1、高三下学期理数第二次质量检测试卷高三下学期理数第二次质量检测试卷 一、单选题一、单选题 1若集合，则（ ） A B C D 2为虚数单位，若复数，则实数的值为（ ） A-1 B0 C D1 3已知都是实数，则“”是“”的（ ） A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D即不充分也不必要条件 4已知双曲线的一条渐近线与轴正半轴所成夹角为，则的离心率为（ ） A B2 C D3 5按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于 0.1%经测定，刚下课时，空气中含有 0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间 （单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该
2、教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（ ） （参考数据） A8.8 分钟 B11 分钟 C13.2 分钟 D22 分钟 6如果函数 y=3cos(2x+)的图象关于点对称，那么|的最小值为（ ） A B C D 7如图，在正方体中，E 为棱的中点，用过点的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（ ） A B C D 8在区间-2，2随机取一个数，则事件“，且”发生的概率为（ ） A B C D 9已知 ，若 ，则（ ） A B C D 10在中，角所对应的边分别为，则（ ） A B C D 11有 6 名医生到 3 个医院去作新冠肺炎治疗经验交流，则每个医院至少去一名的
3、不同分派方法种数为（ ） A216 B729 C540 D420 12已知椭圆的两焦点为，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 13若，与的夹角为，则 . 14已知倾斜角为的直线 与曲线相切，则直线 的方程是 . 15已知函数，若关于的方程在内有唯一实根，则实数的取值范围是 . 16已知正方体的棱长为 2，以 A 为球心，为半径的球面与平面 A1B1C1D1的交线长为 . 三、解答题三、解答题 17某学校共有 1000 名学生，其中男生 400 人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了 100 名学
4、生进行调查，月消费金额分布在950 元之间.根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示，将月消费金额不低于 750 元的学生称为“高消费群”. （参考公式：，其中 （1）求的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ； （2）若样本中属于“高消费群”的女生有 20 人，完成下列列联表，并判断是否有 97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？ 属于“高消费群” 不属于“高消费群” 合计 男 女 合计 18在公比为 2 的等比数列中，成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 19如图，为圆锥的顶点
5、，为底面圆心，点，在底面圆周上，且，点 C，D分别为 SB，OB 的中点 （1）求证：； （2）若圆锥的底面半径为 2，高为 4，求直线与平面所成的角的正弦值 20已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切. （1）求动圆的圆心轨迹的方程； （2）过焦点的直线 与抛物线交于两点，与圆交于两点（A，C 在 y 轴同侧） ，求证：是定值. 21已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 22在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（t 为参数） ，以 O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）设直线
6、 l 与曲线 C 交于两点，点 D 是的中点，点，求的取值范围 23设不等式的解集是，且. （1）试比较与的大小； （2）设表示数集中的最大数，证明：. 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】因为， 所以 . 故答案为：B. 【分析】先通过解一元二次不等式化简集合 A，再求交集即可. 【解析】【解答】. 故答案为：A. 【分析】根据复数的计算法则即可计算求值. 【解析】【解答】因为在是单调增函数，又， 故可得 ，则 ，故 ，满足充分性； 若 ，不妨取 ，显然 ，故 没有意义， 故必要性不成立； 综上所述，“ ”是“ ”的充分不必要条件. 故答案为：C. 【分析】利用对数函数的单调性，结合充
7、分性和必要性的讨论，即可判断和选择. 【解析】【解答】双曲线的渐近线方程为，由题意可得，则， 所以， . 故答案为：A. 【分析】求出 的值，利用双曲线的离心率公式可求得结果. 【解析】【解答】当时，解得：， 所以 ，当 ，解得 ， 所以至少需要 11 分钟. 故答案为：B 【分析】首先根据初始值，求 ，再根据不等式，利用指对互化，求 t的取值范围. 【解析】【解答】因函数 y=3cos(2x+)的图象关于点对称，则有， 于是得 ，显然 对于 是递增的， 而 时， ， ，当 时， ， ， 所以|的最小值为 . 故答案为：A 【分析】利用余弦函数的对称中心及给定条件列式，再经推理计算即可得解.
8、【解析】【解答】取中点 F，连接，平面为截面，如图所示： 进而根据三视图的概念，可得该几何体的侧视图为 C. 故答案为：C. 【分析】取 中点 F，连接平面为截面，然后即可得出侧视图. 【解析】【解答】事件“，且” 由题可知，该分段函数是一个增函数， ，此时 ， ， 所以该事件发生的概率 故答案为：D 【分析】根据已知条件，求事件 且发生时 x 的取值范围，代入几何概型计算公式，即可求出答案 【解析】【解答】因为 均为增函数，所以 是增函数，又因为 ，所以函数是奇函数， 化为 ，所以 即 . 故答案为：A 【分析】根据增函数加增函数是增函数和奇函数定义可知函数是增函数且是奇函数，即有 ，得到
9、，即可解得. 【解析】【解答】由 ，得 ， 由余弦定理得， ， ， ； 故答案为：B. 【分析】化简所给的条件得 ，用余弦定理即可求得的值. 【解析】【解答】人数进行分组共有三种情况： ； ； ， 若分组分 ，共有 ；若分组分 ，共有 ； 若分组分 ，共有 . 不同分派方法种数为 . 故答案为：C. 【分析】首先确定各医院所去医生人数，先分类： ； ； ，这样第一步把 6 名医生按这个数字分组，然后三组分到三个医院，分组中要注意平均分组和不平均分组有 【解析】【解答】解：由题意得： 设椭圆的正三角形另两边的交点分别为 ，易得 ， 故答案为：A 【分析】椭圆的正三角形另两边的交点分别为 A，B,
10、易得 ，由此建立 a，c 的齐次式，进而可的结果. 【解析】【解答】由题意，得 . 故答案为： . 【分析】利用平面向量的模长公式和数量积运算进行求解. 【解析】【解答】因为直线 的倾斜角为， 所以直线 的斜率为 1， 将曲线 求导， 得 ， ， 令 ，可得 ， 所以切点坐标为 ， 所以直线 ： ， 即 x-y-2+ln2=0， 故答案为：x-y-2+ln2=0. 【分析】由倾斜角为 可知，直线 的斜率为 1，将曲线求导，令导数等于 1，可求切点坐标，再用点斜式方程写出直线 即可. 【解析】【解答】令，得或， 解得 ，且 ， 所以较小的实数根为 、 ； 因为 ，所以 ， 若关于 的方程 在 内
11、有唯一实根， 则 ，即实数 的取值范围是 . 故答案为： . 【分析】先利用分段函数求出函数 的零点，再利用、与区间的包含关系进行求解. 【解析】【解答】由题意知. 如图，在平面 A1B1C1D1内任取一点 P，使 ，则 ， 故以 A 为球心， 为半径的球面与平面 A1B1C1D1的交线是以 为圆心，以 2 为半径的圆弧 B1PD1， 故该交线长为 . 故答案为： 【分析】在平面 内任取一点 P，使，求出，所以交线是以为圆心，以 2 为半径的圆弧 B1PD1，即得解. 【解析】【分析】 （1）利用概率之和为“1”求，利用组距的中间值乘以频率得到平均数； （2）结合分层抽样以及频率分布直方图完成
12、联表，计算 进行判断. 【解析】【分析】 （1）根据等比数列的通项公式，结合等差数列的性质进行求解即可； （2）运用裂项相消法进行求解即可. 【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理和线面垂直的性质定理即可证明； 建立空间直角坐标系，结合向量的数量积运算求出直线 AC 与平面 SOA 所成的角的正弦值 【解析】【分析】 （1）利用抛物线的定义先判定动点的轨迹形状，再求其标准方程； （2）设出直线方程，联立直线和抛物线方程，得到关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系、抛物线的定义进行证明. 【解析】【分析】 （1）先求出函数的定义域，再对函数求导，然后分和两种情况通过判断导数的正负，可求出函数的单调区间; （2）将问题转化为 对恒成立，构造函数，求其最小值，而，所以在上单调递减，再次将问题转化为，即在恒成立，求出的最小值即可. 【解析】【分析】 （1）利用极坐标与平面直角坐标之间的转换关系，可以求得曲线的平面直角坐标方程； （2）将直线的参数方程（t 为参数）代入 中，得到，利用直线参数方程中参数的几何意义，得到，利用，从而求得结果. 【解析】【分析】先由绝对值不等式，得到； （1）利用作差法比较大小，即可得出结果； （2）根据题意，得到 ，推出，根据基本不等式，即可证明结论成立.
