1、 教学质量监控试卷教学质量监控试卷 一、单选题一、单选题 1设集合 则 （ ） A B C D 2复数（i 为虚数单位）的虚部是（ ） A-1 B1 C-i Di 3为促进精准扶贫，某县计划引进一批果树树苗免费提供给贫困户种植.为了解果树树苗的生长情况，现从甲、乙两个品种中各随机抽取了 100 株，进行高度测量，并将高度数据制作成了如图所示的频率分布直方图.由频率分布直方图求得甲、乙两个品种高度的平均值都是 66.5，用样本估计总体，则下列描述正确的是（ ） A甲品种的平均高度高于乙品种，且乙品种比甲品种长的整齐 B乙品种的平均高度高于甲品种，且甲品种比乙品种长的整齐 C甲、乙品种的平均高度差
2、不多，且甲品种比乙品种长的整齐 D甲、乙品种的平均高度差不多，且乙品种比甲品种长的整齐 4与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ） A B C D 5已知 ，则 的大小关系为（ ） A B C D 6甲、乙、丙、丁四位同学一起去找老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有位优秀，位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（ ） A乙、丁可以知道自己的成绩 B乙、丁可以知道对方的成绩 C乙可以知道四人的成绩 D丁可以知道四人的成绩 7函数 的图象可能是（ ） A B C D 8的展开式中，的系数为（ ） A40
3、B-40 C80 D-80 9已知直三棱柱 的顶点都在球 上，且 ， ， ，则此直三棱柱的外接球 的表面积是（ ） A25 B50 C100 D 10希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学.特别是与“月牙形”有关的问题.如图所示.阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，则该月牙形的面积为（ ） A B C D 11在等差数列 中， ， 记 ，则数列 （ ） A有最大项，有最小项 B有最大项，无最小项 C无最大项，有最小项 D无最大项，无最小项 12已知定义在上的偶函数（其中为自然对数的底数） ，记，则，的大小关系是（
4、 ） A B C D 二、填空题二、填空题 13给出下列命题： 若同向，则有； 与表示的意义相同； 若不共线，则有； 恒成立； 对任意两个向量，总有； 若三向量满足，则此三向量围成一个三角形 其中正确的命题是 （填序号） 14若 ,则 . 15为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积 16如图，正方体的棱长为 1，分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱，交于，.设，给出以下四个结论：平面平面； 当且仅当时，四边形的面积最小； 四边形的周长，是单调函数；四棱锥的体积在上先减后增.其中正确命题的序号是 三、解答题三、解答题 17已知数列 的前 n 项和为 ,且 , ,数列 满足 ， .
5、（1）求 和 的通项公式； （2）求数列 的前 n 项和 . 18如图，在正四棱锥中，为上的四等分点，即 （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值 19已知双曲线 E：1（a0，b0）的右焦点为 F，离心率 e2，直线 l：x与 E 的一条渐近线交于 Q，与 x 轴交于 P，且|FQ| （1）求 E 的方程； （2）过 F 的直线交 E 的右支于 A，B 两点，求证：PF 平分APB 20已知火龙果的甜度一般在 1120 度之间，现某火龙果种植基地对在新、旧施肥方法下种植的火龙果的甜度作对比，从新、旧施肥方法下种植的火龙果中各随机抽取了 100 个火龙果，根据水果甜度（单
6、位：度）进行分组，若按，分组，旧施肥方法下的火龙果的甜度的频率分布直方图与新施肥方法下的火龙果的甜度的频数分布表如下所示，若规定甜度不低于 15 度为“超甜果”，其他为“非超甜果” 甜度 频数 5 8 12 10 16 14 18 12 5 新施肥方法下的火龙果的甜度的频数分布表 附： 0.025 0.010 0.005 5.024 6.635 7.879 ，其中 （1）设两种施肥方法下的火龙果的甜度相互独立，记表示事件：“旧施肥方法下的火龙果的甜度低于 15 度，新施肥方法下的火龙果的甜度不低于 15 度”，以样本估计总体，求事件的概率 （2）根据上述样本数据，列出列联表，并判断是否有 99
7、.5%的把握认为是否为“超甜果”与施肥方法有关？ （3）以样本估计总体，若从旧施肥方法下的 100 个火龙果中按“超甜果”与“非超甜果”的标准划分，采用分层抽样的方法抽取 5 个，再从这 5 个火龙果中随机抽取 2 个，设“超甜果”的个数为，求随机变量的分布列及数学期望 21设函数 （1）若 在 处取得极值，求 a 的值； （2）若 在 上单调递减，求 a 的取值范围 22在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系. （1）求曲线的极坐标方程； （2）在极坐标系中，是曲线上的两点，若，求的最大值. 23已知函数 （1）若，求不
8、等式的解集； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】 或 ，则 故答案为：C 【分析】联立方程组求解，用列举法表示即可得 2 【答案】A 【解析】【解答】因为， 所以复数的虚部为-1。 故答案为：A 【分析】利用已知条件结合复数乘除法运算法则求出复数 z，再利用复数的虚部的定义，从而求出复数 z 的虚部。 3 【答案】D 【解析】【解答】由题知，甲、乙两个品种高度的平均值相同均为 66.5，即甲、乙品种的平均高度差不多，从频率分布直方图可以看出乙品种比甲品种高度更集中，长的整齐. 故答案为：D. 【分析】利用已知条件结合频率
9、分布直方图求平均数公式得出甲、乙两个品种高度的平均值，再利用平均数求方差公式，进而得出甲、乙品种的平均高度差不多，且乙品种比甲品种长的整齐 。 4 【答案】C 【解析】【解答】椭圆的焦点坐标为，设双曲线的标准方程为， 由双曲线的定义可得 ， ， ， ， 因此，双曲线的方程为 。 故答案为：C. 【分析】利用已知条件结合椭圆的标准方程求出焦点的方法得出双曲线的焦点坐标，进而得出 c 的值，再利用代入法得出 a,b 的关系式，再结合双曲线中 a,b,c 的关系式，从而得出 a,b 的值，进而得出双曲线的标准方程。 5 【答案】A 【解析】 【解答】 ， ， 且 故 故答案为：A 【分析】利用对数和
10、指数的运算性质，找出中间特殊值，确定 的大小关系即可。 6 【答案】A 【解析】【解答】由于个人中的成绩中有位优秀，位良好， 甲知道乙、丙的成绩，还是不知道自己的成绩，则乙、丙的成绩必有 位优秀、 位良好， 甲、丁的成绩中必有 位优秀、 位良好， 因为给乙看丙的成绩，则乙必然知道自己的成绩，丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩. 故答案为：A. 【分析】利用已知条件结合演绎推理的方法，进而得出乙、丁可以知道自己的成绩。 7 【答案】B 【解析】【解答】因为 ， 所以 的图象关于 对称， 又 ， 故答案为：B 【分析】由 得出 的图象关于 对称，再根据 的图象关于 对称即可得出答案。 8 【答案
11、】D 【解析】【解答】因为的展开式为， 令，所以的系数为。 故答案为：D. 【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出 的系数 。 9 【答案】C 【解析】【解答】如图所示： 设点 为 外接圆的圆心， 因为 ， 所以 ，又 ， 所以 是等边三角形， 所以 ， 又直三棱柱 的顶点都在球 上， 所以外接球的半径为 ， 所以直三棱柱的外接球 的表面积是 ， 故答案为：C 【分析】根据题意首先由三棱柱体和球的关系求出球的半径，然后再由球的表面积公式代入数值计算出结果即可。 10 【答案】A 【解析】【解答】由已知可得 ， 的外接圆半径为 1.由题意，内侧圆弧为 的外接
12、圆的一部分，且其对应的圆心角为 ，则弓形 的面积为 ，外侧的圆弧以 为直径，所以半圆 的面积为 ，则月牙形的面积为 。 故答案为：A 【分析】由已知可得 AB 的长，再利用正弦函数的定义得出三角形 的外接圆半径，由题意，内侧圆弧为 的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为 ，再利用扇形的面积公式和三角形的面积公式，再结合作差法得出弓形 的面积，再利用外侧的圆弧以 为直径结合圆的面积公式，进而结合半圆与圆的面积关系，进而得出半圆 的面积，再结合作差法得出月牙形的面积。 11 【答案】B 【解析】【解答】由题意可知，等差数列的公差 ， 则其通项公式为： ， 注意到 ， 且由 可知 ， 由 可知数列 不
13、存在最小项， 由于 ， 故数列 中的正项只有有限项： ， . 故数列 中存在最大项，且最大项为 . 故答案为：B. 【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项. 12 【答案】A 【解析】【解答】由定义在上的偶函数，可得 即 ，解得 所以 当 时， 单调递增， 单调递减， 所以 在 上单调递增 因为 ， ， 所以 ，且都属于 所以 ，即 故答案为：A. 【分析】利用已知条件结合偶函数的定义和函数的单调性，进而比较出 a,b,c 的大小。 13 【答案】 【解析】【解答】对于，若同向，则与同向，所以，故正确； 对于， 与 前者表示向量，
14、后者表示向量模的和，表示的意义不相同，故不正确； 对于，若 不共线，则有 ，故不正确； 对于，若 ，则 ，故不正确； 对于，对任意两个向量 ，总有 ，故正确； 对于，若三向量 满足 ，若 中有零向量，则此三向量不能围成一个三角形，故不正确 故答案为： 【分析】利用已知条件结合三角形法则和同向向量的定义、向量求模公式以及向量的模的性质，再结合三向量 满足，若中有零向量，则此三向量不能围成一个三角形，从而找出正确命题的序号。 14 【答案】 【解析】【解答】解：. 故答案为 . 【分析】利用两角差的正切公式展开即可. 15 【答案】 【解析】【解答】抛物线 的方程为，可得，得焦点 设 ,根据抛物线
15、的定义，得 ， 即 ，解得 ， 点 在抛物线 上，得 n2=4 3 =24， , ， 的面积为 。 故答案为 。 【分析】利用抛物线的标准方程求出焦点 F 的坐标，设 ,根据抛物线的定义和已知条件得出 m 的值，再利用点在抛物线 上结合代入法得出 n 的值，再利用两点距离公式结合三角形的面积公式，进而得出三角形的面积。 16 【答案】 【解析】【解答】对于：连接， 则由正方体的性质可知， 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ，故正确； 对于：连接 ，因为 平面 ，所以 ，所以四边形 是菱形四边形 的面积 ，四边形 的对角线 是固定的， ，所以当且仅当 时，四边形 的面积最小，故正确； 对于：因
16、为 ，所以四边形 是菱形当 时， 的长度由大变小；当 时， 的长度由小变大所以函数 不单调故错误； 对于：四棱锥分割为两个小三棱锥，它们以 为底，以 ， 分别为顶点的两个小棱锥 因为三角形 的面积是个常数 ， 到平面 的距离是个常数，所以四棱锥 的体积 为常值函数，故错误 故答案为：. 【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征和中点的性质，再结合面面垂直的判定定理证出面面垂直，所以平面 平面；再利用三角形的面积公式求和得出四边形的面积的方法，再结合二次函数的图像求最值的方法，从而得出四边形的面积最小值和对应的 x 的值；再结合四边形的周长公式和，所以四边形是菱形，当时，的长度由大变小；当时，的
17、长度由小变大所以函数不单调；再利用四棱锥分割为两个小三棱锥，它们以为底，以，分别为顶点的两个小棱，再利用三角形的面积是个常数结合三角形的面积公式得出，到平面的距离是个常数，再结合四棱锥的体积公式得出四棱锥的体积为常值函数，进而找出正确命题的序号。 17 【答案】（1）解： ，当 时， . 当 时， . 时， 满足上式， . 又 ， ，解得： . 故 ， ， . （2）解： ， ， 由-得： ， . 【解析】【分析】 （1）求数列 的通项公式主要利用 求解，分情况求解后要验证 是否满足 的通项公式，将求得的 代入 整理即可得到 的通项公式； （2）整理数列 的通项公式得 ，依据特点采用错位相减法
18、求和 18 【答案】（1）证明：由 由 因为是正四棱锥，故 于是， 由余弦定理，在中，设 再用余弦定理，在中， 是直角， 同理，而在平面上， 平面平面 （2）解：以为原点建立直角坐标系，如图： 则 设面的法向量为，的法向量为 则 ，取 于是，二面角的余弦值为： 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合正四棱锥的结构特征，得出，的长，设，由余弦定理得出的值，再用余弦定理结合勾股定理得出，同理，再利用线线垂直证出线面垂直，再结合线面垂直证出面面垂直，从而证出平面平面。 （2） 以 为原点建立直角坐标系， 从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出平面与平面
19、所成锐二面角的余弦值。 19 【答案】（1）解：不妨设直线 l：x与 E 的一条渐近线交于 Q，则 由得 yQ， 又 PFc， |FQ|2（）2+（）2b23， ， 又离心率 e2，a1 E 的方程为： （2）证明：设过点 F 得直线方程为：xmy+2，A（x1，y1） ，B（x2，y2） 联立，可得（3m21）y2+12my+90， 则， 过 F 的直线交 E 的右支于 A，B 两点，y1y20， 可得m， 又 P（，0） ， kPA+kPB， 2my1y2+ kPA+kPB0， PF 平分APB 【解析】【分析】 （1） 不妨设直线 l：x与 E 的一条渐近线交于 Q，再联立二者方程求出交
20、点 Q 的纵坐标，则，再利用两点距离公式得出 PF，再结合勾股定理得出 b 的值，再利用双曲线的离心率公式结合已知条件，再结合双曲线中 a,b,c 三者的关系式得出 a 的值，进而得出双曲线 E 的标准方程。 （2） 设过点 F 得直线方程为：xmy+2，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合韦达定理得出，再利用过 F 的直线交 E 的右支于 A，B 两点，所以 y1y20，进而得出实数 m 的取值范围，再利用点 P 的坐标结合两点求斜率公式和求和法，得出,进而证出 PF 平分APB。 20 【答案】（1）解：记表示事件：“旧施肥方法下的火龙果的甜度低
21、于 15 度”，表示事件：“新施肥方法下的火龙果的甜度不低于 15 度”，则有由频率分布直方图可知旧施肥方法下的火龙果的甜度低于 15 度的频率为 由频数分布表可知新施肥方法下的火龙果的甜度不低于 15 度的频率为 故事件的概率为 （2）解：依题意可得到列联表 非超甜果 超甜果 合计 旧施肥方法 60 40 100 新施肥方法 35 65 100 合计 95 105 200 ， 故有 99.5%的把握认为是否为“超甜果”与施肥方法有关 （3）解：旧施肥方法下的 100 个火龙果中，“非超甜果”为 60 个，“超甜果”为 40 个，按分层抽样的方法随机抽取 5 个，则抽取的“非超甜果”为 3 个
22、，“超甜果”为 2 个，所以随机变量的所有可能取值为 0，1，2， ， ， ， 随机变量的分布列为 0 1 2 数学期望 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合频率分布直方图中各矩形的面积等于各小组的频率，再结合求和法得出旧施肥方法下的火龙果的甜度低于 15 度的频率和新施肥方法下的火龙果的甜度不低于 15度的频率，再结合独立事件求概率公式得出事件的概率。 （2） 依题意可得到 列联表，再利用列联表中的数据结合独立性检验的方法，得出有99.5%的把握认为是否为“超甜果”与施肥方法有关。 （3) 利用已知条件结合分层抽样的方法抽取出“非超甜果”和超甜果”的个数，进而得出随机变量 的所有可能取值
23、，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，得出随机变量 X 的分布列，再结合随机变量 X 的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量 X 的数学期望。 21 【答案】（1）解： ,则 , 因为 在 处取得极值, 所以 ,解得 , 经检验,当 时, 在 处取得极值; （2）解：因为 在 上单调递减, 所以 对 恒成立, 则 对 恒成立, 当 时, , ,即 a 的取值范围为 . 【解析】【分析】(1)首先求出函数 f(x)的导函数，再把 x=3 代入到导函数的解析式得到计算出 a 的值即可。 (2)根据题意首先对原函数求导结合题意得到对恒成立，利用一元二次方程图象的性质对对称轴的位置进行讨论，得到
24、对即可得到，由此得出 a 的取值范围。 22 【答案】（1）解：将曲线的参数方程化为普通方程为： 即： 根据，可得： ， 所以， 所以曲线的极坐标方程为： （2）解：设， 则， 当时， 【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合参数方程与普通方程转化方法以及极坐标与直角坐标互化公式，得出曲线的极坐标方程。 （2） 设 ，再利用两点距离公式结合求和法，再结合两角和的正弦公式和辅助角公式，化简函数为正弦型函数，即，再利用正弦型函数的图像求最值的方法，进而得出的最大值。 23 【答案】（1）解：依题意， 若，原式化为，解得； 若，原式化为，解得； 综上所述，不等式的解集为 （2）解：依题意， 由，故上式化为， 故， 而，当且仅当时等号成立， 故， 即实数的取值范围为 【解析】【分析】 （1）利用 m 的值求出函数的解析式，再利用绝对值不等式求解集的方法，从而得出不等式的解集。 （2） 依题意结合不等式恒成立问题求解方法，得出 ，再利用均值不等式求最值的方法得出实数的取值范围。
