1、第二章第二章 有有 限限 域域 结结 构构1n有限域的特征有限域的特征特征的含义特征的含义无零因子含幺环的特征无零因子含幺环的特征: 0 或者素数或者素数素域：素域： Q 和和 Z/(p) = 0,1, p 1定理定理 设设F 是域是域, P 是是 F 的素域的素域.n若若char F = p, 则则 P Z/(p). n若若char F = 0, 则则 P Q.有限域的特征是素数有限域的特征是素数无限域的特征一定是无限域的特征一定是 0 吗？吗？2n有限域的元素个数有限域的元素个数n特征为特征为 p的有限域的有限域F 都是都是Fp上的有限（维数）扩张。上的有限（维数）扩张。|F | = pn
2、, n = F: Fp.n任意给定素数任意给定素数 p和正整数和正整数n, 是否一定存在是否一定存在 pn元有限域？元有限域？n如何构造有限域？如何构造有限域？3n有限域的存在性与唯一性有限域的存在性与唯一性n存在性存在性定理定理 对每个素数对每个素数 p和每个整数和每个整数n, 存在存在 pn元有限域元有限域.证明证明nq = pn, F是是xq x在在Fp上的分裂域上的分裂域.nS = a F | aq a =0nS = F.4n唯一性唯一性定理定理 设设F 是是q = pn元有限域元有限域, 则则 F 是同构于是同构于xq x在在Fp上上的分裂域的分裂域. q元有限域记为元有限域记为Fq
3、5Characterization of Finite Fieldsn子域的存在唯一性子域的存在唯一性定理定理 设设q = pn , 若若E是是Fq的子域，则的子域，则|E | = pm, 其中其中m是是n的正因子；反之的正因子；反之 ，若，若m是是n的正因子，则的正因子，则Fq 有有唯一唯一的的 pm元子域。元子域。例：例： F230的全体子域的全体子域6n设设 f(x)是是Fp上的上的 n次不可约多项式次不可约多项式nFpx中的同余关系中的同余关系a(x) b(x) mod f(x) f(x) | a(x) b(x) over Fpn任意给定的任意给定的g(x) Fpx与与Fpx中某个次数
4、小于中某个次数小于n的多项式的多项式（包括（包括0）同余）同余g(x) = f(x) q(x) + r(x), r(x) = 0 或或deg(r(x) n g(x) r(x) mod f(x)nFpx模模 f(x)的全体两两不同余的代表元为的全体两两不同余的代表元为r(x) Fpx | r(x) = 0 或或deg(r(x) n 7pnn设设 f(x)是是Fp上的上的n次不可约多项式次不可约多项式nF = r(x) Fpx | r(x) = 0 或或deg(r(x) n n多项式的加多项式的加 : g(x) + h(x)n模模 f(x)的乘法的乘法: g(x)h(x) (mod f(x)n是否
5、域？是否域？F关于加法构成群关于加法构成群F0关于乘法构成群关于乘法构成群F是是 pn元有限域元有限域8Fpx/(f(x) F n16元有限域元有限域F24nf(x) = x4 + x +1是是F2上的不可约多项式上的不可约多项式F = (0, 1, x, x+1, x2 , x2 +1, x2 +x , x2 + x +1 , x3 , x3+1 , x3 +x , x3 + x +1 , x3+ x2 , x3 + x2 +1 , x3 +x2 +x , x3 + x2 +1, +, mod f(x) )n F2x/(x4 + x +1) F9(x2 + x) + (x3 +x +1) =
6、 x3 +x2 +1 (x2 + x) (x3 +x +1) = x3 +x2 +x+1n16元有限域元有限域F24nf(x) = x4 + x +1是是F2上的不可约多项式上的不可约多项式ng(x) = x4 + x3 +1是是F2上的不可约多项式上的不可约多项式nF2x/(f(x) F2x/(g(x)n能否给出同构映射？（能否给出同构映射？（作业作业）10nFp上上n次不可约多项式的存在性次不可约多项式的存在性定理定理 记有限域记有限域Fq的全体非零元的全体非零元Fq* ，则，则Fq*关于乘法运关于乘法运算是循环群算是循环群.11nFp上上n次不可约多项式的存在性次不可约多项式的存在性定理
7、定理 记有限域记有限域Fq的全体非零元的全体非零元Fq* ，则，则Fq*关于乘法运关于乘法运算是循环群算是循环群.证明证明n n n n nord(12n) = q 112n本原元（本原元（ primitive element ）乘法群乘法群Fq*的生成元称为的生成元称为Fq中的本原元。中的本原元。Fq中有中有 (q 1)个个本原元本原元13nFp上上n次不可约多项式的存在性次不可约多项式的存在性定理定理 设有限域设有限域Fr是是Fq的扩域，则的扩域，则Fr是是Fq上的单代数扩张。上的单代数扩张。推论推论 存在存在Fp上的上的n次不可约多项式。次不可约多项式。14n不可约多项式的根不可约多项式
8、的根元素元素 Fqn在在Fq上的极小多项式上的极小多项式 : 首一首一, 不可约不可约设设 f(x)是是Fq上的上的n次不可约多项式，次不可约多项式， 是是 f(x)在在Fq扩域上扩域上的根的根 (问问: 是否有重根是否有重根?)f(x)的全体根的全体根 , q, q2, qn 1Fq( )是是qn元有限域元有限域, Fq( ) Fqn 是是 f(x)的分裂域的分裂域Fq上的上的n次不可约多项式的分裂域同构次不可约多项式的分裂域同构 Fqn 15n共轭元共轭元设设Fqm是是Fq的扩张的扩张, Fqm, 则则 , q, q2, qm 1称为称为 关关于于Fq的共轭元。的共轭元。注：注：设设 Fq
9、m, 则则 关于关于Fq的共轭元两两不同当且仅当的共轭元两两不同当且仅当 在在Fq上的极小多项式次数等于上的极小多项式次数等于m。注：若注：若d 是是m的因子的因子, 关于关于Fq共轭元的不同元素为共轭元的不同元素为 , q, q2, qd 1 , 每个元素重复每个元素重复m/d 次次.16n共轭元共轭元定理定理 设设Fqm是是Fq的扩张的扩张, Fqm, 则则 关于关于Fq的共轭元在的共轭元在乘法群乘法群Fq*中有相同的阶。中有相同的阶。推论推论 若若 Fqm是是Fqm中的本原元，则中的本原元，则 关于关于Fq的共轭元的共轭元都是都是Fqm中的本原元。中的本原元。17nFqm的的Fq-自同构
10、自同构若若 是是Fqm的自同构并且对于的自同构并且对于a Fq 有有 (a) = a, 则称则称 是是Fqm的的Fq-自同构。自同构。18nFqm的的Fq-自同构自同构定理定理 Fqm的全体不同的的全体不同的Fq-自同构为自同构为 0, 1, m 1, 其其 j( ) = qj , Fqm , 0 j m 1.证明证明n验证验证 j 是是Fqm的的Fq-自同构自同构n说明说明 0, 1, m 1两两不同两两不同n若若 是是Fqm的的Fq-自同构，则自同构，则 0, 1, m 119nFqm的的Fq-自同构自同构定理定理 Fqm的全体不同的的全体不同的Fq-自同构为自同构为 0, 1, m 1, 其其 j( ) = qj , Fqm , 0 j m 1. 0, 1, m 1是循环群，生成元为是循环群，生成元为 1Gal(Fqm/Fq) = 0, 1, m 120
