1、第一章第一章 函数、极限与连续函数、极限与连续分析基础分析基础函数极限连续 研究对象 研究方法 研究桥梁1函数与极限第一章第一章 函数与极限函数与极限1.1 1.1 函数及其图像函数及其图像1.2 1.2 函数极限函数极限1.3 1.3 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量1.4 1.4 数列的极限数列的极限1.5 1.5 两个重要极限两个重要极限1.61.6无穷小的比较无穷小的比较1.7 1.7 连续函数及其性质连续函数及其性质 2函数与极限1.1 函数及其图像函数及其图像 一、集合 二、常量、变量、函数 三、函数的初等性质 四、函数的初等运算 五、基本初等函数与初等函数 六、函数关系的建立
2、重点重点：函数的概念、初等函数难点难点：复合函数3函数与极限1.1.1 基础知识回顾基础知识回顾1.1.集合集合: :具有某种特定性质的对象（事物）的具有某种特定性质的对象（事物）的总体总体.组成这个集合的对象称为该集合的组成这个集合的对象称为该集合的元素元素.,21naaaA 所具有的特征所具有的特征xxM 有限集（列举表示）有限集（列举表示）无限集（命题式表示）无限集（命题式表示）,Ma ,Ma 集合：集合：A，B，C表示；元素：表示；元素：a，b，c表示表示4函数与极限2.实数与数轴实数与数轴），（无理数分数）负整数（，：非负整数（自然数集整数有理数实数,2,),86,21(, 2, 1
3、)21 , 0eInNZQRO1-1x实数系的连续性：实数的集合与数轴上的点的实数系的连续性：实数的集合与数轴上的点的 集合一一对应集合一一对应5函数与极限例如例如2,+1= 0 x xR x =1,2,A2=-3 +2 = 0,Cx xx=.AC则不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集)(记作记作例如例如规定规定 空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.A是是 B 的的子集子集 , 或称或称 B 包含包含 A ,.BA若若BA,AB 且且则称则称 A 与与 B 相等相等,.BA 例如例如 ZNQZRQ , ,记作记作记作记作定义定义2 . .若若Ax,Bx设有集合设有集合A，
4、B，必有必有3.集合之间的关系集合之间的关系则称则称6函数与极限AcABB定义定义 3 . 给定两个集合给定两个集合 A, B, 定义下列定义下列运算运算:并集并集 xBAAx交集交集 xBAAxBx且且差集差集 xBAAxBx且ABBA余集余集)(ABBABcA其中直积直积 ),(yxBA,AxByRR记2R为平面上的全体点集为平面上的全体点集Bx或或AB3( , , )| , ,Rx y zx y zR7函数与极限4.4.区间区间: :是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.,baRba 且且bxax 称为开区间称
5、为开区间, 记作记作 （a, b）bxax 称为闭区间称为闭区间,记作记作 a, boxaboxab8函数与极限bxax bxax 称为半开区间称为半开区间, 记作记作a, b)称为半开区间称为半开区间, 记作记作 (a, bx axx xboxaoxb有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义: :两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度. ,)a (, )b( ,)a (, b9函数与极限5.5.邻域邻域: :xa a a aaax点点 a的去心的的去心的邻域，记作邻域，记作( , )Ua( , )Ua |0 |xxa(, )( ,
6、)aaa a( , )U a |xxa(,)aa设设a和和0.数集数集 |xxa称为点称为点 a的的邻域邻域.是两个实数，且是两个实数，且点点 a叫做这邻域的中心，叫做这邻域的中心，叫做这邻域的半径叫做这邻域的半径. .10函数与极限几个逻辑符号几个逻辑符号:表示对表示对“任意一个任意一个”、“对每一个对每一个”2,10 ,0 .xRx “” “”:表示表示“存在一个存在一个”、“至少有一个至少有一个”x使得使得(1)(1)0 xx“”:表示表示“蕴含蕴含”，“可推出可推出”110 xx sin| 1yxy“” “”:表示表示“当且仅当当且仅当”、“充分必要充分必要”、“等价等价”1,2xx2
7、320 xx“满足方程满足方程”11函数与极限在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号 、 “ ”表示表示 “对每一个对每一个”, 或或“任取任取 ”, 或或“任意给定任意给定”;“ ” 表示表示 “存在存在 ”, 或或“至少存在一个至少存在一个”,或或“能够找到能够找到”.如如实数的阿基米德实数的阿基米德 (ArchimedesArchimedes) 公理公理:任意给定两个正的实数任意给定两个正的实数 a,b,都存在一个都存在一个自然数自然数n,.nab 使使得得用逻辑符号用逻辑符号, 和和将将阿基米德阿基米德公理改写公理改写: . bna 使使得得 , 0,
8、 ba,Nn 12函数与极限6.6.绝对值绝对值: : 00aaaaa)0( a运算性质运算性质:;baab ;baba .bababa )0( aax;axa )0( aax;axax 或或绝对值不等式绝对值不等式:13函数与极限1.1.2 函数函数 在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为常量常量,注意注意常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言的而言的.通常用字母通常用字母 a, b, c 等表示常量等表示常量,而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量.常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：用字母用字母 x, y, t 等表示等表示变变量量.常量常量
9、 变量变量14函数与极限因变量因变量自变量自变量数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域( ),yf xxD函数函数定义定义：,xD设设DR是一个非空集合，是一个非空集合，f 是一个确定的法则，是一个确定的法则，如果如果通过法则通过法则 f，存在唯一的，存在唯一的yR则称由则称由 f 确定了一个定义于确定了一个定义于D上，取值于上，取值于R的的函数函数，记作，记作与与x相对应，相对应，当当0 xD时，称时，称0()f x为函数在点为函数在点0 x处的函数值处的函数值. .函数值全体组成的数集函数值全体组成的数集 |( ),Wy yf xxD称为函数的称为函数的值域值域. .15函数与
10、极限fx)(xfDW函数的两要素函数的两要素: : 定义域定义域与与对应法则对应法则.16函数与极限约定约定: 如无特别指出，定义域是自变量所能取的如无特别指出，定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值（自然定义域）使算式有意义的一切实数值（自然定义域）.21yx例 如 1 , 1 : D211yx例如)1 , 1(: D定义定义: :( , )( ),( ).Cx y yf x xDyf x点集称为函数的图形xy) ,(baD abxy17函数与极限习习惯惯上上，x称称为为自自变变量量，y称称为为因因变变量量（也也称称y是是x的的函函数数） ；对对于于每每一一个个Dx ， 之之对对应应
11、，函函数数值值的的全全体体称称为为函函数数的的值值域域，记记为为 W，显显然然BW ， 若若Dx 0， 则称函数则称函数)(xf在在0 x处有定义，处有定义，函函数数)(xf在在0 x处处的的函函数数值值记记为为或或 0| )(xxxf ；)(0 xf 或或 0|xxy ,处处的的函函数数值值在在点点称称为为函函数数xfy值与值与有唯一的有唯一的按法则按法则yf说明：说明：18函数与极限不同的对应法则表示不同的函数不同的对应法则表示不同的函数 , 如如)(xfy 、)(xgy 、)(xyj j 等等。等等。 函数有三种表示法：函数有三种表示法：图象法图象法、表格法表格法. . 在解析法中在解析
12、法中 , 函数的解析式有两类：函数的解析式有两类：一个解析式表示的函数一个解析式表示的函数 , 例如例如 : 圆的面积圆的面积S与半径与半径R的关的关系是系是 2RS 、解析法解析法一类仅只有一类仅只有另一类是由一个以上的解析式表示的函数另一类是由一个以上的解析式表示的函数, ,在定义域内的不同范围用不同的解析式表示在定义域内的不同范围用不同的解析式表示, ,这种函数称这种函数称为为分段函数分段函数 。这种函数这种函数例如例如 ， 某市出租车的乘车费某市出租车的乘车费 y(元元)与里程与里程x(公里公里)之间之间的关系是：的关系是： 306xy2 . 1)3(6 x x3注意注意：分段函数是一
13、个函数分段函数是一个函数 ， 而不是几个函数。而不是几个函数。19函数与极限函数的定义域1. 函数中有分式,要求分母不能为零2. 函数中根式,要求负数不能开偶次方3. 函数中有对数式,要求真数必须大于零4. 函数中有对数式和反三角函数式,要求符合它们定义域5. 若函数式是上述各式的混合式,则应取各部分定义域 的交集s= vt t定义域是构成函数的重要因素之一,因此研究函数,就必须注意函数的定义域.在考虑实际问题时,应根据问题的实际意义确定定义域.例如,匀速直线运动的位移, 是时间,故只能取非负数.对于用数学表示的函数,其定义域由函数表达式本身来确定, 即使运算有意义.如:20函数与极限例1 求
14、下列函数的定义域21(1)2;4yxx1(2)lg;2xyx1(3)arcsin1.3xyx0,2.20,2,).xxxx 2(1) 因为4-所以又因为所以 因此函数定义域为(-2,2) (2,+解x-10 x2x00? 0?38函数与极限容易看出容易看出:22121221211,30,xxxxxx xx 当当1 1或或时时( )(,11,)f x 在在和和上上都都是是单单调调增增加加的的. .不难验证不难验证:221221211,30,xxxx xx 当当-1-1时时( ) 1,1f x在在上上是是单单调调减减少少的的. .39函数与极限3函数的奇偶性函数的奇偶性:关关于于原原点点对对称称设
15、设D为为偶偶函函数数；称称）若若（)(),()(,1xfxfxfDx 偶函数偶函数yx)( xf )(xfy ox-x)(xf. 轴是对称的轴是对称的偶函数的图形关于偶函数的图形关于注注y40函数与极限为奇函数。为奇函数。称称若若)(),()(,)2(xfxfxfDx . 是对称的是对称的奇函数的图形关于原点奇函数的图形关于原点注注)( xf yx)(xfox-x)(xfy 奇函数奇函数41函数与极限如如xycos 在区间在区间),(上是偶函数上是偶函数(如图如图2.1)如如3xy 在在),(上是奇函数上是奇函数 (如图如图2.2)函数函数xxy2sin4 在在),(上是非奇非偶函数上是非奇非
16、偶函数(如图如图2.3)-6-4-2246-1-0.50.51xycos 图图2.1-3-2-1123-0.6-0.4-0.20.20.40.63xy 图图2.2-3-2-1123246810 xxy2sin4 图图2.342函数与极限4函数的周期性函数的周期性(periodicity) :（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.2l 2l23l 23l( ), ()()( ). ( ),( ).f xDTxDxTD. f x+T = f xf xTf x设函数的定义域为如果存在一个不为零的数使得对于任意的且恒成立 则称为周期函数为的周期to)(tf22
17、周期为243函数与极限例例 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)函数函数 )(xDy,Qx .CQx , 1, 0狄利克雷狄利克雷(德德)1805-1859有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(当当x是有理函数时是有理函数时)(当当x是无理函数时是无理函数时)这是一个这是一个周期函数周期函数, 任何正有理数任何正有理数r都是它都是它的的周期周期.因为不存在最小的正有理数因为不存在最小的正有理数, 所以没有所以没有最小正最小正周期周期.44函数与极限1.1.4 函数的初等运算函数的初等运算1. 函数的四则运算函数的四则运算 .0)(,)()(;),()(;),()(;),()(,:,:21
18、21 xgDxxgxfDxxgxfDxxgxfDxxgxfDDDRDgRDf商商：积积：差差：和和：。且且设设 45函数与极限,log)(,)(xxgxxf211设设例例1, 0(), 0(1 ,( D则则).1 , 0(,log1)()(;1 , 0(,log1)()(;1 , 0(,log1)()(222 xxxxgxfxxxxgxfxxxxgxf46函数与极限0 x0yxyDW)(xfy 函数函数o0 x0yDxyW)(1yfx 反反函函数数o2. 反函数反函数(inverse function)运算运算121212( ),(),()(), 1,( ).yf xxD Wf DxxDxxf
19、 xf xfDWyWxDyf x 设。如果且则称 为到上的一个一一对应.使得11,( ),WffxfyyW由此确定了定义在上的一个新的函数，称其为 的反函数，记为即。47函数与极限注注2.xy习习惯惯上上, , 常常用用 作作自自变变量量, ,用用 表表示示因因变变量量, ,这这样样将将1( ),()xfyyf D 反反函函数数改改记记为为1( ),().yxxff D -13.( )(yf xxfy在在同同一一直直角角坐坐标标系系中中，与与）表表示示1( )( )yf xyfx 同同一一曲曲线线， 而而与与表表示示不不同同曲曲线线，.yx 它它们们关关于于直直线线对对称称-1-11.( )x
20、fyf 由由定定义义知知，反反函函数数的的对对应应法法则则完完全全由由( )yf xf 直直接接函函数数的的对对应应法法则则 所所确确定定，并并且且反反函函数数的的定定义义域域( (值值域域) )恰恰好好是是直直接接函函数数的的值值域域( (定定义义域域).).48函数与极限21( )2xf xx例 求函数的反函数。2121221222122xyyxyyxxxyxyxx 解 由，习惯上,Dxxfy, )(的反函数记成)(,)(1Dfxxfy1.反函数的求法：先由y=f(x)解出1( ).xfy根据习惯，f(x)的反函数记为1( ),yfx xW49函数与极限 2.函数与反函数的图形关于直线函数
21、与反函数的图形关于直线 对称对称.xy )( xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xyj j 反反函函数数,)(1Dxxxff即即DIff1,)(1Wyyyff即即WIff13.反函数与函数的关系反函数与函数的关系50函数与极限.)3(,)()(的反函数的反函数求求互为反函数互为反函数与与例：设函数例：设函数 xfxfx (3),yf x解：设( )33.yf xx ( )3xy(3)( )3.f xyx故的反函数是51函数与极限3 复合函数复合函数,uy 设设,12xu 21xy 1Dfg手电筒DD2D2D复合函数 52函数与极限复合函数也可以看作是产品的二次加工（多次
22、加工）53函数与极限,自自变变量量x,中中间间变变量量u,因变量因变量yxuy)(xu )(ufy )(xfy 定义定义: 设函数设函数y=f(x)的定义域是的定义域是fD ，而函数而函数= ()ux的值域为的值域为Z，若若fDZ ，则可确定则可确定y为为x的函数的函数,称为称为 f 与与的复合函数，记为的复合函数，记为f ，即即1 ( )( )fyfxxDxxD，54函数与极限注意注意: :1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成；复
23、合函数可以由两个以上的函数经过复合构成；,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv )(),1()(,log)(22xfgxxgxxf则则例例如如，设设).log1(22x 无无意意义义。但但是是)1(log)(,22xxgf 3.复合运算不满足交换性复合运算不满足交换性,. .即即一一般般而而言言, ,fggf55函数与极限例例2 2).(,)(,)(xfxxxxxxxxexfxjj求求设设0102112解解 j jj j j j j jj j1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10时时当当 j j x, 0 x或或, 12)( j jxx;20 x, 0 x或或,
24、 11)(2 j jxx; 1 x56函数与极限综上所述综上所述, 0 x或或,1)(20时时当当 xj j, 12)( xxj j; 01 x, 0 x或或, 11)(2 xxj j;2 x.2, 120011, 2,)(2122 xxxxxexexfxxj j).(,)(,)(xfxxxxxxxxexfxjj求求设设010211257函数与极限1) 幂函数幂函数(power function)( 是是常常数数 xy xyO11)1 , 1(xy 2xy xy1 xy 1.1.5 基本初等函数与初等函数基本初等函数与初等函数基本初等函数（基本初等函数（6类）：类）：常数函数、幂函数、指数常数
25、函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。函数、对数函数、三角函数、反三角函数。 58函数与极限2) 指数函数指数函数(exponential function)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0(xey 定义域为定义域为),( 值域为值域为)., 0( xyO 59函数与极限3) 对数函数对数函数(logarithm function)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a定义域为定义域为).,( 值域为值域为), 0( xyO)0 , 1( 60函数与极限4) 三角函数三角函数(trigonometric
26、 function)正弦函数正弦函数xysin xysin 定义域为定义域为),( 值域为值域为.1 , 1 11 xyO 2 2 23 2 23 261函数与极限xycos xycos 余弦函数余弦函数定义域为定义域为),( 值域为值域为.1 , 1 11 xyO 2 2 23 2 23 25 62函数与极限正切函数正切函数xycot 余切函数余切函数xytan xytan xycot 定义域定义域).,(值域值域 Znnx ,212 定义域定义域).,(值域值域Znnx , xyO2 2 23 23 xyO 22 2 23 63函数与极限5) 反三角函数反三角函数(inverse trig
27、onometric function)xyarcsin xysinarc定义域定义域值域值域,1 , 1 .2,2 主值主值反正弦函数反正弦函数xyO2 2 11 64函数与极限xyarccos 定义域定义域值域值域,1 , 1 ., 0 主值主值反余弦函数反余弦函数xycosarcxyO 11 65函数与极限xyarctan 主值主值定义域定义域值域值域),(.2,2 反正切函数反正切函数xytanArc xyO2 2 反余切函数反余切函数xyArccot xyO2 主值主值xycotarc 定义域定义域值域值域),()., 0( 幂函数、指数函数、对数函数、三角幂函数、指数函数、对数函数、
28、三角函数和反三角函数统称为函数和反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.66函数与极限(2) 初等函数初等函数(elementary function)及其分解及其分解初等函数初等函数. .如如)11ln(8sin3222 xaxyx)3ln(1xy 都是初等函数都是初等函数. 7 !75 ! 53! 3753xxxxy不是初等函数不是初等函数., 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算由常数和基本初等函数经过有限次四则运算(加、减、乘、除加、减、乘、除)和有限次的函数复合步骤所构和有限次的函数复合步骤所构成并可用成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数, 称为称为67函数与极限又如又如
29、2321 xxey等都是初等函数。等都是初等函数。如如 0,0, 3)(2xxxxxf不是初等函数。不是初等函数。2x 如：如： xsin1xxxxy32logtan4cos1 , 分段函数分段函数一般一般不是初等函数不是初等函数注意：注意：是初等函数。是初等函数。 0,0,xxxx而而y68函数与极限双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数:2sinhxxeex 双双曲曲正正弦弦xycosh xysinh ),(: D奇函数奇函数.2coshxxeex 双双曲曲余余弦弦),(: D偶函数偶函数.1、双曲函数双曲函数xey21 xey 2169函数与极限xxxxeeeexxx coshsinh
30、tanh双双曲曲正正切切奇函数奇函数,),(: D有界函数有界函数,70函数与极限双曲函数常用公式双曲函数常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx ;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;1sinhcosh22 xx;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh22xxx 71函数与极限反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,),(: D.),(内内单单调调增增加加在在 ;sinhxy 反反双双曲曲正正弦弦ar).1ln(sinh2 xxxyarsinhar xy.),1内内单单调调增增加加在在 ),1: D y反反双双曲曲余余弦弦
31、coshar).1ln(cosh2 xxxyarxcosharx y72函数与极限.11ln21xx )1 , 1(: D奇函数奇函数,.)1 , 1(内内单单调调增增加加在在 y反反双双曲曲正正切切tanharxytanh arxtanharx y73函数与极限.), 1内单调增加内单调增加在在), 1 : D y反反双双曲曲余余弦弦coshar).1ln(cosh2 xxxyarxcosharx y74函数与极限1.1.6 函数关系的建立函数关系的建立例例1 函数的列表表示函数的列表表示：某公司一年中月销售个统计：某公司一年中月销售个统计月份月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
32、11 12 销售额销售额 25 24 18 17 16 17 17 18 19 21 23 24 例例2 函数的图像表示：函数的图像表示：某气象观察点某气象观察点24小时气温观察资料图小时气温观察资料图O tT75函数与极限例例3 函数关系的解析式表示：函数关系的解析式表示：某人从美国到加拿大某人从美国到加拿大去旅游，他把美元换成加拿大元时币面数值增加了去旅游，他把美元换成加拿大元时币面数值增加了12%，回国时又把加拿大元换成美元，币面数值减，回国时又把加拿大元换成美元，币面数值减少少12%，把两次兑换后的币面数值用函数表示出来。，把两次兑换后的币面数值用函数表示出来。这样两种兑换方式产生的函
33、数是否互为反函数？这样两种兑换方式产生的函数是否互为反函数？0,88.0%12)(0,12.1%12)()()( xxxxxgxxxxxfxxgxxf数数，则则加加拿拿大大元元兑兑换换成成的的美美元元为为将将数数，美美元元兑兑换换成成的的加加拿拿大大元元为为将将解解：设设不不互互为为反反函函数数。故故，gfxxxxfxfg,985. 012. 188. 0)(88. 0)( 76函数与极限1. 函数的初等运算函数的初等运算四则运算、复合运算、反函数运算。四则运算、复合运算、反函数运算。小结小结 3. 函数关系的建立函数关系的建立2. 基本初等函数，初等函数基本初等函数，初等函数77函数与极限函
34、数的分类函数的分类:函数函数初等函数初等函数非初等函数非初等函数( (某些分段函数某些分段函数, ,有无穷多项等函数有无穷多项等函数) )代数函数代数函数超越函数超越函数有理函数有理函数无理函数无理函数有理整函数有理整函数( (多项式函数多项式函数) )有理分函数有理分函数( (分式函数分式函数) )78函数与极限思考题思考题设设0 x，函函数数值值21)1(xxxf ，求求函函数数)0()( xxfy的的解解析析表表达达式式.79函数与极限思考题解答思考题解答设设ux 1则则 2111uuuf ,112uu 故故)0(.11)(2 xxxxf80函数与极限练练 习习 题题81函数与极限二、证
35、明二、证明xylg 在在), 0( 上的单调性上的单调性. .三、证明任一定义在区间三、证明任一定义在区间)0(),( aaa上的函数可表上的函数可表 示成一个奇函数与一个偶函数之和示成一个奇函数与一个偶函数之和. .四、设四、设)(xf是以是以 2 2 为周期的函数，为周期的函数，且且 10, 001,)(2xxxxf, ,试在试在),( 上绘出上绘出)(xf的图形的图形. .五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的 乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数. .六、证明函数六、证明函数acxbaxy 的反函数是其本身的反函数是其本身. .七七、求求xxxxeeeexf )(的的反反函函数数，并并指指出出其其定定义义域域. .82函数与极限一、一、1 1、225tt , ,222)1(2)1(5 tt； 2 2、1,11,1； 3 3、(4,6)(4,6)； 4. 4.2, 0( . .七、七、)1 , 1( ,11ln xxy. .练习题答案练习题答案83函数与极限
