1、 高三数学一模试卷高三数学一模试卷 一、单选题一、单选题 1已知集合，则（ ） A B C D 2复数对应的点在复平面内的（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3函数的图象与函数的图象关于轴对称，则（ ） A2 B C4 D 4若点为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ） A B C D 5已知抛物线，为坐标原点，过其焦点的直线 与抛物线相交于，两点，且，则中点到轴的距离为（ ） A2 B3 C5 D6 6已知，则（ ） A B C D 7“角的终边关于原点对称”是“”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8已知是边长为的正边上的动
2、点，则的取值范围是（ ） A B C D 9已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于，若，则的渐近线方程为（ ） A B C D 10新型冠状病毒肺炎（）严重影响了人类正常的经济与社会发展我国政府对此给予了高度重视，采取了各种防范与控制措施，举国上下团结一心，疫情得到了有效控制人类与病毒的斗争将是长期的，有必要研究它们的传播规律，做到有效预防与控制，防患于未然已知某地区爆发某种传染病，当地卫生部门于 4 月 20 日起开始监控每日感染人数，若该传染病在当地的传播模型为（表示自 4 月 20 日开始 （单位：天）时刻累计感染人数，的导数表示 时刻的新增病例数，） ，根据该模型推
3、测该地区新增病例数达到顶峰的日期所在的时间段为（ ） A4 月 30 日月 2 日 B5 月 3 日月 5 日 C5 月 6 日月 8 日 D5 月 9 日月 11 日 二、填空题二、填空题 11在的展开式中，的系数为 （用数字作答） 12请举出一个各项均为正数且公差不为的等差数列，使得它的前项和满足：数列也是等差数列，则 13如图，已知四棱锥的底面是边长为的菱形，且，分别是，的中点，是线段上的动点，给出下列四个结论： ； ； 直线与底面所成角的正弦值为； 面积的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是 14下表记录了某地区一年之内的月降水量. 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1
4、1 12 月降水量/mm 58 48 53 46 56 56 51 71 56 53 64 66 根据上述统计表，该地区月降水量的中位数是 ；80%分位数是 15在中，则 ；为的中点，则的长为 三、解答题三、解答题 16已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调 （1）从条件、条件、条件中选一个作为已知，使得的解析式存在，并求出其解析式； 条件：函数的图象经过点； 条件：是的对称中心； 条件：是的对称中心. （2）根据（1）中确定的，求函数的值域 17第 24 届冬季奥林匹克运动会于 2022 年 2 月 4 日在北京、张家口盛大开幕为保障本届冬奥会顺利运行，共招募约 27 万人参与赛会志愿服务
5、赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、媒体运行与转播服务、场馆运行服务、市场开发服务、人力资源服务、技术运行服务、文化展示服务、赛会综合服务、安保服务、交通服务、其他共 12 类志愿服务 （1）甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务已知甲被分配到对外联络服务，求乙被分配到场馆运行服务的概率是多少？ （2）已知来自某中学的每名志愿者被分配到文化展示服务类的概率是，设来自该中学的 2 名志愿者被分配到文化展示服务类的人数为，求的分布列与期望； （3）2.7 万名志愿者中，岁人群占比达到，为了解志愿者对某一活动方案是否支持，通过分层抽样获得如下数据： 岁人群 其它人群 支
6、持 不支持 支持 不支持 方案 90 人 5 人 1 人 4 人 假设所有志愿者对活动方案是否支持相互独立将志愿者支持方案的概率估计值记为，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为，试比较与的大小 （结论不要求证明） 18如图，在正三棱柱中，分别是，的中点 （1）在侧棱上作出点，满足平面，并给出证明； （2）求二面角的余弦值及点到平面的距离 19已知 （1）当时，判断函数零点的个数； （2）求证：； （3）若在恒成立，求的最小值 20已知椭圆：的离心率为，长轴的右端点为 （1）求的方程； （2）直线与椭圆分别相交于两点，且，点不在直线 上. 试证明直线 过一定点，并求出此定点； 从点作垂足
7、为，点，写出的最小值（结论不要求证明） 21素数又称质数，是指在大于 的自然数中，除了 1 和它本身以外不再有其他因数的自然数早在2000 多年前，欧几里德就在几何原本中证明了素数是无限的在这之后，数学家们不断地探索素数的规律与性质，并取得了显著成果中国数学家陈景润证明了“1+2”，即“表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”，成为了哥德巴赫猜想研究上的里程碑，在国际数学界引起了轰动如何筛选出素数、判断一个数是否为素数，是古老的、基本的，但至今仍受到人们重视的问题最早的素数筛选法由古希腊的数学家提出.1934 年，一名印度数学家发明了一种素数筛选法，他构造了一个数表，具体构造的方法如
8、下：中位于第 行第列的数记为，首项为且公差为的等差数列的第项恰好为，其中；请同学们阅读以上材料，回答下列问题. （1）求； （2）证明：； （3）证明： 若在中，则不是素数； 若不在中，则是素数 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】由题意，集合， 又由集合， 所以. 故答案为：C. 【分析】 可求出集合 B，然后进行交集的运算即可. 2 【答案】B 【解析】【解答】因为，因此，复数对应的点在复平面内的第二象限. 故答案为：B. 【分析】 根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解出答案. 3 【答案】D 【解析】【解答】因为数的图象与函数的图象关于轴对称
9、，则 ，所以. 故答案为：D. 【分析】 由图像关于 y 轴对称的特点，可得 f (x)的解析式，再由对数的运算性质可得所求值. 4 【答案】C 【解析】【解答】圆的标准方程方程为，即点在圆内， 圆心，由垂径定理可知，则， 故直线的方程为，即. 故答案为：C. 【分析】 由的一般方程可得圆心为，由点 M 为弦的中点，则该点与圆心的连线垂直于直线 AB 求解其斜率，再由点斜式求得其方程. 5 【答案】B 【解析】【解答】设，由抛物线定义得：， 故中点的横坐标为 3 故答案为：B 【分析】 先设出 A, B 的坐标，根据抛物线的定义求得得到 AB 中点的横坐标，然后推出答案. 6 【答案】A 【解
10、析】【解答】，即. 故答案为：A. 【分析】利用对数函数和指数函数的性质可得答案。 7 【答案】C 【解析】【解答】若角的终边关于原点对称，则， 反之，若，则，角的终边关于原点对称 故为充要条件 故答案为：C 【分析】角的终边关于原点 O 对称，不妨设，利用特殊角的三角函数值及其充要条件的意义即可判断出答案. 8 【答案】D 【解析】【解答】由在边上运动，且为边长为 2 的正三角形， 所以，则， 由. 故答案为：D 【分析】利用平面向量的数量积进行计算即可求出 的取值范围 。 9 【答案】B 【解析】【解答】如图所示，设与圆相切于点，过作， 故， 又，则， 则， 由双曲线定义得， 即， 故渐近
11、线方程为， 故答案为：B. 【分析】设与圆相切于点，过作， 运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到 a, b 的关系，进而得到渐近线方程. 10 【答案】A 【解析】【解答】对求导得： ， 根据基本不等式得：， 当且仅当，即，即，即. 故答案为：A. 【分析】 根据已知条件，先对求导，再结合基本不等式的公式，即可求解出答案. 11 【答案】-40 【解析】【解答】由二项式定理的通项公式得：，则令，求出 . 所以的系数为：. 故答案为：-40. 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 4，求出 r 的值，即可求得的系数. 12 【答案】2n-1（答案不唯一，满足即可
12、） 【解析】【解答】，； 若为等差，则，； 若，则满足题意，此时. 故答案为：2n-1（答案不唯一，满足即可）. 【分析】根据等差数列通项的一次函数，前 n 项和的二次函数性质可知，由此可得到满足题意的 。 13 【答案】 【解析】【解答】如图： 由， 得平面，因为平面，所以，正确 计算可得,， 所以，不正确； 由线面角定义知，就是直线与底面所成的角，不正确； 由得， ， 时最小，正确 故答案为： 【分析】 通过线面垂直证明线线垂直；通过余弦定理计算可得结果；通过线面角的定义与计算可得结果；通过求 OE 的取值范围计算三角形面积的取值范围。 14 【答案】56；64 【解析】【解答】数据按从小
13、到大排序得：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71， 它的中位数为 56； ，第 10 个数是 64 故答案为：56，64 【分析】 把表中数据按照从小到大顺序排列，再求中位数和百分位数. 15 【答案】； 【解析】【解答】由正弦定理得：；，； 由余弦定理知：， 解得：或，又为最大内角，； 为中点， ，解得：. 故答案为：；. 【分析】利用正弦定理可求得 B，由余弦定理可求得 BC，再利用余弦定理得到 AD。 16 【答案】（1）解：因为在区间上单调，所以， 因为，且，解得；又因为是函数的对称轴， 所以； 若选条件：因为函数的图象经过点，所以， 因为，所以， 所
14、以，即， 当时，满足题意，故. 若选条件：因为是的对称中心，所以， 所以，此方程无解，故条件无法解出满足题意得函数解析式. 若条件：因为是的对称中心，所以， 所以，解得，所以. （2）解：由（1）知， 所以等价于， 所以，所以， 即函数的值域为：. 【解析】【分析】(1) 是函数的对称轴， 且 在区间上单调，可得 ，再依据选条件： 利用 ，求 的值，进而求，得到解析式； 若选条件： 由 是的对称中心，得， 此方程无解，故条件无法解出满足题意得函数解析式；若条件：由是的对称中心，得，可求得 f (x)的解析式； (2) 由（1）知， ，由，得，可求 f (x)值域. 17 【答案】（1）解：由已
15、知共 12 类志愿服务，甲被分配到对外联络服务，且甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中， 故乙可被分配的志愿服务共 11， 所以乙被分配到场馆运行服务的概率为； （2）解：由已知可得随机变量的可能取值为 0，1，2， 故， ， ， 分布列如下： 0 1 2 期望； （3）解：由已知得志愿者支持方案的概率估计值记为， 去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为， 故. 【解析】【分析】 (1)根据古典概型的计算公式直接计算； (2)分别计算概率并列出的 分布列，并求期望； (3)根据古典概型计算公式分别计算 与并比较大小. 18 【答案】（1）解：设的中点为，的中点为， 则，则， 平面
16、，平面，平面 （2）解：设是边的中点，是的中点， 则平面 ABC，为正三角形， 所以，两两垂直， 建立如图所示坐标系 则， ，设平面的法向量为， 所以 则， 平面的法向量为， 所以二面角的余弦值为 ，设点到平面的距离为，则 【解析】【分析】 (1)由线面平行的判定定理证明 平面； (2)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法即可求出二面角的余弦值，设点到平面的距离为， 由 ，即可求得距离. 19 【答案】（1）解：当时，在 R 上单调递增，只有一个零点； （2）证明：设，当时，所以在上单调递增，所以，所以，. （3）解：解法一：当时，由（2）得，恒成立 当时，设 在上单
17、增，由零点定理，所以在上减，不恒成立，所以的最小值为 解法二：设 当时，在单增，在恒成立 当时，设 增，由零点定理，所以 在上减，不恒成立，所以的最小值为 【解析】【分析】 （1）当 时，求导得 在 R 上单调递增 ，又因为 ，即可求出 零点的个数； （2） 设，求导得 在上单调递增 ，则 即可证明； （3） 解法一：当时，由（2）得，恒成立 ， 当时，设，判断不恒成立，即可求出的最小值；解法二：在恒成立 ，令，求导可得不恒成立，即可求出的最小值 。 20 【答案】（1）解：椭圆：的离心率为，长轴的右端点为， 可得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）解：联立方程组，整理得， 可得， 设，所
18、以， 因为，即， 可得 ， 所以，解得或， 当时，直线方程为，此时过，不符合题意（舍去） ； 当时，直线方程为，此时过，符合题意， 综上可得，直线过定点. 由题意，从点作垂足为，点， 如图所示，点落在以为直径的圆上，且圆心坐标为，半径为， 则，所以的最小值为. 【解析】【分析】(1)根据题意得出关于 a, b, c 的方程组，求得 a,b 的值，可得 的方程； (2) 联立方程组得出 ，根据 AMAN，得到，结合 ， 列出方程求得 ，即可求解出定点坐标； 根据 ADMN，得到点 D 落在以 AP 为直角的圆上，求得圆心坐标和半径，结合点与圆的最值，即可求解出 的最小值 . 21 【答案】（1）
19、解：根据题意：，. （2）证明：，公差， ， ，公差， 故 （3）证明：若在中，由（2）可知，存在，使得 ，所以不是素数 若不在中，反证法：假设为合数 不妨令，这里，皆为大于 的奇数（这是因为为奇数） 令，（其中为正整数） ， 则 由（2）得中数的通项公式，可知在中， 这与已知矛盾，所以假设不成立，从而为素数 【解析】【分析】(1)先求出 a51和 d，根据等差数列 a53 = a51 + 2d 即可求解； (2)先求 ai1和 aj1，再求出 d= 2i + 1，d=2j+1，代入等差数列公式求解即可； (3)先假设 s 在 A 中，得到 ，所以 不是素数；再假设 s 不在 A中，利用反证法, 2s + 1 为合数， 令 ，得到 可知 在中，假设不成立即可证得结论.
