1、 高三理数仿真试卷高三理数仿真试卷 一、单选题一、单选题 1已知集合，则中元素的个数为（ ） A2 B3 C4 D5 2若复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知向量，若，则（ ） A B C D 4若，则（ ） A B C D 5下列函数在定义域内是增函数的为（ ） A B C D 6已知点满足，点是圆上一动点，则的取值范围为（ ） A B C D 72018 年平昌冬季奥运会于 2 月 9 日2 月 25 日举行，为了解奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比例 P，某学生设计了如下的计算机模拟，通过计算机模拟长为 8，
2、宽为 5 的长方形内随机取了 N 个点，经统计落入五环及其内部的点数为，圆环半径为 1，如图，则比值的近似值为（ ） A B C D 8已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若恒成立，则的取值范围是（ ） A B C D 9我国古代名著庄子天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取 7 天后所剩木棍的长度（单位：尺） ，则处可分别填入的是（ ） A B C D 10已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为 1，抛物线的准线过双曲线的左焦点，则抛物线上的动点到点距离的最小值
3、是（ ） A5 B4 C D 11三棱锥的体积为，底面，且的面积为 4，三边的乘积为 16，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A4 B8 C16 D32 12若存在两个正数，使得不等式成立，其中， 为自然对数的底数，则实数的取值范围为（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 13 的展开式中， 的系数是 14甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试，考试成绩采用等级制（分为 三个层次） ，得 的同学直接进入第二轮考试从评委处得知，三名同学中只有一人获得 三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下： 甲说：看丙的状态，他只能得 或 ； 乙说：我肯定得 ； 丙说：今天我的确没有发挥好，
4、我赞同甲的预测 事实证明：在这三名同学中，只有一人的预测不准确，那么得 的同学是 15已知函数，则不等式的解集为 . 16在中，为的中点，则面积的最大值为 . 三、解答题三、解答题 17已知数列的前项和为，其中，数列满足 （1）求数列，的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 18某市在对高三学生的 4 月理科数学调研测试的数据统计显示，全市 10000 名学生的成绩服从正态分布，现从甲校 100 分以上的 200 份试卷中用系统抽样的方法抽取了 20 份试卷来分析，统计如下表： （表中试卷编号） 试卷编号 试卷得分 109 118 112 114 126 128 127 124 12
5、6 120 试卷编号 试卷得分 135 138 135 137 135 139 142 144 148 150 （1）列出表中试卷得分为 126 分的试卷编号（写出具体数据） ； （2）该市又从乙校中也用系统抽样的方法抽取了 20 份试卷，将甲乙两校这 40 份试卷的得分制作了茎叶图（如图） ，从甲校 20 份试卷中任取 1 份，从乙校 20 份试卷中任取 1 份，求甲校试卷得分低于 120 分，乙校试卷得分不低于 120 分的概率； （3）在第（2）问的前提下，从甲乙两校这 40 份试卷中，从成绩在 140 分以上（含 140 分）的试卷中任意抽取 3 份，该 3 份成绩在全市前 15 名的
6、份数记为 ，求 的分布列和期望. （附：若随机变量 X 服从正态分布则 P（-X+）=68.3%，P（-2X+2）=95.4%，P（-3X+3）=99.7%） 19如图一，等腰直角三角形 ABC 的底边，点在线段上，于，现将沿 DE 折起到的位置（如图 2）. （1）求证：； （2）若，直线 PD 与平面所成的角为，求平面 PDE 与平面所成锐二面角的余弦值. 20已知，曲线上的任意一点满足：. （1）求点的轨迹方程； （2）过点的直线与曲线交于，两点，交轴于点，设，试问是否为定值？如果是定值，请求出这个定值，如果不是定值，请说明理由. 21已知函数 （1）讨论函数零点的个数； （2）对任意的
7、恒成立，求实数的取值范围. 22在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数） ，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标为. （1）求曲线的极坐标方程； （2）若点在曲线上，求的面积. 23已知函数. （1）当时，解不等式； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】由 得： ，所以 ，又 ，令 ，解得： ， ，当 时， ，当 时， ，当 时， ，故 中元素的个数为 3. 故答案为：B 【分析】解不等式求出 ，从而得到不等式组，求出 k 的值，进而得到 中的元素，求出答案. 【解析】【解答】 ，则 ，对应的点 在第一象限
8、. 故答案为：A. 【分析】先求出 ，再求出共轭复数 ，判断出在第一象限. 【解析】【解答】解：因为 ， ， ， 所以 ，解得 . 所以 所以 . 故答案为：C 【分析】由向量垂直的坐标关系得 ，进而 ，再求模即可得答案. 【解析】【解答】 ， ， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ，因此 ， 故答案为：B 【分析】根据对数的运算公式，结合指数函数和对数函数的单调性进行判断即可. 【解析】【解答】A，函数 在 分别单调递增，但在定义域 内不是增函数，A 不符合题意； B，函数 在 单调递增，在 单调递减，B 不符合题意； C，令 ， ，由复合函数单调性， 在 单调递增， 在 单调递减，在 单调递
9、增，故函数 在 单调递减，在 单调递增，C 不符合题意； D，由指数函数单调性，函数 在定义域 R 上单调递增，D 符合题意 故答案为：D 【分析】由反比例函数、二次函数、指数函数单调性可判断 ABD，根据复合函数单调性可判断 C. 【解析】【解答】画出可行域，如图所示， 其中 ， ，点 N 为 与圆的交点（靠近 A 的交点） ，点 M 与点 A 重合时， 取得最小值，此时 ，连接 OB 并延长，交圆于点 ，且点 B 与 M 重合时， 取得最大值，此时 ，故 的取值范围是 . 故答案为：B 【分析】画出可行域，利用几何意义及数形结合求出最大值与最小值，求出取值范围. 【解析】【解答】设奥运五环
10、所占的面积为 ，矩形的面积为 ， 由在长方形内随机取了 个点，经统计落入五环及其内部的点数为 ， 得 ，则 ， 又单独五个圆环的面积为 ， 所以奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比例为 ， 故答案为：C 【分析】由随机模拟方法求得奥运五环所占的面积，求出五个圆的面积，即可求解. 【解析】【解答】解：函数 ，其图象与直线 相邻两个交点的距离为 ， 故函数的周期为 ，故 ， 若 对 恒成立，即当 时， 恒成立， 所以 ，解得 因为 ，所以 . 故答案为：D 【分析】由题意可得函数的周期为 ，求得 再根据当 时 恒成立，即 ，再结合 求得 的取值范围 【解析】【解答】算法为循环结构，循环 7 次
11、，每次对长度折半计算，也就是 ，因此填 ，又填判断语句，需填 ，填 . 故答案为：D. 【分析】此算法为循环结构，共循环 7 次，故处填判断语句，填取半计算，填循环控制变量的变化方式. 【解析】【解答】双曲线 的右焦点 到其一条渐近线的距离为 1，可得到 ， ， 抛物线 设抛物线上的点为 当 x=1 时，有最小值 . 故答案为：D 【分析】求出抛物线的方程，利用两点间距离公式，结合二次函数，即可求抛物线上点到 的距离最小值. 【解析】【解答】三棱锥的体积为 且 的面积为 4，由 底面 ，所以球心到底面 的外接圆圆心的距离为 1，另 ， ，两式相除，由正弦定理知底面 的外接圆半径为 1，所以三棱
12、锥 的外接球的半径为 ，表面积为 ， 故答案为：B. 【分析】根据已知条件可得三棱锥的高为 2，由 底面 ，所以球心到底面 的外接圆圆心的距离为 1，结合正弦定理的外接球的半径为 ，最后计算表面积即可. 【解析】【解答】解：因为存在两个正数 ，使得 ， 所以，不等式两边同 得：存在两个正数 ， ， 故设 ，则 ， 则原问题等价于，存在 ，使得 ， 因为 ，所以，存在 ，使得 成立， 设 ， ， 恒成立， 所以 为增函数， 因为 ， 故当 时, ，当 时, ， 即当 时,函数 取得极小值也是最小值为： ， 即 ， 存在 ，使得 成立，则 ，解得 所以，实数 的取值范围是 . 故答案为：C 【分析
13、】由题知存在两个正数 ， ，令 则 ，进而转化为存在 ，使得成立，再研究函数 的最小值进而得答案. 【解析】【解答】解： 的展开式中， ，故 的系数分别为 ，从而 的展开式中 的系数为 . 【分析】利用展开式通项公式即得。 【解析】【解答】若得 的同学是甲，则甲、丙预测都准确，乙预测不准确，符合题意；若得 的同学是乙，则甲、乙、丙预测都准确，不符合题意；若得 的同学是丙，则甲、乙、丙预测都不准确，不符合题意。综上，得 的同学是甲. 【分析】假设得 A 的同学分别是甲、乙、丙，分析三个人的话，能求出结果 【解析】【解答】函数 的定义域为 ， ， 所以，函数 为偶函数， 当 时， 为增函数， 因为
14、 ，则 ， 所以， ，所以， ，所以， ， 因为 ，故 恒成立， 由 可得 ，解得 . 因此，原不等式的解集为-1,4. 故答案为：-1,4. 【分析】分析出函数 为偶函数，且在 时为增函数，将所求不等式变形为 ，可得出关于 x 的不等式，解之即可. 【解析】【解答】设 ， ， 由于 ， 在 和 中应用余弦定理可得： ，整理可得： ， 结合勾股定理可得 的面积： ， 当且仅当 时等号成立 则 面积的最大值为 故答案为： 【分析】首先利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得面积的最大值 【解析】【分析】 （1）按照递推关系求出 的通项，再结合 求出的 通项公式； （2）
15、按照等差数列的前 n 项和公式和裂项相消求和即可. 【解析】【分析】 （1）根据系统抽样得其间隔 10，再结合 分别求 ， 即可； （2）分别计算甲校和乙校试卷得分低于 120 的概率，再结合独立事件的概率公式求解即可； （3）由正态分布得前 15 名的成绩全部在 146 分以上（含 146 分） ，进而根据超几何分布求解即可. 【解析】【分析】 （1）由题意可得 ，则由线面垂直的判定可得 平面 PBE ，再利用线面垂直的性质可得结论， （2）由 ，所以以 E 为坐标原点， 所在直线为 x 轴y 轴z 轴建立空间直角坐标系，设 ，然后由 PD 与平面 PBC 所成的角为 30，利用空间向量可求
16、出 ，再利用空间向量可求得结果. 【解析】【分析】 （）求出向量的坐标，利用条件化简，即可求点 P 的轨迹方程 ； （）分类讨论，利用 ， ,结合韦达定理，即可得出结论 【解析】【分析】 （1）分离参数，构造函数，确定函数的值域，再分类讨论即可； （2）分离参数得到 ，构造函数 ，求导确定函数的最小值即可得到 a 的取值范围. 【解析】【分析】 （1）将曲线 C 的参数方程化为普通方程，利用普通方程与极坐标方程之间的转换关系可得出曲线的极坐标方程； （2）设 的极坐标为 ，可得出 ，求出 的值，可求 的值，再利用三角形的面积公式可求得结果. 【解析】【分析】 （1）由题意，可将含绝对值的函数 转化为分段函数，再逐段进行求解，汇总所得解，从而问题可得解； （2）由题意，可构造函数 ，将其转化为分段函数，并作出其图象，结合其图象，对参数 a 的取值范围，进行分段讨论，汇总所有解，从而问题可得解.
