1、 高三数学高三数学 1 1 月学业水平合格性考试试卷月学业水平合格性考试试卷 一、单选题一、单选题 1已知集合，则（ ） A B C D 2下列几何体中，其俯视图可以为圆的是（ ） A长方体 B圆柱 C三棱锥 D正方体 3（ ） A B C D 4已知向量，则（ ） A B C D 5函数的定义域为（ ） A B C D 6根据防疫要求，需从 2 名男医生和 1 名女医生中任选 2 名参加社区防控服务，则选中的 2 名都是男医生的概率为（ ） A B C D 7设，满足约束条件，则的最大值为（ ） A3 B4 C5 D6 8如图，在边长为 2 的正方形中随机撒 1000 粒豆子，有 250 粒
2、落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为（ ） A B1 C2 D3 9已知直线 ， ，若，则实数 （ ） A-2 B-1 C1 D2 10不等式 的解集是（ ） A B C D 11已知， ，则（ ） A B C D 12函数的图象大致为（ ） A B C D 13函数的最小值是（ ） A-1 B C D 14已知，则 a，b，c 的大小关系是（ ） A B C D 15关于函数有下列四个结论： 的图象关于原点对称；在区间上单调递增；的一个周期为；在是有四个零点 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 16若，则 . 17已知，满足，则与的夹角的余弦值为 . 18
3、在等差数列中，则 . 19ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若，则 . 20要制作一个容积为，高为的无盖长方体容器，已知该容器的底面每平方米的造价是 300元，侧面每平方米的造价是 200 元，则该容器的最低总造价为 元. 三、解答题三、解答题 21已知等比数列的前项和为，且， （1）求的通项公式； （2）若，求 22已知圆 C： （1）求圆心 C 的坐标及半径长； （2）求直线 ：被圆 C 所截得的弦 AB 的长 23如图，在三棱锥中，已知ABC和PBC均为正三角形，D 为 BC 的中点 （1）求证：平面； （2）若，求三棱锥的体积 24有人收集了 5 年中某城市的居民年收
4、入（即此城市有居民在一年内的收入总和）与某种商品的销售额的有关数据： 第年 1 2 3 4 5 年收入/亿元 32 33 34 35 36 商品销售额/万元 25 30 34 37 39 （1）求，； （2）求 y 关于 x 的回归方程； （3）如果这座城市居民的年收入达到 40 亿元，估计这种商品的销售额是多少? 附：对于一组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 25已知四个函数：， ，. （1）从上四个数选择一个函数，判断其奇偶性，并加以证明； （2）以上四个中，是否满足其图象与直线有且仅有一个公共点的函数?若存在，写出满足条件的一个函数，并证明；若不存在，说明理由. 答
5、案解析部分答案解析部分 1 【答案】D 【解析】【解答】因为， 所以， 故答案为：D 【分析】根据并集的定义进行运算可得答案。 2 【答案】B 【解析】【解答】A：长方体的俯视图为矩形，不合题设； B：圆柱的俯视图是圆，符合题设； C：三棱锥的俯视图为三角形，不合题设； D：正方体的俯视图为正方形，不合题设. 故答案为：B. 【分析】根据几何体的结构特征，逐项进行判断，可得答案。 3 【答案】D 【解析】【解答】由特殊角的三角函数值知， 故答案为：D 【分析】 运用特殊角的三角函数值和诱导公式即可化简求值. 4 【答案】C 【解析】【解答】由题设，. 故答案为：C. 【分析】由已知结合向量的坐
6、标减法运算可得答案。 5 【答案】B 【解析】【解答】， 所以的定义域为. 故答案为：B 【分析】要使得函数 f(x)有意义，需满足，从而可得出 f(x)的定义域。 6 【答案】B 【解析】【解答】解：将 2 名男医生记为， 名女医生记为 从 2 名男医生和 1 名女医生中任选 2 名参加社区防控服务，所有可能情况有： ，共 3 种 选中的 2 名都是男医生的情况为：，共 1 种 所以选中的 2 名都是男医生的概率为：. 故答案为：B. 【分析】将 2 名男医生记为， 名女医生记为，从 2 名男医生和 1 名女医生中任选 2 名参加社区防控服务，利用列举法能求出选中的 2 名都是男医生的概率.
7、 7 【答案】C 【解析】【解答】如图，作出可行域， 由可得， 由图可知当直线过点 A 时，有最大值， 由得, 所以， 故答案为：C 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案。 8 【答案】B 【解析】【解答】解：正方形的面积 4，设阴影部分的面积为 S， 随机撒 1000 粒豆子，有 250 粒落到阴影部分， 由几何槪型的概率公式进行估计得，解得， 故答案为：B 【分析】根据几何槪型的概率公式即可得答案。 9 【答案】D 【解析】【解答】因为直线 ， ，且， 所以， 故答案为：D. 【分析】 根据平行可得两条直线斜率的关
8、系，从而可得 k 的值。 10 【答案】D 【解析】【解答】， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：D 【分析】根据解一元二次不等式的方法求解，可得答案。 11 【答案】D 【解析】【解答】因为， ，, 所以. 故答案为：D 【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得的值。 12 【答案】A 【解析】【解答】由，排除 B、D，根据对应幂函数的性质，第一象限增速逐渐变慢，排除 C. 故答案为：A. 【分析】结合函数图像性质，利用函数的单调性可得答案。 13 【答案】A 【解析】【解答】解：由， 又函数的值域为， 则函数的最小值为-1. 故答案为：A. 【分析】 利用两角和的正弦函数化简函数
9、f (x)的表达式，借助正弦函数的值域，求出函数 y=f (x)的最小值。 14 【答案】C 【解析】【解答】由题设，又在定义域上递增， . 故答案为：C. 【分析】利用指数函数的单调性比较大小，可得答案。 15 【答案】A 【解析】【解答】解：对于，函数的定义域为 R，且， 所以函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故正确； 对于，当时，所以， 又因为在上单调递增，所以在上单调递增，故正确； 对于，因为，所以不是函数的周期，故不正确； 对于，在时，令，即，解得，共 3 个零点，故不正确； 综上得正确命题的编号为：， 故答案为：A 【分析】对于，由函数的定义域和，可得函数是奇函数，再由奇函
10、数的图像性质可判断；对于，当时，化简，根据正弦函数的性质可判断；对于，由，以及函数的周期性的定义可判断；对于，在时，令，解得由此可判断。 16 【答案】4 【解析】【解答】因为， 所以， 故答案为：4 【分析】由，令 x=1 可得 的值。 17 【答案】 【解析】【解答】解：设与的夹角为，因为，所以， 所以与的夹角的余弦值为 故答案为：. 【分析】设与的夹角为，已知条件结合进行计算可得与的夹角的余弦值。 18 【答案】2 【解析】【解答】是等差数列， ， 解得. 故答案为：2. 【分析】由题意利用等差数列的性质即可求出 的值 。 19 【答案】 【解析】【解答】由可得, 由正弦定理可得， 解得
11、， 故答案为： 【分析】利用正弦定理进行计算即可求出 a 的值。 20 【答案】5100 【解析】【解答】解：由题知，长方体容器的容积为，高为 所以长方体容器的底面积为 设该容器底面长为，则宽为 该容器的 4 个侧面面积为：， 设总造价为元，则 即元，当且仅当，即时，取等号. 所以该容器的最低总造价为 5100 元. 故答案为：5100. 【分析】设该容器底面长为，则宽为，总造价为元，利用基本不等式求最值可得该容器的最低总造价。 21 【答案】（1）解：设等比数列首项为，公比为， ， 所以. （2）解：. 【解析】【分析】 (1)利用等差数列的通项公式及其性质可得 的通项公式； (2)利用等差
12、数列的求和公式即可得出 n 的值. 22 【答案】（1）解：因为圆 C：，所以圆心，半径； （2）解：圆心到直线 ：的距离为， 所以直线 ：被圆 C 所截得的弦 AB 的长为， 所以直线 ：被圆 C 所截得的弦 AB 的长为. 【解析】【分析】(1)由圆的标准方程即可求圆 C 的圆心坐标和半径长； (2)利用圆心到直线的距离与半径的关系，求直线 ：被圆 C 截得的弦 AB 的长。 23 【答案】（1）证明：因为ABC和PBC为正三角形，D 为 BC 的中点， 所以, 又, 所以平面 （2）解：因为ABC和PBC为正三角形，且， 所以, 又， 所以正三角形的面积为， 所以. 【解析】【分析】 （
13、1）由已知推出 ,再根据线面垂直的判定定理可证得 平面； （2）由 结合已知条进行计算可得三棱锥的体积 24 【答案】（1）解：由表格数据，. （2）解：由题设，故， 由（1）知：， y 关于 x 的回归方程为. （3）解：由（2）知：时，万元. 【解析】【分析】 （1）根据表格数据及平均值的求法求出 ，； （2）由题设最小二乘估计公式求出参数 ，即可写出 y 关于 x 的回归方程； （3）由（2）所得回归方程，估计时 的值即可。 25 【答案】（1）解：且定义域为，为奇函数； 且定义域为 R，为奇函数； 且定义域为 R，为奇函数； 且定义域为 R，为偶函数. （2）解：对于：当时，在上递减，上递增且最小值，而当 x 0 时函数值恒为负数，故其与有两个公共点，不合题设； 对于：，易知在 R 上递增且值域为，故其与没有公共点，不合题设； 对于：根据对数型复合函数的单调性知：在 R 上递增且值域为，故其与有且仅有一个公共点，符合题设； 对于：，故其与没有公共点，不合题设； 综上，存在符合要求的函数. 【解析】【分析】 （1）由函数奇偶性的定义分别判断四个函数的奇偶性即可； （2）根据各函数的解析式，结合单调性值域，判断它们与 的交点情况，即可判断是否存在满足条件的函数。
