1、高三理数第二次联考试卷高三理数第二次联考试卷 一、单选题一、单选题 1已知集合 ， ，则 （ ） A B C D 2已知复数 ， ，则 为（ ） A1 B C2 D 3已知向量 ， ， ，若 ，则 （ ） A1 B C D2 4有四个关于三角函数的命题： ：xR， + =： x，yR， ： +2k (kZ) ： x， 其中真命题的是（ ） A， B， C， D， 5我国古代数学著作 九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，新本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箱，一头粗，一头细，在粗的一段截下一尺，重四斤：在细的一端截下一尺，重二斤，问依次每一尺各重几斤？
2、“根据已知条件，若金蕃由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A6 斤 B9 斤 C10 斤 D12 斤 6医学家们为了揭示药物在人体内吸收排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述.在该模型中，人体内药物含量 x(单位：)与给药时间 t(单位：)近似满足函数关系式，其中，k 分别称为给药速率和药物消除速率(单位：).经测试发现，当时，则该药物的消除速率 k 的值约为()（ ） A B C D 7在ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则 cosB=（ ） A B C D 8某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ） A B C D 9若 展开式的常
3、数项为 60，则 值为( ) A B C D 10已知 ，且 ，则 （ ） A B C D 11已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，且以 为直径的圆与双曲线 的渐近线在第四象限交点为 ， 交双曲线左支于 ，若 ，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 12已知为上的可导函数，且，均有，则有（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 13某“2020 年宝鸡市防震减灾科普示范学校”组织 4 名男生 6 名女生志愿者到社区进行防震减灾图片宣讲，若这些选派学生只考虑性别，则派往甲社区宣讲的 3 人中至少有 2 个男生概率为 . 14已知满足，则的最小值为 15已知函数 ，如果不等式 的解集为 ，
4、那么不等式 的解集为 . 16在三棱锥中，二面角是钝角.若三棱锥的体积为 2则三棱锥的外接球的表面积是 . 三、解答题三、解答题 17已知数列an满足 a11，Sn. （1）求数列an的通项公式； （2）若 bn(1)n1，数列bn的前 n 项和为 Tn，求 T2 021. 18如图 1 所示，梯形 ABCD 中，AD2AB2BC2CD4E 为 AD 的中点，连结 BE，AC 交于F，将ABE沿 BE 折叠，使得平面 ABE平面 BCDE（如图 2） （1）求证：AFCD； （2）求平面 AFC 与平面 ADE 所成的二面角的正弦值 19为了增强学生的身体素质，我校已经将冬天长跑作为一项制度固
5、定下来，每天大课间例行跑操.为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，高三年级特选取了 200 名学生进行了问卷调查，得到如下的列联表： 喜欢跑步 不喜欢跑步 合计 男生 80 女生 20 合计 已知在这 200 名学生中随机抽取 人抽到喜欢跑步的概率为 0.6. （1）判断是否有 90%的把握认为喜欢跑步与性别有关？ （2）从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取 8 名学生，再在这 8 人中抽取 3 人调查其喜欢的运动，用表示 3 人中女生的人数，求的分布列及数学期望 参考公式及数据：，其中. 0.50 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 0
6、.46 0.71 1.32 2.07 2.71 3.84 5.024 6.635 7.879 10.828 20已知函数（） （1）求函数的单调区间； （2）当时，证明：对任意的，. 21已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴的两个端点分别为、.短轴的两个端点分别为，.菱形的面积为，离心率. （1）求椭圆的标准方程； （2）设，经过点 M 作斜率不为 0 的直线 交椭圆 C 于 A、B 两点，若，求直线 的方程. 22平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数） ，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 （1）求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程； （2）
7、若直线与曲线、曲线在第一象限交于、两点，且，点的坐标为，求的面积 23已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若，求 a 的取值范围. 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】解：解不等式 得 ，故 ， 解不等式 得 ，故 ， 所以 。 故答案为：D. 【分析】利用一元二次不等式求解集的方法求出集合 A，再利用指数函数的单调性结合与特殊值对应的指数的大小比较，从而求出集合 B,再利用并集和补集的运算法则，从而求出集合。 【解析】【解答】由题意，复数 ， 可得 ， 则 。 故答案为：C. 【分析】利用复数的混合运算法则结合复数求模公式，进而求出复数的模。 【解析】【解答】由题设可得 ，
8、 因为 ，故 ， 解得 ， 所以 ，故 。 故答案为：B。 【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算求出向量的坐标，再利用向量垂直数量积为 0 的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出 m 的值，进而求出向量的坐标，再利用向量的模的公式求出向量的模。 【解析】【解答】，故错误； ：存在 ，使 ，故 正确； ：当 ， 时， ，此时 ，故 错误； ， ， ，故 正确 故答案为：D 【分析】利用已知条件结合全称命题和特称命题的真假性判断方法，从而找出真命题。 【解析】【解答】依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列， 设首项 ，则 ， 则 ， 由等差数列性质得 ， ， 中间三尺的重量为 9 斤。
9、故答案为：B 【分析】依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项 ，则，再利用等差数列的通项公式得出公差的值，再利用等差数列的性质结合等差数列的通项公式得出数列第三项的值，进而得出中间三尺的重量。 【解析】【解答】由题知：将，代入， 得： ，化简得 ， 即 ，解得 。 故答案为：A 【分析】由题知：将 ，代入，得出，再结合指数与对数的互化公式得出该药物的消除速率 k 的值。 【解析】【解答】 在 中， ， ， 根据余弦定理： 可得 ，即 由 故 . 故答案为：A. 【分析】根据已知条件结合余弦定理求得 ，再根据 ，即可求得答案. 【解析】【解答】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为 2
10、的等边三角形，侧面为三个边长为 2 的正方形， 则其表面积为： . 故答案为：D. 【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可. 【解析】【解答】因为 展开式的通项为 ， 令 ，则 ，所以常数项为 ，即 ，所以 . 故答案为：D 【分析】根据二项展开式的特点，结合特定项的系数，解方程，即可求出 a 的值. 【解析】【解答】 ，得 ， 即 ，解得 或 （舍去） ， 又 . 故答案为：A. 【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于 的一元二次方程，求解得出 ，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论. 【解析】【解答】 ，圆方程为 ， 由 ， 由 ， ，解得 ，即 ， 设 Q(x
11、0，y0)，由 ， ，得 ， ， 因为 在双曲线上， ， ， 解得 （ 舍去） ， 故答案为：A。 【分析】利用双曲线标准方程确定焦点的位置，从而求出焦点坐标和渐近线方程，再利用中点坐标公式结合两点求距离公式，从而求出以 为直径的圆的圆心坐标和半径长，从而求出圆的标准方程，再利用以 为直径的圆与双曲线 的渐近线在第四象限交点为 ，联立二者方程结合双曲线中 a,b,c 三者的关系式，从而求出点 P 的坐标，再利用共线向量的坐标表示结合已知条件，从而求出点 Q 的坐标，再利用点 Q 在双曲线上结合代入法，从而求出 a,c 的关系式，再利用离心率公式变形求出双曲线的离心率。 【解析】【解答】构造函数
12、 即 在 上单调递减，所以 ，同理得 。 故答案为：D 【分析】构造函数 再利用导数的运算法则得出导函数，再结合，均有得出再结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的值域，从而得出 。 【解析】【解答】解：派往甲社区宣讲的 3 人中至少有 2 个男生概率为 , 故答案为： 。 【分析】利用实际问题的已知条件结合组合数公式，再结合互斥事件加法求概率公式和古典概型求概率公式，从而求出派往甲社区宣讲的 3 人中至少有 2 个男生概率。 【解析】【解答】作出表示的可行区域，如图 可知目标函数 在点 处取得最小值， 联立 ，解得 ， 则 。 故答案为： 。 【分析】利用已知条件结合二元一次不等式组画
13、出可行域，再结合可行域找出最优解，再利用最优解求出线性目标函数的最小值。 【解析】【解答】不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为 的解为： 或 解得答案： 故答案为： 【分析】先得到不等式 的解集为 ，再确定 的解为 或 ，解得答案. 【解析】【解答】如图（1） ，取中点为，连接， 则由 ，可得： ， ， 即 即为二面角 的平面角； 又 ，所以 平面 ； 取 中点为 ，连接 ，设 ，又 所以 ，因此 ， ， 所以 ， 即 ，解得： 或 ， 当 时， ，即 ，舍去；所以 ，即 ； 如图（2） ，把三棱锥 补成长方体 ，使三棱锥 的各棱分别是面对角线，则三棱锥 的外接球即是长方体 的外接球， 设
14、， ， ， 则 ，解得 ， 因此，外接球的直径为 ， 所以四面体 的外接球的表面积是 。 故答案为：13。 【分析】取 中点为，连接，再结合等腰三角形三线合一得出，即即为二面角的平面角，进而得出直线平面，取中点为，连接，设，再利用结合勾股定理得出 AO 的长，再利用勾股定理得出OE 的长，再结合三棱锥的体积公式和已知条件得出 a 的值，再利用分类讨论的方法得出满足要求的实数 a 的值，进而得出 AC 的长，把三棱锥补成长方体，使三棱锥的各棱分别是面对角线，则三棱锥的外接球即是长方体的外接球，设，再利用勾股定理得出 x,y,z 的值，再结合勾股定理得出外接球的直径，进而得出外接球的半径，再利用球
15、的表面积公式得出四面体的外接球的表面积。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合的关系式，再结合分类讨论的方法结合检验法得出数列的通项公式。 （2）利用（1）中的数列 的通项公式得出数列bn的通项公式，再利用并项求和的方法得出数列bn的前 n 项和为 Tn，再结合代入法得出 T2 021的值。 【解析】【分析】 （1） 由题意，AEBC2，再利用 AE/BC，所以四边形 ABCE 为平行四边形且为菱形，所以 AFBE，再利用 AFBE，平面 ABE平面 BCDE 结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，所以 AF平面 BCDE，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出 AFCD。 （2） 由（
16、1）知 AF,BE,FC 两两垂直，以 ，为一组正交基底建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出平面 AFC 与平面 ADE 所成的二面角的余弦值，再结合同角三角函数基本关系式得出平面 AFC 与平面 ADE 所成的二面角的正弦值。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件填写完列联表，再利用列联表结合独立性检验的方法，进而没有把握认为喜欢跑步与性别有关。 （2） 利用已知条件结合分层抽样的方法得出不喜欢跑步的学生中女生和男生人数，进而得出随机变量 X 可能的取值，再结合组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量 X 的分布列，再利用
17、随机变量 X 的分布列结合数学期望公式得出随机变量 X 的数学期望。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的单调区间。 （2）利用 a 的值求出函数的解析式，再结合分析法证明方法证出对任意的 ，。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合椭圆的离心率公式得出 a,c 的关系式，再结合菱形的面积公式得出 a，b 的关系式，再结合椭圆中 a,b,c 三者的关系式得出 a,b,c 的值，进而得出椭圆 C的标准方程。 （2）用两种方法解题。解法一： 由 结合数量积的运算法则知，设，由向量加法的意义，知是线段的中垂线，设直线的方程为，再利
18、用两直线垂直斜率之积等于-1，设出经过 N 且与 垂直的直线为，设，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合韦达定理合代入法得出，再利用 A，B 关于直线对称，进而结合中点坐标公式得出点必在此直线上，进而得出 m 的值，从而得出所求的直线 的方程。 解法二：设 ，再利用结合向量的坐标表示以及向量的坐标运算合数量积的坐标表示，得出 ，再利用 A、B 在椭圆 C 上，结合代入法得出 和，再结合作差法得出，再利用直线的斜率不为 0，所以，将代，得出，再利用直线 经过，设直线 的方程为，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合韦达定理得，代入得出 m 的值，进而得出所求直线 的方程。 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合极坐标与直角坐标互化公式，再结合参数方程与普通方程的转化方法，进而得出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程。 （2）利用直线 与曲线、曲线在第一象限交于、两点，联立二者方程求出交点坐标，再结合和两点距离公式得出实数 k 的值，再利用点的坐标为结合三角形的面积公式得出三角形的面积。 【解析】【分析】 （1）利用 a 的值求出函数的解析式，再结合零点分段法得出绝对值不等式的解集。 （2）利用已知条件结合绝对值三角不等式，从而得出满足不等式 的实数 a 的取值范围。
