏目索引命题探究栏目索引命题探究解析解析(1)直线BC的表达式为y=-x+3.图1(2)如图1,点E
3、在x轴上,设点E的坐标为(e,0),则AE=2+e,34栏目索引命题探究在RtCOE中,根据勾股定理,得CE2=OC2+OE2=32+e2,AE=CE,AE2=CE2,32+e2=(2+e)2,解得e=,点E的坐标为.(3)存在点G,使得GM+GB最小.图2545,04栏目索引命题探究理由如下:由(1)可知抛物线的顶点M的坐标为,如图2,取点B关于y轴的对称点B,则点B的坐标为(-4,0),连接BM,直线BM与y轴的交点G即为所求的点,设直线BM的表达式为y=tx+s,则解得直线BM的表达式为y=x+,令x=0,得y=,点G的坐标为.271,8-40,27,8tsts27,4027.10ts2
4、74027102710270,10栏目索引命题探究栏目索引命题探究变式变式1-1(1)例1中设点S是y轴上一点,是否存在点S,使得SB-SM最大?若存在,求出点S的坐标;若不存在,请说明理由;(2)设点N是直线l上一点,是否存在点N,使得ACN的周长最小.若存在,求出点N的坐标及ACN周长的最小值;若不存在,请说明理由.栏目索引命题探究解析解析(1)存在点S.理由如下:设点S的坐标为(0,s).如图, 当点S与点B,M不在同一直线上,根据三角形三边关系,得SB-SMBM;当点S与点栏目索引命题探究M,B在同一直线上时,SB-SM=BM,SB-SMBM,且当S在BM的延长线上时,SB-SM最大,
5、最大值为BM.过M作MRy轴于点R,则MR=1,SR=SO-RO=s-,tanBSO=,=,解得s=,即当点S的坐标为时,SB-SM的值最大.278MRSRBOSO127-8s4s9290,2栏目索引命题探究(2)存在点N,使得ACN的周长最小.理由如下:如图,要使ACN的周长最小,即AC+AN+CN最小,在RtOAC中,OA=2,OC=3,由勾股定理,得AC=为定值,只需CN+AN最小,点B与点A关于直线l对称,直线BC与对称轴l的交点即为所求的点N,将x=1代入y=-x+3,得y=,点N的坐标为.在RtBOC中,由OC=3,OB=4,根据勾股定理,得BC=5,ACN周长的最小值为BC+AC
6、=5+.13349491,413栏目索引命题探究变式变式1-2(1)例1中当PDy轴时,设点P的横坐标为m,当点P到y轴的距离等于线段DP的长时,求m的值;(2)点E为x轴上任意一点,点F为y轴上任意一点,在(1)的条件下,四边形DFEP的周长是否存在最小值?若存在,求出这个四边形周长的最小值;若不存在,请说明理由.栏目索引命题探究解析解析(1)如图,过点P作PQy轴于点Q,点P在直线BC上,设点P的坐标为,点D在抛物线上,PDy轴,点D的坐标为,PD=PQ,3,-34mm233,-384mmm栏目索引命题探究-=m,3m2-4m=0,m=或m=0,点P与点C,B不重合,m0,m=.(2)存在
7、.四边形周长的最小值为+.理由如下:如图,作点D关于y轴的对称点S,作点P关于x轴的对称点T,连接ST,交y轴于点F,交x轴于点E,此时四边形DFEP的周长最小.233-384mm3-34m4343438 53栏目索引命题探究D,点D,S关于y轴对称,S,DS=,P,点P,T关于x轴对称,T,DT=-(-2)=.ST=,四边形DFEP的周长为DP+DF+EF+EP=DP+(SF+FE+ET)=DP+ST=+=4 10,3 34 10-,3 3834,234,-2310316322DSDT22816338 5310-238 53.故四边形DFEP周长的最小值为.48 5348 53栏目索引命题探
8、究类型二类型二 二次函数与三角形的综合性问题二次函数与三角形的综合性问题二次函数与三角形的综合性问题包括点的存在性问题、三角形面积的最值问题、相似三角形的问题等.栏目索引命题探究例例2(2018泰安)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(-4,0),B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,-2),连接AE.(1)求二次函数的表达式;(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点,求ADE面积的最大值;(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使AEP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有P点的坐标;若不存在,请说明理由.栏目索引命题探究栏目索引命题探究解
9、析解析(1)二次函数y=ax2+bx+c经过点A(-4,0),B(2,0),C(0,6),解得二次函数的表达式为y=-x2-x+6.16 -40,420,6,abcabcc3-,43-,26.abc3432栏目索引命题探究(2)由A(-4,0),E(0,-2),可求AE所在直线表达式为y=-x-2,过点D作DGx轴于点G,交AE于点F,过点E作EHDF,垂足为H,如图:12栏目索引命题探究设D,则F,DF=-m2-m+6-=-m2-m+8,SADE=SADF+SEDF=DFAG+DFEH=DF(AG+EH)=4DF=2=-+,当m=-时,ADE的面积取得最大值为.(3)y=-x2-x+6的对称
10、轴为直线x=-1,设P(-1,n),又E(0,-2),A(-4,0),可求PA2=9+n2,PE2=1+(n+2)2,AE2=16+4=20,当PA2=PE2时,9+n2=1+(n+2)2,解得n=1,此时P(-1,1);当PA2=AE2时,9+n2=20,解得n=,此时点P坐标为(-1,);当PE2=AE2时,1+(n+2)2=20,233,-642mmm1,-22mm34321-22m341212121223-84m m32223m5032350334321111栏目索引命题探究解得n=-2,此时点P坐标为(-1,-2).综上所述,P点的坐标为(-1,1),(-1,),(-1,-2).19
11、191119栏目索引命题探究变式变式2-1(2019聊城)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-2,0),点B(4,0),与y轴交于点C(0,8),连接BC,又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l,沿x轴正方向从O运动到B(不含O点和B点),且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P,D,E.(1)求抛物线的表达式;(2)连接AC,AP,当直线l运动时,求使得PEA和AOC相似的点P的坐标;(3)作PFBC,垂足为F,当直线l运动时,求RtPFD面积的最大值.栏目索引命题探究栏目索引命题探究解析解析(1)将点A,B,C的坐标分别代入二次函数表达式,得解得抛物线的表
12、达式为y=-x2+2x+8.(2)A(-2,0),C(0,8),OA=2,OC=8,lx轴,PEA=AOC=90,PAECAO,只有当EPA=OAC时,PEAAOC,此时=,即=,AE=4PE,设点P的纵坐标为k,则PE=k,AE=4k,4 -20,1640,8,abcabcc-1,2,8.abcAECOPEAO8AE2PE栏目索引命题探究OE=4k-2,将点P坐标(4k-2,k)代入二次函数表达式,解得k=0(舍去)或k=,则点P.(3)在RtPFD中,PFD=COB=90,ly轴,PDF=OCB,RtPFDRtBOC,=,SPFD=SBOC,而SBOC=OBOC=48=16,BC=4,SP
13、FD=SBOC=PD2,即当PD取得最大值时,SPFD最大,易求直线BC的表达式为y=-2x+8,设点P(m,-m2+2m+8),则点D(m,-2m+8),PD=-m2+2m+8+2m-8=-(m-2)2+4,当m=2时,PD的最大值为4,此时SPFD=PD2=.231615 23,4 16PFDBOCSS2PDBC2PDBC121222COBO52PDBC1515165栏目索引命题探究类型三类型三 二次函数与四边形的综合性问题二次函数与四边形的综合性问题二次函数与四边形结合的题目,主要考查综合运用知识的能力,利用二次函数的性质和特殊四边形的判定与性质,求二次函数表达式、最值和存在性等有关问题
14、.栏目索引命题探究例例3(2019东平模拟)如图,已知直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于点A,B,抛物线过A,B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PCx轴于点C,交抛物线于点D.(1)若抛物线的表达式为y=-2x2+2x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.求点M,N的坐标;是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?并说明理由;(2)当点P的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以B,P,D为顶点的三角形与AOB相似?若存在,求出满足条件的抛物线的表达式;若不存在,请说明理由.栏目索引命题探究解析解析(1)y=-2x2+2x+4=-2x- 2+,顶点M的坐标为 , ,将x=代入y=-2
15、x+4,得y=-2+4=3,点N的坐标为.不存在.理由如下:如图1,MN=-3=,1292129212121,329232栏目索引命题探究设P点坐标为(m,-2m+4),则D(m,-2m2+2m+4),PD=-2m2+2m+4-(-2m+4)=-2m2+4m,PDMN,当PD=MN时,四边形MNPD为平行四边形,即-2m2+4m=,解得m1=(舍去),m2=,此时P点坐标为 ,1,PN=,PNMN,平行四边形MNPD不为菱形,不存在点P,使四边形MNPD为菱形.(2)存在.如图2,易得OB=4,OA=2,则AB=2,当x=1时,y=-2x+4=2,则P(1,2),PB=,设抛物线的表达式为y=
16、ax2+bx+4,把A(2,0)代入,得4a+2b+4=0,解得b=-2a-2,抛物线的表达式为y=ax2-2(a+1)x+4,当x=1时,y=ax2-2(a+1)x+4=a-2a-2+4=2-a,则D(1,2-a),PD=2-a-2=-a,DCOB,DPB=OBA,当32123232221 3-(3-1)2 2522245221(2-4)5栏目索引命题探究=时,PDBBOA,即=,解得a=-2,此时抛物线的表达式为y=-2x2+2x+4.当=时,PDBBAO,即=,解得a=-,此时抛物线表达式为y=-x2+3x+4.综上所述,满足条件的抛物线的表达式为y=-2x2+2x+4或y=-x2+3x
17、+4.PDBOPBBA-4a52 5PDBAPBBO-2 5a54525252栏目索引命题探究变式变式3-1如图,直线y=-x+4与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+x+c经过B,C两点.(1)求抛物线的表达式;(2)如图,点E是直线BC上方抛物线上的一动点,当BEC面积最大时,请求出点E的坐标;23103栏目索引命题探究栏目索引命题探究解析解析(1)当x=0时,y=4,B(0,4),当y=0时,-x+4=0,x=6,C(6,0),把B(0,4)和C(6,0)代入抛物线y=ax2+x+c,得解得抛物线的表达式为y=-x2+x+4.(2)如图1,过点E作EGy轴,交直线BC于点G,
18、设Em,-m2+m+4,则Gm,-m+4,EG=-m2+m+4-m+4=-m2+4m,SBEC=EGOC=6-m2+4m=-2(m-3)2+18,-20,SBEC有最大值,此时E(3,8).231034,103660,3cac2-,34.ac231032310323231032323121223栏目索引命题探究(3)在(2)的结论下,过点E作y轴的平行线交直线BC于点M,连接AM,点Q是抛物线对称轴上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得以P,Q,A,M为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.栏目索引命题探究解析解析(3)y=-x2+x+4=- x2-
19、5x+-+4=- x- 2+.图象的对称轴是直线x=,A(-1,0).点Q是抛物线对称轴上的动点,Q的横坐标为.在抛物线上存在点P,使得以P,Q,A,M为顶点的四边形是平行四边形.如图2,以AM为边时,由(2)可得点M的坐标是(3,2),又点A的坐标是(-1,0),点Q的横坐标为,根据M到Q的平移规律,可知P的横坐标为-,P-,- ;如图3,以AM为边时,四边形AMPQ是平行四边形,M(3,2),A(-1,0),且Q的横坐标为,P的横坐标为,2310323254254235249652525232325252132栏目索引命题探究,- ;如图4,以AM为对角线时,M到Q的平移规律可得P到A的平
20、移规律,点P的坐标是-, .综上所述,在抛物线上存在点P,使得以P,Q,A,M为顶点的四边形是平行四边形,点P的坐标是或或-,.132521213635-,-22135,-2212136P栏目索引命题探究图1图2栏目索引命题探究图3图4栏目索引专题训练1.(2018日照)如图1,抛物线y=-(x-2)2+n与x轴交于点A(m-2,0)和B(2m+3,0)(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC.(1)求m,n的值;35专题训练解析解析(1)抛物线的对称轴是直线x=2,m-2+2m+3=4,解得m=1,A(-1,0),B(5,0).把A(-1,0)代入抛物线表达式,得-(9+n)=0,解得
21、n=-9,m=1,n=-9.栏目索引专题训练(2)如图2,点M,P分别为线段BC和线段OB上的动点,连接PM,PC,是否存在这样的点P,使PCM为等腰三角形、PMB为直角三角形同时成立?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.栏目索引专题训练解析解析(2)假设点P存在,设点P(x0,0)(0 x05).当点P为PMB的直角顶点时,CM=MP.MPOC,=,=,MP=(5-x0),CM=x0.则(5-x0)=x0,解得x0=,P,0.当点M为PMB的直角顶点时,则CM=MP.PMBCOB,=,PM=(5-x0),BM=(5-x0),CM=-(5-x0)=,则(5-x0)=,解得x0=,P(
22、,0).综上所述,满足条件的点P的坐标为,0或 ,0.MPOCPBOBCMCBOPOB35345353453 34-953 34-95PMCOBMOBPBBC3345343453409534x33409534x34343 34-9534栏目索引专题训练2.已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=-1,与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(-3,0),C(0,-2).(1)求这条抛物线的函数表达式;(2)已知在对称轴上存在一点P,使得PBC的周长最小.请求出点P的坐标;(3)若点D是线段OC上的一个动点(不与点O,点C重合).过点D作DEPC交x轴于点E.连接PD,PE.
23、设CD的长为m,PDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式.试说明S是否存在最大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.栏目索引专题训练栏目索引专题训练解析解析(1)由题意,得解得此抛物线的表达式为y=x2+x-2.(2)如图,连接AC,BC.-1,29 -30,-2,baa bcc2,34,3-2.abc2343栏目索引专题训练BC的长度一定,PBC周长最小,就是使PC+PB最小.B点关于对称轴的对称点是A点,AC与对称轴x=-1的交点即为所求的点P.设直线AC的表达式为y=kx+t,则解得直线AC的表达式为y=-x-2.把x=-1代入,得y=-,点P的坐标为-1,- .(3)S存在
24、最大值.DEPC,即DEAC,OEDOAC.-30,-2,ktt 2-,3-2.kt234343栏目索引专题训练=,即=,OE=3-m,AE=m,S=SOAC-SOED-SAEP-SPCD=32-3-m(2-m)-m-m1=-m2+m=-(m-1)2+.-3),则OD=t,PD=t2-t-2.设直线BP的表达式为y=kx-2,把点P代入,得kt-2=t2-t-2,k=t-.直线BP的表达式为y= t- x-2.当y=0时, t- x-2=0,解得x=.N ,0.t3,t-21.3,即点N一定在点A左侧.AN=3-=.SPBA=SABN+SANP=ANOB+ANPD=AN(OB+PD)=4,23
25、432343234323432343234323433-2t3-2t3-2t3-2t3( -3)-2tt121212栏目索引专题训练2+t2-t-2=4.解得t1=4,t2=-1(舍去).t2-t-2=-2=.点P的坐标为4,.(3)在抛物线上(AB下方)存在点M,使ABO=ABM.如图2,作点O关于直线AB的对称点E,连接OE交AB于点G,连接BE交抛物线于点M,过点E作EFy轴于点F,AB垂直平分OE.BE=OB,OG=GE.ABO=ABM.A(3,0),B(0,-2),AOB=90,OA=3,OB=2,AB=.sinOAB=,cosOAB=.123( -3)-2tt23432343323
26、16310310322OAOB13OBAB2 1313OAAB3 1313栏目索引专题训练SAOB=OAOB=ABOG,OG=.OE=2OG=.OAB+AOG=AOG+BOG=90,OAB=BOG.RtOEF中,sinBOG=,cosBOG=.EF=OE=,OF=OE=.E ,-.设直线BE表达式为y=ex-2,把点E代入,得e-2=-,解得e=-.直线BE的表达式为y=-x-2.当-x-2=x2-x-2时,解得x1=0(舍去),x2=.1212OA OBAB6 131312 1313EFOE2 1313OFOE3 13132 131324133 13133613241336132413361
27、35125125122343118栏目索引专题训练点M横坐标为,即点M到y轴的距离为.118118栏目索引专题训练5.(2019德州)如图,抛物线y=mx2-mx-4与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,与y轴交于点C,且x2-x1=.52112栏目索引专题训练(1)求抛物线的表达式;(2)若P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线上的两点,当ax1a+2,x2时,均有y1y2,求a的取值范围;(3)抛物线上一点D(1,-5),直线BD与y轴交于点E,动点M在线段BD上,当BDC=MCE时,求点M的坐标.92栏目索引专题训练解析解析(1)抛物线的表达式为y=x2-x-4.(2)由(1
28、)知,抛物线的对称轴为直线x=,则x=和x=-2关于对称轴对称,故其函数值相等,又ax1a+2,x2时,均有y1y2,结合函数图象可得解得-2a.2353549292-2,92,2aa52栏目索引专题训练(3)如图,连接BC,CM,CD,过点D作DGOE于点G,点B,C,D的坐标分别为(4,0),(0,-4),(1,-5),OB=OC=4,CG=GD=1,BC=4,CD=,故BOC,CDG均为等腰直角三角形,BCD=180-OCB-GCD=9022栏目索引专题训练,在RtBCD中,tanBDC=4,BDC=MCE,tanMCE=4,易求得直线BD的表达式为y=x-,E0,-,设点Mn,n-,过
29、点M作MFCE于点F,则MF=n,CF=OF-OC=-,tanMCE=4,解得n=,故点M ,- .BCCD4 2253203203532038353nMFCF8 5-33nn3223322310023栏目索引专题训练栏目索引专题训练6.如图,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴、y轴上,点B的坐标是(6,4),抛物线y=x2-x+c与矩形OABC的边BC和AB分别交于点D ,4和点E,连接DE.(1)求抛物线的表达式;(2)求直线DE的表达式;(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点.当PDE是以DE为底边的等腰三角形时,请直接写出点P的坐标;将BDE沿直线DE
30、翻折至BDE处,点B的对称点为点B,连接BP,请直接写出线段BP长度的最小值.1513632栏目索引专题训练解析解析(1)抛物线的表达式为y=x2-x+.(2)直线DE的表达式为y=-x+5.(3)如图1,抛物线的对称轴是直线x=-=,设P ,y,PD=PE, -2+(y-4)2= -62+(y-1)2,解得y=5,P ,5.151363452313-61256512651265123265126512栏目索引专题训练图1图2如图2,过点B作BHBC于点H,BD=6-=,BE=4-1=3,由勾股定理,得DE=,连接BB,交DE于点M,则BBDE,SBDE=3292229323 132栏目索引专
31、题训练BDBE=DEBM,BM=,BB=2BM=,BDE=HBB,DBE=BHB=90,BHBDBE,=,即=,BH=,CH=6-=,当BP对称轴时,BP最短,此时BP的值为-=.1212BD BEDE9323 1329131813BHBEBBDE3BH18133 13236133613421365124213341156栏目索引专题训练7.(2019滨州)如图1,抛物线y=-x2+x+4与y轴交于点A,与x轴交于点B,C,将直线AB绕点A逆时针旋转90,所得直线与x轴交于点D.(1)求直线AD的函数表达式;1812栏目索引专题训练(2)如图2,若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点.当点P到
32、直线AD的距离最大时,求点P的坐标和最大距离;当点P到直线AD的距离为时,求sinPAD的值.5 24栏目索引专题训练解析解析(1)直线AD的函数表达式为y=-x+4.(2)作PNx轴交直线AD于点N,如图1所示,设点P的坐标为t,-t2+t+4,则点N的坐标为(t,-t+4),PN=-t2+t+4-(-t+4)=-t2+t,PNx轴,PNy轴,OAD=PNA=45,作PHAD于点H,则PHN=90,PH=PN=-t2+t=-t2+t=-(t-6)2+,当t=6时,PH取得最大值,此时点P的坐标为6, ,即当点P到直线AD的距离最大时,点P的坐标是6, ,最大距离是.181218121832222218322163 242169 249 2452529 24栏目索引专题训练当点P到直线AD的距离为时,如图2所示,则-t2+t=,解得t1=2,t2=10,则P1的坐标为2, ,P2的坐标为10,- ,当P1的坐标为,则P1A=,sinP1AD=,当P2的坐标为,则P2A=,sinP2AD=.由上,可得sinPAD的值是或.5 242163 245 24927292,2229(2-0)-421725 241725 3434710,-2227(10-0)-422525 242522105 3434210栏目索引专题训练图1图2
