1、高三理数第二次诊断测试试卷高三理数第二次诊断测试试卷 一、单选题一、单选题 1集合，则（ ） A B C D 2已知 是虚数单位，复数满足，则的虚部是（ ） A1 B-1 C D 3为落实党中央的“三农”政策，某市组织该市所有乡镇干部进行了一期“三农”政策专题培训，并在培训结束时进行了结业考试.如图是该次考试成绩随机抽样样本的频率分布直方图.则下列关于这次考试成绩的估计错误的是（ ） A众数为 82.5 B中位数为 85 C平均数为 86 D有一半以上干部的成绩在 8090 分之间 4已知双曲线的两个顶点为，双曲线上任意一点（与不重合）都满足，的斜率之积为，则双曲线的离心率为（ ） A B C
2、 D 5物理学家和数学家牛顿（IssacNewton）提出了物体在常温下温度变化的冷却模型：设物体的初始温度是（单位：） ，环境温度是（单位：） ，且经过一定时间 （单位：）后物体的温度（单位：）满足（为正常数）.现有一杯 100热水，环境温度，冷却到40需要，那么这杯热水要从继续冷却到，还需要的时间为（ ） A B C D 6在中，的对边分别是，已知，且，则（ ） A B C D 7已知点，以为直径的圆与直线交于两点，则的面积为（ ） A B C D 8已知，将函数的图象向右平移个单位得到函数，则使得是偶函数的的最小值是（ ） A B C D 9已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体
3、积为（ ） A B C D 10已知函数，设，则的大小关系为（ ） A B C D 11已知点，抛物线的焦点是，过的直线 交抛物线于，两点，点是线段的中点，若，则直线 的斜率为（ ） A B C1 D 12三棱锥满足，则三棱锥体积的最大值为（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 13已知，则曲线在点处的切线方程为 . 14在平行四边形中，已知，则 . 152022 年冬奥会在北京延庆张家口三个区域布局赛场，北京承办所有冰上项目，延庆和张家口承办所有雪上项目.现在组委会招聘了甲在内的 4 名志愿者，准备分配到上述 3 个赛场参与赛后维护服务工作，要求每个赛场至少分到一名志愿者，则志愿者甲正
4、好分到北京赛场的概率为 . 16在数列中，且满足，则 . 三、解答题三、解答题 17铁路作为交通运输的重要组成部分，是国民经济的大动脉，在我国经济发展中发挥着重要的作用.近年来，国家持续加大对铁路行业尤其是对高速铁路的投资力度，铁路行业得到了快速发展且未来仍具有较大的增长潜力.下图是我国 2017 至 2021 年铁路营业里程折线图. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. （1）为了使运算简单，用表示年份数与 2016 的差，用表示各年的营业里程数，由折线图易知与具有较强的线性关系，试用最小二乘法求关于的回归直线方程，并预测 2022 年营业里程为多少万公里； （2）从 20
5、17 至 2021 年的五个营业里程数中随机抽取两个数，求所取得的两个数中，至少有一个超过 14 的概率. 18在，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答. 问题：已知数列的前项和为，满足_.记数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）求证：. 注：如果两个条件都选择作答，则按照第一个解答评分. 19如图 1，在梯形中，垂足为，.将沿翻折到，如图 2 所示.为线段的中点，且. （1）求证：； （2）设为线段上任意一点，当平面与平面所成锐二面角最小时，求的长. 20已知椭圆的左右焦点分别为，为的上顶点，且. （1）求的方程； （2）过坐标原点作两直线，分别交于，和，两点，直线，的
6、斜率分别为，.是否存在常数 ，使时，四边形的面积为定值？如果存在，求出 的值；如果不存在，说明理由. 21已知函数，函数. （1）若，求的最大值； （2）若恒成立，求的取值范围. 22在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线的极坐标方程为，动点在直线上，将射线按逆时针旋转得到射线，射线上一点满足，设点的轨迹为曲线. （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）直线 的极坐标方程为， 与曲线相交于点（与不重合） ，若的顶点也在曲线上，求面积的最大值，并求这时点的直角坐标. 23已知，. （1）求的最大值； （2）求证：. 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】解
7、方程得，则 故答案为：A 【分析】先求集合 A，再根据集合并集定义计算即可. 【解析】【解答】由题意，复数 z 满足， 可得， 所以 z 的虚部为-1. 故答案为：B. 【分析】根据复数的除法法则求出，即可得解. 【解析】【解答】由频率直方图知：众数为 82.5，A 正确，不符合题意； 又，即中位数为 85，B 正确，不符合题意； 由，C 错误，符合题意； 由，则有一半以上干部的成绩在 8090 分之间，D 正确，不符合题意. 故答案为：C 【分析】由频率直方图求众数、中位数、平均数，并判断在 8090 分之间 的干部占比即. 【解析】【解答】设，由， 由，所以， 可得， 所以， 即，所以，所
8、以离心率. 故答案为：B 【分析】设，根据题意直接求，再利用，即可得解. 【解析】【解答】由题意得，则 故答案为：C 【分析】根据题意代入计算即可. 【解析】【解答】， 即，解得：（舍）或， 中，根据余弦定理, 得. 故答案为：D 【分析】利用三角形内角和定理，诱导公式，二倍角公式化简已知等式可得，解方程，结合范围内角范围，可求得，进而利用余弦定理即可求解 a 的值. 【解析】【解答】根据题意可得由两点间距离公式可得直径， 中点为，即圆心为， 所以圆心到直线的距离， 根据垂径定理可得， 所以. 故答案为：C 【分析】首先根据为直径求得圆心和半径，以及圆心到直线的距离 d，再根据垂径定理得，最后
9、由三角形面积公式求解即可. 【解析】【解答】解：因为， ， ， 由题意得： 因为是偶函数， 所以，即， 因为， 所以的最小值是， 故答案为：A 【分析】由题意，利用三角恒等变换，化简的解析式，再根据函数三角函数的图象变化规律，三角函数的奇偶性，求得的最小值. 【解析】【解答】根据几何体的三视图，可知该几何体是由一个底面边长为 2，高为 2 的正三棱柱截去一个三棱锥后得到的，如图所示： 故剩余几何体的体积. 故答案为：D. 【分析】根据几何体的三视图转化为直观图，进一步求几何体的体积. 【解析】【解答】可知在上单调递增，上单调递减，且图像关于对称 ，而 可得 故答案为：A 【分析】可判断函数关于
10、 x=1 对称，且在上单调递减，从而比较三个数的大小. 【解析】【解答】解：易知直线的斜率存在，设直线方程为， 由，消去 y 得， 设， 则， 所以，又， 所以， 即，解得， 所以， 故答案为：D 【分析】由题意可知直线的斜率存在，设直线方程为，联立方程组，利用，求出 k 即可. 【解析】【解答】解：设，由题意，当三棱锥的体积最大时，必定有面面，过作于 D，即就是三棱锥的最大高， 在中， 又， 又， 令，由， 在上单调递减， 当时，即时，. 故答案为：A 【分析】设，由题意，当三棱锥的体积最大时，必定有面面，过作于 D，即就是三棱锥的最大高，结合三角形面积以及余弦定理求得PD，用 m 表示三棱
11、锥体积，即可求得其最大值. 【解析】【解答】， 当时，解得：， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 化简为：6x-9y-1=0 故答案为：6x-9y-1=0 【分析】求出函数的导函数，将代入即可得，即可求得函数的解析式，代入求得切点的纵坐标，根据直线的点斜式方程即可求得切线方程. 【解析】【解答】解：因为，所以， ， 所以 故答案为：-2 【分析】根据,可得，再代入数量积即可. 【解析】【解答】解：依题意 3 个赛场分配的志愿者人数只有 1 人、1 人、2 人这种情况，一共有种安排方法；志愿者甲分配到北京赛场有种安排方法， 故志愿者甲正好分到北京赛场的概率； 故答案为： 【分析】先求出 3
12、个赛场分配的志愿者的所有安排方法，再求出志愿者甲分配到北京赛场的安排方法，然后按照古典概型的概率计算公式求解即可. 【解析】【解答】解：因为，显然，所以，同除得，所以，所以，所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，所以 所以 故答案为： 【分析】首先对已知等式两边同除以，化简可得，从而构造出，进而求出通项公式. 【解析】【分析】 （1）根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求得线性回归方程，将 x=6 代入即可求解； （2）根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式即可求解. 【解析】【分析】 （1）中把 n 换成 n-1 得，两式作差构造新数列，从而求得的通项公式；，由得，
13、再根据与的关系即可求得的通项公式； （2）根据的通项公式求得，然后可得，用裂项相消法求得，然后求其范围即可. 【解析】【分析】 （1） 连接 ，由等腰三角形性质得，根据线面垂直的判定、性质得，由已知及勾股定理可得，再根据线面垂直的判定、性质得，最后利用线面垂直证线线垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，设并确定相关点的坐标，进而求面、的法向量，利用空间向量夹角表示二面角的余弦关于 t 的函数式，最后结合二次函数的性质求最小锐二面角对应的的长. 【解析】【分析】 （1）根据椭圆方程得，再利用即可求得椭圆方程； （2） 设：，： 联立方程组消去 y 得，解得，同理可求，再根据点到直线的距离公式以及
14、三角形面积公式得，代入即可求解. 【解析】【分析】 （1）先求函数的定义域及导函数，通过导函数判断函数的单调性从而求其最大值即可； （2）法一：利用导数判断其单调性，可得， 依据题意有：，即 ，令，利用其单调性进而得出 a 的取值范围； 法二：恒成立，转化为恒成立，令根据其单调性等价于对任意的恒成立，即可求解 a的取值范围. 【解析】【分析】 （1） 设， 根据已知条件可得，即可求得曲线C 的极坐标方程； （2） 法一： 的直角坐标方程为， 联立方程组得 点 A 的直角坐标为，由已知可设的直角坐标为， 计算点 B 到直线的距离代入面积公式即可求得面积的最大值； 法二： 由已知得，则，代入面积计算公式，通过三角函数化简求其最值以及点 B 的坐标. 【解析】【分析】 （1）法一：根据已知条件，结合基本不等式，即可求解； 法二：根据已知条件，结合柯西不等式公式，即可求解； （2）法一：根据已知条件，结合基本不等式，即可证明； 法二：根据已知条件，结合柯西不等式公式，即可证明；
