1、E-mail: 第十三章第十三章 无无 穷穷 级级 数数n无穷级数是微积分学的重要组成部分，它在函数无穷级数是微积分学的重要组成部分，它在函数表示、数值计算、研究函数性质、微分方程的求表示、数值计算、研究函数性质、微分方程的求解等诸多方面，都有着不可替代的作用。无论对解等诸多方面，都有着不可替代的作用。无论对数学理论本身，还是在科学技术的应用中，无穷数学理论本身，还是在科学技术的应用中，无穷级数都是一个有效的工具。级数都是一个有效的工具。n本章内容由常数项级数、幂级数和傅立叶级数三本章内容由常数项级数、幂级数和傅立叶级数三部分组成。主要介绍无穷级数的基本概念、基本部分组成。主要介绍无穷级数的基
2、本概念、基本性质、敛散性的审敛法、幂级数以及将函数展开性质、敛散性的审敛法、幂级数以及将函数展开为幂级数和傅立叶级数的方法及其应用为幂级数和傅立叶级数的方法及其应用。E-mail: 2.2.数项级数的性质数项级数的性质3.3.柯西柯西(cauchy)(cauchy)收敛准则收敛准则1.1.数项级数的基本概念数项级数的基本概念E-mail: 若有一个若有一个无穷数列无穷数列 u1，u2，u3，un，此此无穷数列无穷数列构成下列表达式构成下列表达式 u1 + u2 + u3 + + un + (1)称以上表达式为称以上表达式为( (常数项常数项) )无穷级数无穷级数，简称，简称( (常数项常数项)
3、 )级数级数，记为，记为1.无穷级数的概念无穷级数的概念1231nnnnuuuuus其中第其中第n n项项u un n叫作级数的叫作级数的一般项一般项或或通项通项. .E-mail: 11212121 , s,. (2) nnnnsu suusuuun显然，对于给定的级数（），其任意前 项和 都是已知的.于是级数(1)对应着一个部分和数列s即E-mail: 1111 2 33 44 5(1)(2)nn snn它的前 项和111 (1)(2)12nnnn11111111()()()()2334451211 22nsnnn111 2 33 44 51 (1)(2)nunn例如级数的 一般项E-ma
4、il: 由上我们便得到一个数列由上我们便得到一个数列12,ns ss,从形式上从形式上1nnu=limnns与发散与发散,进而就不难得出级数的收敛与发散的概念。进而就不难得出级数的收敛与发散的概念。不难知道不难知道，以前我们学过数列的收敛，以前我们学过数列的收敛换而言之，有限个数相加为一数换而言之，有限个数相加为一数,无穷多个数相加是无穷多个数相加是否仍为一个数呢？否仍为一个数呢？问问 题题E-mail: 1limlimninni=sus则称无穷级数 收敛.s称为此级数的和.且有1nnu12,nsuuu若 无极限，则称无穷级数 发散.1nnu ns定义定义1 1 若级数 的部分和数列 收敛，设
5、其极 限值为1ii=u nssnnnn 1nnnn 1limssuslimsu 称收敛于和不存在称发散无穷多项求和问题转无穷多项求和问题转化成数列化成数列sn的极限的极限问题问题E-mail: 注意1:12,nnnnrssuu称为级数的余项， 为 代替s所产生的误差 .nsnr(1), s如果级数收敛 其和为 则称.E-mail: 注意2: 到目前为止，已了解的级数的基本概念，特别到目前为止，已了解的级数的基本概念，特别1nnu了解了级数了解了级数的收敛与发散性的收敛与发散性(敛散性敛散性)是由其是由其部分和数列部分和数列 ns的敛散性所决定的。的敛散性所决定的。 确切地说，两者敛散性是相同的
6、确切地说，两者敛散性是相同的 E-mail: 111(1)(2)12nunnnn解：1112 3(1)(1) (2)111111 ()()23122nsnnnnnnn111 lim lim()2221.2nnnsn而此级数收敛，和为 1例判定级数1111(1)(2)2 3(1)(2)nnnnn的收敛性.E-mail: 20 ().(0,)2nnnaqaaqaqaqaq讨论等比级数 几何级数敛散性其中为等比级数的公比例解:(1)若 ,则部分和1q 1nnaqaqasqaqqaqqann111)1 (E-mail: ,lim0, li1m01nnnnqaqqq当时 ,lim, l1imnnnnqq
7、s 当时则则级数发散级数发散。则则级数收敛级数收敛；，qasnn1lim E-mail: (2) 1,q 当时 1 ,nqsna 级当，数发散时aaaaq级数成为时，当 1 当n为奇数或偶数时， sn为a或0，则 的极限不存在，级数发散.ns小结: 等比级数的公比 ，级数收敛级数收敛, ，级数发散级数发散.1|q1|qE-mail: 例例3 证明证明调和级数调和级数n131211发散发散.证证: 为估计调和级数的部分和为估计调和级数的部分和sn，我们在区间，我们在区间1( )f xx1,+上引入函数上引入函数对于任一对于任一x属于属于1,+，存在，存在自然数自然数k，使得，使得1kxk，于是，
8、于是11(1,2,)kkx对上式两端在区间对上式两端在区间k，k+1上取定积分上取定积分11111kkkkdxdxkkx23112111111232nnnsdxdxdxnn 231111211111lnln(1)nnnnndxdxdxdxxnxxxx当当n时时,ns .显然显然nnSlim不存在不存在. 故原故原级数发散级数发散.E-mail: 性质性质1:(收敛的必要条件收敛的必要条件)nnnuuuu211如果如果级数级数收敛收敛，则它的一般项，则它的一般项 趋于零，即趋于零，即nulim0nnu2.数项级数基本性质数项级数基本性质1nnnuss证明： )(limlim 1nnnnnssu0
9、limlim1ssssnnnnE-mail: 注注1: 若反之若反之，则不一定成立则不一定成立。0limnnu，原级数原级数1nnu不一定收敛不一定收敛。 11nn发散发散，但但1lim0nn.如调和级数如调和级数011111,lim0,122 2(1)2112(1)212lim,.nnnkknnnnkkkkkkSkknkS 级数有但事实上 所以 而所以级数是发散的即即E-mail: 1111( 1),sin.1nnnnnnn例如 级数都是发散的注注2: 收敛的必要条件常用来证明级数发散收敛的必要条件常用来证明级数发散。0limnnu，则原级数则原级数1nnu一定不收敛一定不收敛.即若即若E-
10、mail: 性质性质2 若级数若级数 收敛于和收敛于和s s，则它的各项同乘，则它的各项同乘以一个常数以一个常数k,k,所得的级数所得的级数 也收敛也收敛, ,且其和为且其和为ks.ks.1nnu1nnku11 nnnnnnukuns 和的前 项和分别为证和明：ksskkskskukukunnnnnnnnnlimlimlim,211 ;nnkuks即级数收敛且其和为10, lim,nnnnkuks反之：若发散，则不存在1lim nnnnku也不存在发散级数的每一项同乘以不级数的每一项同乘以不为零的常数后，其敛散为零的常数后，其敛散性不变性不变E-mail: 11221()()()()nnnnn
11、uvuvuvuv则级数也收敛，其和为121121nnnnnnuuuusvvvvs性质性质3 如果级数如果级数 , , 分别收敛于分别收敛于 , ,即即1nnu1nnvs与111 A()nnnniiiinniiiuvuvs证明：设nnnnsslim ,lim 又 lim lim()nnnnnAss1().nnnuvs这就表明级数收敛，且其和为 两个收敛级数的和差仍两个收敛级数的和差仍为收敛级数为收敛级数E-mail: 注注1: 1)(nnnu称为级数称为级数1nnu与与1nn注注2: 若级数若级数1nnu和和1nn1)(nnnu发散发散。（证明）（证明）的和与差的和与差.之中有一个收敛，另一个之
12、中有一个收敛，另一个发散，则发散，则问：问：若两个都发散，情况又如何呢？若两个都发散，情况又如何呢？（思考）（思考） E-mail: 性质性质4 在级数前面加上或去掉有限项，不影响级数在级数前面加上或去掉有限项，不影响级数 的敛散性，但其的敛散性，但其和可能改变和可能改变. 121 nnnsuuuu证明： 将级数12 kkk nkuuu去掉前 项， 级数1212112 () () nkkk nkkk nkk nknuuuuuuuuuuuss它的前 项和为： .knk nsns 是常数当时， 与同时有极限， 或同时没有极限 lim, limlim().n knk nkknnnssssss当级数收
13、敛时有：只是当级数收只是当级数收敛时，加上有敛时，加上有限项或去掉有限项或去掉有限项，一般会限项，一般会改变级数的和改变级数的和.E-mail: 性质性质5: 收敛级数加括号后收敛级数加括号后(不改变各项顺序不改变各项顺序)所产生所产生 的级数仍收敛于原来级数的和的级数仍收敛于原来级数的和.注注1: 这里所谓加括号这里所谓加括号,就是在就是在不改变各项的顺序不改变各项的顺序的情的情 况下况下,将其某项放在一起作为新的项将其某项放在一起作为新的项,而产生的而产生的 级数级数.当然当然,加括号的方法是有无穷多种的加括号的方法是有无穷多种的.111111是发散的是发散的, ,) 11 () 11 (
14、) 11 (是收敛的是收敛的. .注注2:2: 若级数在加括号后所得的级数发散若级数在加括号后所得的级数发散, ,那么原级那么原级 数发散数发散. .但是但是, ,某级数在加括号后所得的级数收某级数在加括号后所得的级数收 敛敛, ,则原级数未必收敛则原级数未必收敛. .也就是说也就是说: :发散的级数发散的级数 加括号后可能产生收敛的级数加括号后可能产生收敛的级数. .例如例如: : 但但 E-mail: 例例4 4 判别级数判别级数 的敛散性。的敛散性。解：解：由于级数由于级数 是公比为是公比为 的几何级数，且的几何级数，且 所以所以 收敛收敛 由性质由性质2 2可知可知 也收敛也收敛112
15、1()53nn111()3nn13q 113q 111()3nn1121()53nnE-mail: 例例5 5 判别级数判别级数1)2)(1(131nnnn的敛散性的敛散性. .解解: : 因级数因级数 131nn与级数与级数 1)2)(1(1nnn均收敛均收敛 由性质由性质3 3可知可知 111113(1)(2)113(1)(2)nnnnnnnnn收敛收敛. . E-mail: 12: () :,.nnnn puNnNuun+1定理柯西收敛准则 级数收敛的充分必要条件是对于任意给定的正数存在自然数使得当时 对于任意的自然数p,都有 u12: , ,.nnnn pn pnunuussnn+1证
16、明 设级数的前 项和为s 因为u所以由数列的柯西收敛准则即得本定理结论3.柯西柯西(cauchy)收敛准则收敛准则E-mail: 11,.nnn pkknuu 该准则表明 级数收敛的:它的充分远的任意片段的绝对值可以任充分必要件意的小条E-mail: 011111211111.241.nn 0000000nnnn2n2n2n因此级数发散01:,4, N00证明 取对于任意的自然数N,存在n 和某个p=n 有11:.nn我们利用柯西收敛准则证明级数例发散6E-mail: 211:.nn我们利用柯西收敛准则证明级数例收敛7:p证明 对于任意的自然数 ,12222111(1)(2)()111(1)(
17、1)(2)(1)()11111111211110nnnpuuunnnpn nnnnpnpnnnnnpnpnnnpn E-mail: 所以对于任一给定的正数所以对于任一给定的正数，取自然数，取自然数1N则当则当 时，对任意自然数时，对任意自然数p,p,都有都有nN12nnnpuuu成立成立由柯西收敛定理，级数由柯西收敛定理，级数 收敛收敛211nnE-mail: 2.2.交错级数的收敛判别法交错级数的收敛判别法3.3.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛4.4.任意项级数的收敛判别法任意项级数的收敛判别法1.1.正项级数的收敛判别法正项级数的收敛判别法E-mail: 前面所讲的常数项级数中，各项
18、均可是前面所讲的常数项级数中，各项均可是正数，负数或零。正数，负数或零。正项级数是其中一种特殊正项级数是其中一种特殊情况。情况。如果级数中各项是由正数或零组成，如果级数中各项是由正数或零组成，这就称该级数为正项级数。同理也有负项级这就称该级数为正项级数。同理也有负项级数。而负项级数每一项都乘以后即变成正项数。而负项级数每一项都乘以后即变成正项级数，两者有着一些相仿的性质，正项级数级数，两者有着一些相仿的性质，正项级数在级数中占有很重要的地位。很多级数的敛在级数中占有很重要的地位。很多级数的敛散性讨论都会转为正项级数的敛散性散性讨论都会转为正项级数的敛散性.E-mail: 我们先讨论一类特殊的数
19、项级数，即各项都是正数或零的级数，这正种级数称为项级数.定义定义 设级数设级数1,0,1,2,nnnu un为正项级数正项级数.123nssss 显然显然, ,正项级数的部分和正项级数的部分和 s sn n 数列是数列是单调增加单调增加的，的， 即即1.正项级数的收敛判别法正项级数的收敛判别法E-mail: 定理定理 正项级数正项级数1nnu收敛收敛 ns有界有界.证证: “” 1nnu收敛收敛 ns收敛收敛 ns有界有界. ns有界有界,又又 ns是一个是一个单调上升单调上升数列数列limnns存在存在1nnu收敛收敛.“” 11,(), .nnnnnuSnu 由定理1可知,如果正项级数发散
20、 则它的部分和即注:E-mail: 证明:这是一个正项级数，其部分和为:nns2112112112故sn有界，所以原级数收敛.n21212121211 n211 1111 .12121212nnn例 考察级数的收敛性E-mail: 定理定理1(比较判别法比较判别法) 设设1nnu与与1nn是两个正项级数是两个正项级数， 且且 ,(1,2,3,)nnun那么那么 （1）如果）如果 1nn收敛收敛，则则1nnu收敛收敛。（2）如果）如果 1nnu发散发散，则则1nn发散发散。 证证: 设设ns和和n分别表示分别表示1nnu和和1nn的部分和的部分和，nnunsn显然由显然由(1) 1nn收敛收敛n
21、有界有界ns有界有界1nnu也收敛也收敛.(2) 1nnu发散发散ns无界无界n无界无界1nn也发散也发散.E-mail: 2 (1,2,) (,0,),1.nnnnuvnukvknN N如果把定理 中的条件改为其中为某一个自然数 则结推论仍成立论例例2 2 判定p-级数的敛散性.11111123ppppnnn (常数常数 p0)E-mail: (1),11 1, ,pnnp： 设时由比较判别法知解11 ;nn调和级数是发散的11 .pnpn级数也发散1(2)1111111 1()()23456711 1 ().815pppppppnpppn 当时，E-mail: 11111111 1()()
22、()22444488.pppppppp它的各项均不大于级数的对应项111,2pq后一级数是几何级数，公比11 .pnn收敛.所以此级数收敛由此可得结论，p级数当 时发散，p1时收敛.11npn1p E-mail: 思考题：思考题：若正项级数若正项级数1nna则下列级数的敛散性则下列级数的敛散性11nnnaa(2)1nnna(3)12nna收敛，收敛，(1)(1)111 ,1,(1,2,),1; (1,2,), .2nnpnnnnupunnuunn设为正项级数推如果存在使得则级数收敛 如果则级数发散论例例3 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性11(1)(21) 2nnn211(2)1nnn21(3)(ln )nn21(4)(ln )nnn
