1、函数的奇偶性函数的奇偶性1 从生活从生活中这些中这些图片中图片中你感受你感受到了什到了什么么 这些几这些几何图形何图形中又体中又体现了什现了什么么观察以下函数图象，从图象对称的角度把这些函数图象分类观察以下函数图象，从图象对称的角度把这些函数图象分类Oxy2)(xxfOxyxxf)(Oxy|)(xxfOxy|1)(xxfOxy3)(xxf这些函数图像这些函数图像体有何共同特体有何共同特点呢点呢？(-a, a2)(a, a2)作出函数作出函数f(x)=xf(x)=x2 2图象，再观察表，你看出了什么？图象，再观察表，你看出了什么？f(1)f(-1)= 1= 1f(a)f(-a)= a2= a2f
2、(2)f(-2)= 4= 4猜想猜想 : f(-x) _ f(x): f(-x) _ f(x)=32101239410149x2yx 结论：当自变量结论：当自变量x在在定义域定义域内内任取任取一一对相反数时，相应对相反数时，相应的两个函数值相同；的两个函数值相同；即：即：f(-x)=f(x)xP(x,f(x)P/(-x,f(x)-xP/(-x,f(-x)f(-x)=f(x)Oxy观察下面的函数图象，是否关于关于观察下面的函数图象，是否关于关于y y轴对称？轴对称？a如果一个函如果一个函数的图象关数的图象关于于y轴对称，轴对称，那么它的定那么它的定义域应该有义域应该有什么特点什么特点？定义域应该
3、关于原点对称定义域应该关于原点对称.图象关于图象关于y y轴对称轴对称f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)偶函数偶函数请同学们考察：图象关于原点中心对称的函请同学们考察：图象关于原点中心对称的函数与函数式有怎样的关系？数与函数式有怎样的关系？讨论归纳，形成定义讨论归纳，形成定义 偶函数定义：设函数 的定义域为 ，如果对定义域 内的任意一个 都有 ， 且 ，则这个函数叫做偶偶函数函数. .)(xfy DxDx )()(xfxf Df(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)实际上，对于定义实际上，对于定义域内域内任意的任意的一个一个x,x,都有都有
4、f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),这时我们称这样的这时我们称这样的函数为函数为奇函数奇函数. .f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)函数值的特征探索你能发现这两个你能发现这两个函数图象有什么函数图象有什么共同特征吗共同特征吗？(1)函数 与函数 图象有什么共同特征吗？(2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？xxf)(xxf1)(f(-x)=-x=-f(x)f(-x)=-1/x=-f(x)讨论归纳，形成定义讨论归纳，形成定义 奇函数定义：设函数 的定义域为 ，如果对 内的任意一个 ，都有 ，且 ,则这个函数叫奇函
5、数.)(xfy DDxDx )()(xfxf 图象关于原点对称图象关于原点对称f(-x)= - f(x)f(-x)= - f(x)奇函数奇函数讨论归纳，形成定义讨论归纳，形成定义（1 1）如何理解函数的奇偶性定义域内）如何理解函数的奇偶性定义域内“任意任意”一个一个x x？（2 2）试讨论：奇函数和偶函数的定义域的特征）试讨论：奇函数和偶函数的定义域的特征. .（3 3）判断函数奇偶性的方法和步骤是什么？）判断函数奇偶性的方法和步骤是什么？强化定义，深化内涵强化定义，深化内涵对奇函数、偶函数定义的说明对奇函数、偶函数定义的说明: :(1)函数具有奇偶性：定义域关于原点对称。对于定义域内对于定义
6、域内的任意一个的任意一个x x，则，则x x也一定是定义域内的一个自变量也一定是定义域内的一个自变量(2)若f(x)为奇函数, 则f(-x)=f(x)成立. 若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立.(3)如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数 f(x) 具有奇偶性.函数的奇偶性是函数的整体性质；既不是奇函数也不是偶函数的函数称为非奇非偶函数.图象关于原点对称图象关于原点对称图象关于图象关于y y轴对称轴对称xoa ,b-b,-a强化定义，深化内涵强化定义，深化内涵例例1. 1. 用定义判断下列函数的奇偶性用定义判断下列函数的奇偶性(1) f(x)=x+x3+x5
7、(2) f(x)=x2+1 (3) f(x)=x+1 (4) f(x)=x2 x- 1 , 3 (5) f(x)=5 (6) f(x)=0yox5oyx(2) f(x)= - x2 +1(1) f(x)=x-(1) f(x)=x- 1x(3) f(x)= 3 (4) f(x)= xx练习：练习： 用定义判断下列函数的奇偶性用定义判断下列函数的奇偶性讲练结合，巩固新知讲练结合，巩固新知偶函数偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数奇函数奇函数例例2.判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：(3)oxy(1)oxy(4)oxy(2)oxy非奇非偶函数非奇非偶函数讲练结合，巩固新知讲练结合，巩固新知例例3
8、.3.已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)是偶函数，它在是偶函数，它在y y轴右边的图轴右边的图象如下图，画出在象如下图，画出在y y轴左边的图象轴左边的图象. .xy0解：相等相等xy0相等相等例例3 3、已知函数、已知函数y=f(x)y=f(x)是奇函数，它在是奇函数，它在y y轴右边的图象如轴右边的图象如下图，画出在下图，画出在y y轴左边的图象轴左边的图象. .y01 12 23 32 23 31 1练习：（练习：（1 1）已知函数）已知函数y=f(x)y=f(x)是是 上的奇函数，上的奇函数，它在它在 上的图像如图所示，画出它在上的图像如图所示，画出它在 上的图像。上的图像。),
9、( 0),(0),( 0),(0（2 2）求函数）求函数y=f(x)y=f(x)在在 上的函数上的函数解析式，在解析式，在 上呢？上呢？),( 0),(0奇偶性奇偶性奇函数奇函数偶函数偶函数定定义义设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为D， ,都有都有 .f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)图图像像性性质质关于原点对称关于原点对称关于关于y轴对称轴对称判断判断步骤步骤定义域是否关于原点对称定义域是否关于原点对称.f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)Dx Dx xoy(a,f(a)(-a,f(-a)-aaxoy-aa(a,f(a)(-a,f(-a)课时小结，知识建构课时小结，知
10、识建构判断或证明函数奇偶性的基本步骤：判断或证明函数奇偶性的基本步骤：注意：注意：若可以作出函数图象的，直接观察图象是否若可以作出函数图象的，直接观察图象是否关于关于y y轴对称或者关于原点对称。轴对称或者关于原点对称。课时小结，知识建构课时小结，知识建构一看一看看定义域看定义域是否关于原点对称是否关于原点对称二找二找找关系找关系f(x)与与f(-x)三判断三判断下结论下结论奇或偶奇或偶教材第教材第3939页，习题页，习题1.3A1.3A组，第组，第6 6题；教材第题；教材第3939页，习题页，习题1.3B1.3B组，第组，第3 3题；题；补充题补充题（1 1）设）设f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，当上的奇函数，当x0 x0时，时，f(x)=2x+1,f(x)=2x+1,求求x0 x0 x0时，时，f(x)=2x+1,f(x)=2x+1,求求f(x)f(x)的解的解析式析式. .布置作业，回归拓展布置作业，回归拓展
