1、 高三第二次质量检测数学试题高三第二次质量检测数学试题 一、单选题一、单选题 1复数的虚部为（ ） A-4 B-2 C2 D4 2一个斜边长为的等腰直角三角形绕直角边旋转一周形成的几何体的体积为（ ） A B C D 3某校高三有 1000 人参加考试，统计发现数学成绩近似服从正态分布 N(105，2)，且成绩优良（不低于 120 分）的人数为 360，则此次考试数学成绩及格（不低于 90 分）的人数约为（ ） A360 B640 C720 D780 4点在抛物线上，为焦点，直线与准线相交于点，则（ ） A B C4 D 5埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他最出名的工作是计算了
2、地球（大圆）的周长：如图，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向（这是从日光直射进该处一井内而得到证明的）.同时在亚历山大城（该处与赛伊尼几乎在同一子午线上） ，其天顶方向与太阳光线的夹角测得为 7.2.因太阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的已知骆驼一天走 100 个视距段，从亚历山大城到赛伊尼须走 50 天一般认为一个视距段等于 157 米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为（ ） A37680 千米 B39250 千米 C41200 千米 D42192 千米 6为充分感受冬奥的运动激情，领略奥运的拼搏精神，甲、乙、丙三人进行短道速滑训练已知每一场比赛甲、乙、丙获胜的概率分别为
3、， ， ，则 3 场训练赛过后，甲、乙获胜场数相同的概率为（ ） A B C D 7平面四边形 ABCD 中，AB=1，AC=，ACAB， ADC=，则的最小值为（ ） A- B-1 C- D- 8已知 ， ，c=，则（ ） Aabc Bbac Cbca Dcab0)的离心率为，左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2作不平行于坐标轴的直线交 于 A， B 两点，且ABF1的周长为 4. （1）求 的方程； （2）若 AMx轴于点 M，BNx轴于点 N，直线 AN 与 BM 交于点 C，求ABC 面积的最大值 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】, 故复数 的虚部为 2，
4、故答案为：C 【分析】根据复数的除法运算，化简 ，可得答案. 2 【答案】A 【解析】【解答】由条件可知直角边长为 1，并且旋转形成的几何体是底面半径为 1，高为 1 的圆锥， 所以几何体的体积 . 故答案为：A 【分析】由条件运用圆锥的体积公式 直接计算. 3 【答案】B 【解析】【解答】因为，所以，所以此次考试数学成绩及格（不低于 90 分）的人数约为. 故答案为：B 【分析】利用正态分布的性质可解. 4 【答案】C 【解析】【解答】由已知可得，可得，则抛物线的方程为，则点， 该抛物线的准线方程为 ， ，则直线 的方程为 ， 联立 ，可得 ，即点 ， 因此， . 故答案为：C. 【分析】求
5、出抛物线的方程，可得出点 F 的坐标，求出直线 MF 的方程，可求得点 N 的坐标，然后利用两点间的距离公式可求得结果. 5 【答案】B 【解析】【解答】由亚历山大城到赛伊尼走，则地球大圆周长的视距段为， 则 ，得 个视距段， 则地球的周长为 米 千米. 故答案为：B 【分析】依题意根据比例关系求得 x，即可求解地球周长. 6 【答案】C 【解析】【解答】解：依题意甲、乙两人均获胜 0 场，则， 甲、乙两人均获胜 1 场，则 ， 所以甲、乙获胜场数相同的概率 ； 故答案为：C 【分析】依题意分两种情况讨论，运用相互独立事件的概率公式计算可得. 7 【答案】D 【解析】【解答】由题设，可得如下示
6、意图， 所以 ， 因为 ，即 在以 中点 为圆心， 为半径的劣弧 上， 所以要使 的最小，即 最大即可， 由圆的性质知：当 为劣弧 的中点时 最大，又 AC= ， 此时 ，故 的最小值为- . 故答案为：D 【分析】由题设画出示意图，易得 且 在以中点为圆心，为半径的劣弧上，根据圆的性质可求的最小值. 8 【答案】B 【解析】【解答】 , 而 ，故 ，即 ， 又 ， 考查函数 的图象如图示： 当 时， ，即有 ， 则 ，即 ， 故 ， 故答案为：B 【分析】先利用对数的运算结合对数函数的单调性，比较 a,b 的大小，再利用函数 y=x2,y=2x的图象比较 a,c 的大小，可得答案. 9 【答
7、案】A,C 【解析】【解答】如图，连接 BD,则 ,则 所成的角即为直线 AD 与直线 B1D1所成角， 在正方形 ABCD 中， ,故直线 AD 与直线 B1D1所成角为 45，故 A 正确； 由于棱台的每条侧棱延长后会交于同一点，故直线 AA1与直线 CC1是相交直线，故 B 错误； 由 AA1平面 ABCD， 平面 ABCD，故 , 又 平面 ,故 平面 , 而 平面 ，故平面 ABB1A1平面 ，故 C 正确； 连接 AC,BD,由题意知 ,而 平面 平面 , 故 , 平面 平面 ， 故 而 平面 , 故 AD 不可能垂直于 ，即 D 错误， 故答案为：AC 【分析】根据异面直线所成的
8、角, 所成的角即为直线 AD 与直线 B1D1所成角，由此可判断 A;根据棱台的几何特征可判断 B;利用面面垂直的判定定理可判断 C;利用线面垂直可判断 ，由此判断 D. 10 【答案】A,C,D 【解析】【解答】对于 A，因为定义在 R 上的奇函数满足， 所以 ， ，所以 ， 所以 是周期为 4 的周期函数，所以 A 正确， 对于 B，当 时， ，则 ， 因为 为奇函数，所以 ， 所以 ，所以 ， 所以当 时， 为减函数，且当 时， ， 当 时， 为减函数，且当 时， ，所以 在（1，1)上不是单调递减，所以 B 错误， 对于 C，因为 是周期为 4 的周期函数，所以 ， 所以 ，即 ，所以
9、 的图象关于直线 对称，所以 C 正确， 对于 D，因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ，所以 的图象关于点 对称，即 的图象关于点（2，0)对称，所以 D 正确， 故答案为：ACD 【分析】对于 A，利用周期的定义判断，对于 B，根据题意求出 f(x)在 的解析式，然后判断，对于 C，利用函数的周期和奇函数的性质可得，从而可求得其对称轴，对于 D，利用函数的周期和奇函数的性质可得，从而可求得其对称中心. 11 【答案】B,C 【解析】【解答】当点 A 在圆内时，如图 1， 因为点 Q 在 PA 的垂直平分线上，所以 ，所以 ，又 ，所以由椭圆定义知，此时轨迹为椭圆； 当点 A 在圆外时，如图 2
10、， ，且 ，由双曲线定义可知，此时轨迹为双曲线；当点 A 在圆上时，易知点 Q 为定点，即圆心 O；当点 A 在于点 O 重合时，易知 Q 为 AP 的中点，轨迹为圆. 故答案为：BC 【分析】分点 A 在圆内、圆外、圆上、圆心，作图，结合椭圆、双曲线定义以及圆的性质可知. 12 【答案】A,B,D 【解析】【解答】因为 a1=1，所以，故 A 正确； 易知，所以 为正整数，又an是递增数列，所以 ，故 B 正确； 由递推公式得： ，又 ，所以 ， ， ，易知 ，故 C 不正确； 取倒得 ，则由累加法得 整理得 ， 又 所以 故答案为：ABD 【分析】由递推公式和 an20 可判断 A，由数列
11、递增和 a1=1 可判断 B，由递推公式知 an+1an2可判断 C，对递推公式取倒裂项，然后累加、放缩可判断 D. 13 【答案】(-,1 【解析】【解答】由，得， 所以 ， 因为 A=1，6，且 A B， 所以 ， 所以实数 a 的范围是(-,1， 故答案为：(-,1 【分析】先求出集合 B，再由 A B，可求出实数 a 的范围. 14 【答案】36 【解析】【解答】解：由题意，先将 4 个同学分成 3 组，每组人数分别为 2，1，1，然后再由这 3 组同学选择三门课程， 所以不同的选课方案种数为 ， 故答案为：36. 【分析】先将 4 个同学分成 3 组，每组人数分别为 2，1，1，然后
12、再由这 3 组同学选择三门课程，利用分组分配法即可求解. 15 【答案】y=x-1 【解析】【解答】由（） ， 分离常数 得 ， 令 ， ， 令 ， ，所以 在 上递减. 所以当 时， 递增；当 时， 递减， 所以 ，所以 ，且 . ， 所以切线方程为 y=x-1. 故答案为：y=x-1 【分析】由 分离常数 a ，结合导数求得 a 的值，进而通过切点和斜率求得切线方程. 16 【答案】；10 【解析】【解答】， ，则 ，或 ， 当 时，函数 的图象关于点 对称， ， ， 由可知，当 时， ， ，则 ，不成立， 当 时， ， ，则 ，不成立， 当 时， ， ，则 ，当 时， ，成立， 当 都不
13、成立. 当 , 时， ， ， 联立解得 ，因为 ，所以无解. 故答案为 ； 【分析】根据条件，得到 , , ，两式结合，即可求得 , 的值. 17 【答案】（1）解：在中，由正弦定理得， 整理得， 又，所以， 又因为，所以 （2）解：因为， 由余弦定理得， 即， 在中，由余弦定理得，即， 又， 联立，解得， 所以 【解析】【分析】 （1）由条件结合正弦定理可得， 然后化简可得，即可得到答案； （2）由 结合余弦定理可得，然后 ，结合 可解出 bc 的值，然后可得答案. 18 【答案】（1）解：因为是等差数列，所以， 所以，即， 设的公比为，则，即， 解得或， 因为是递增数列，所以， 所以 所以
14、，所以的公差为， 所以 （2）证明：因为， 所以 因为在和上单调递增， 所以， 所以 【解析】【分析】 （1）由等差数列的性质结合题意可得,从而可求出公比 q，则可求出 bn，由此可得 a4的值，从而可求得等差数列的公差，进而可求得 an; （2）由（1）可得 ， 利用裂项相消法可求得 Tn，再利用函数的单调性可证得结论. 19 【答案】（1）证明：因为四边形为菱形，所以， 平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，所以平面， 又平面，所以. （2）解：l 上不存在点 P，使与平面所成角为 理由如下： 取中点 D，连接，因为，所以， 又，所以为等边三角形，所以， 因为，所以，
15、又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 以 A 为原点，以方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系， ， 因为平面平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以， 假设 l 上存在一点 P，使与平面所成角为，设， 则，所以， 设为平面的一个法向量， 则，即， 令，则，可取， 又，所以， 即，此方程无解， 因此 l 上不存在点 P，使与平面所成角为 【解析】【分析】 （1）通过证明平面来证得. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法列方程，由此判断出 P 点不存在. 20 【答案】（1）解：设 y 关于 x 的回归方程为， 由表中数据及参考数据得， 所以， 所以， 所以关于的回归方程为
16、， 当时， 所以预测加工 480 个零件所花费时间为 360 分钟 （2）解：根据（1）的结果，由，解得， 当时，依题意， 利润， 所以当时，取最大值 9216 由，解得， 所以当时，依题意， 利润 所以当时，取最大值 9700 因为，所以一台机器持续加工 700 个零件时，利润最大， 此时加工时间， 即估计一台机器持续工作 492 分钟所获利润最大 【解析】【分析】 （1）首先求出，再根据参考数据求出,即可求出回归直线方程，再令x=480，求出 y 的值，即可预测加工 480 个零件所花费时间； （2）令 y360 与 y720 求出所对应的 x 的范围，分别求出利润函数，再根据二次函数的性
17、质计算可得； 21 【答案】（1）解：函数定义域为，求导得：， 当时，于是得在上单调递增， 当时，由得，由得，则在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减 （2）解：因 f(x)有两个极值点，则有有两个零点，由（1）可知时不满足条件， 当时，解得， 此时，即使得， 令，则，因此在上单调递减，在上单调递增， ，即，当且仅当时取“=”， 因此，则使得，从而有， 又，即，则有， 设，则，即在上单调递增，又，则， 令，则，即在上单调递减，因此， 所以 a 的取值范围是 【解析】【分析】 （1）求出函数 g(x)，再利用导数分类讨论求解 g(x)的单调性.
18、（2）由已知可得函数 g(x)有两个零点，探求 x2的范围，借助零点用 x2表示 a，再利用导数求解作答. 22 【答案】（1）解：由椭圆定义可知的周长为，即， 因为离心率，所以， 又因为，所以， 故的方程为 （2）解：依题意，设直线方程为 联立，得， 易知 设，则 因为轴，轴，所以 所以直线：， 直线：， 联立解得 因为， 又，则， 设，则， 当且仅当，即时，等号成立， 故面积的最大值为 【解析】【分析】 （1）由题意可得 a，再由离心率求出 c ,进而求得 b ，从而可求出椭圆方程， （2）先联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系，表示出直线 AN 和 BM 的方程，联立可求出点 C 的横坐标，从而可表示出ABC面积，换元化简后利用基本不等式可求得答案.
