1、空间角的大小比较及最值空间角的大小比较及最值(范围范围)问题问题1.空间角的大小比较是每年高考的常考题型，以选择题的形式考查，主要类型有线线角间的大小比较、线面角间的大小比较、面面角间的大小比较及线线角、线面角、面面角间的大小比较，主要方法有计算法、元素比较法、三角函数值比较法及利用最小角定理等方法.2.立体几何动态问题中空间角的最值及范围也是常见到的题型，常与图形转折、点线面等几何元素的变化有关，常用方法有几何法、函数(导数)法，不等式法等.知识拓展题型一空间角的大小比较类型1同类角间的大小比较【例11】 (1)(2020嘉兴测试)已知长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为正方形，A
2、A1a，ABb，且ab，侧棱CC1上一点E满足CC13CE，设异面直线A1B与AD1，A1B与D1B1，AE与D1B1的所成角分别为，则()A. B.C. D.题型突破(2)如图，作出点D在底面ABC上的射影O，过点O分别作PR，PQ，QR的垂线OE，OF，OG，连接DE，DF，DG，则DEO，DFO，DGO.由图可知它们的对边都是DO，只需比较EO，FO，GO的大小即可.如图，在AB边上取点P，使AP2PB，连接OQ，OR，则O为QRP的中心.答案(1)A(2)B类型2不同类型角间的大小比较【例12】 (1)(2019浙江卷)设三棱锥VABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(
3、不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为，直线PB与平面ABC所成的角为，二面角PACB的平面角为，则()A.， B.，C.， D.，(2)(一题多解)(2018浙江卷)已知四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点).设SE与BC所成的角为1，SE与平面ABCD所成的角为2，二面角SABC的平面角为3，则()A.123 B.321C.132 D.231解析(1)由题意，不妨设该三棱锥的侧棱长与底面边长相等.因为点P是棱VA上的点(不含端点)，所以直线PB与平面ABC所成的角小于直线VB与平面ABC所成的角，而直线VB与平面ABC所成的角小于二面角PACB的平
4、面角，所以.故选B.(2)法一由题意知四棱锥SABCD为正四棱锥，如图，连接AC，BD，记ACBDO，连接SO，则SO平面ABCD，取AB的中点M，连接SM，OM，OE，易得ABSM，则2SEO，3SMO，易知32.再根据最小角定理知31，所以231，故选D.答案(1)B(2)D【训练1】 (1)(2020浙江十校联盟适考)已知 三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均相等，侧棱AA1平面ABC.过AB1作平面与BC1平行，设平面与平面ACC1A1的交线为l，记直线l与直线AB，BC，CA所成锐角分别为，则这三个角的大小关系为()A. B. C. D.(2)(2020浙江新高考仿真卷一)已知三棱锥
5、SABC的底面ABC为正三角形，SASBSC，平面SBC，SCA，SAB与平面ABC所成的锐二面角分别为1，2，3，则()A.12 B.12 C.23 D.23(3)(2020浙江三校三联)已知正三棱锥SABC中，G为BC的中点，E为线段BG上的动点(不包括端点)，SE与平面ABC所成的角为，二面角SBCA的平面角为，SE与AC所成的角为，则()A. B. C. D.答案(1)B(2)A(3)B题型二空间角的最值【例2】 (1)(2020台州期末评估)如图，在矩形ABCD中，AB2，AD1，M为AB的中点，将ADM沿DM翻折，在翻折过程中，当二面角ABCD的平面角最大时，其正切值为()(2)如
6、图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是棱AB上的动点(P点可以运动到端点A和B)，设在运动过程中，平面PDB1与平面ADD1A1所成的最小角为，则cos _.【训练2】 (1)已知三棱锥PABC中，点P在底面ABC上的投影正好在等腰直角三角形ABC的斜边AB上(不包含两端点)，点P到底面ABC的距离等于等腰直角三角形ABC的斜边AB的长.设平面PAC与底面ABC所成的角为，平面PBC与底面ABC所成的角为，则tan()的最小值为_.(2)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为，则cos 的最大值是_.答案(1)C(2)C
