1、圆周运动（二）圆周运动（二）圆周运动中的动力学分析圆周运动中的动力学分析 1向心力的来源向心力的来源： 向心力是依据力的作用效果命名的，它可以是重力、弹向心力是依据力的作用效果命名的，它可以是重力、弹力或摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力或摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力如图如图甲所示的圆锥摆和火车以规定速率拐弯时甲所示的圆锥摆和火车以规定速率拐弯时向心力由重力和向心力由重力和弹力的合力提供；图乙中随圆盘一起转动的物体和汽车在水弹力的合力提供；图乙中随圆盘一起转动的物体和
2、汽车在水平路面上转弯则是由静摩擦力提供向心力平路面上转弯则是由静摩擦力提供向心力2向心力的确定向心力的确定(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置确定圆心的位置(2)分析物体的受力情况，找出所有的力分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力 例题 1有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L 的钢绳一端系着座椅， 另一端固定在半径为 r 的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动当转盘以角速度匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度
3、与夹角的关系小结小结:解决圆周运动问题的主要步骤解决圆周运动问题的主要步骤(1)审清题意，确定研究对象；明确物体做圆周运动的平面是审清题意，确定研究对象；明确物体做圆周运动的平面是至关重要的一环至关重要的一环(2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；轨道平面、圆心、半径等；(3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源；来源；(4)根据牛顿运动定律及向心力公式列方程根据牛顿运动定律及向心力公式列方程课堂探究课堂探究 1在光滑水平面上，一根原长为在光
4、滑水平面上，一根原长为l的轻的轻质弹簧的一端与竖直轴质弹簧的一端与竖直轴O连接，另一端连接，另一端与质量为与质量为m的小球连接，如图的小球连接，如图17所所示当小球以示当小球以O为圆心做匀速圆周运动为圆心做匀速圆周运动的速率为的速率为v1时，弹簧的长度为时，弹簧的长度为1.5l；当；当它以它以O为圆心做匀速圆周运动的速率为为圆心做匀速圆周运动的速率为v2 时，弹簧的长度为时，弹簧的长度为2.0l.求求v1与与v2的的比值比值解析；设弹簧的劲度系数为解析；设弹簧的劲度系数为k，当小球以，当小球以v1做匀速圆周运动时有：做匀速圆周运动时有：k(1.5ll)mv12/1.5L当小球以当小球以v2做匀
5、速圆周运动时有：做匀速圆周运动时有：k(2.0ll)mv22/2.0L两式之比得：两式之比得：v1 v2 3 22 2.“飞车走壁飞车走壁”是一种传统的杂技艺术，是一种传统的杂技艺术，演员骑车在倾角很大的桶面上做圆周运动演员骑车在倾角很大的桶面上做圆周运动而不掉下来。如图所示，已知桶壁的倾角而不掉下来。如图所示，已知桶壁的倾角为为，车和人的总质量为，车和人的总质量为m，做圆周运动，做圆周运动的半径为的半径为r，若使演员骑车做圆周运动时，若使演员骑车做圆周运动时不受桶壁的摩擦力，求不受桶壁的摩擦力，求1)人和车的速度；人和车的速度；2)桶面对车的弹力桶面对车的弹力.解析：对人和车进行受力分析如图
6、所示，根据直角三角形的边角关系和向心力公式可列方程：mgtan mv2/r，FNcos mg，解得v grtan ， FNmg/cos 。3质量为质量为m的飞机以恒定速率的飞机以恒定速率v在空在空中水平盘旋，如图所示，其做匀速中水平盘旋，如图所示，其做匀速圆周运动的半径为圆周运动的半径为R，重力加速度为，重力加速度为g，则此时空气对飞机的作用力大小，则此时空气对飞机的作用力大小为为析飞机在空中水平盘旋时析飞机在空中水平盘旋时在水平面内做匀速圆周运动，在水平面内做匀速圆周运动，受到重力和空气的作用力两受到重力和空气的作用力两个力的作用，其合力提供向个力的作用，其合力提供向心力心力F向向mv2/R
7、v2/R.飞机受力飞机受力情况示意图如图所情况示意图如图所示，根据勾股定理得：示，根据勾股定理得：Fm (g2+ v v4 4/R/R2 2) ).二用极限法分析圆周运动的临界问题二用极限法分析圆周运动的临界问题学科素养培养学科素养培养 【例【例1】如图如图7所示，用一根长为所示，用一根长为l1 m的细线，一端系一质量为的细线，一端系一质量为m1 kg的小球的小球(可视为质点可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角面与竖直方向的夹角37，当小球在水平面内绕锥体的轴做，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为匀速圆周运动的角速度为时
8、，细线的张力为时，细线的张力为FT.(g取取10 m/s2，结，结果可用根式表示果可用根式表示)求：求：(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度若要小球离开锥面，则小球的角速度0至少为多大？至少为多大？(2)若细线与竖直方向的夹角为若细线与竖直方向的夹角为60，则小球的角速度，则小球的角速度为多大？为多大？解析指导解析指导考点定位考点定位圆周运动的临界问题圆周运动的临界问题（1）小球离开锥面：）小球离开锥面：支持力为零支持力为零解题技巧解题技巧找到临界状态找到临界状态052 rad/scos2glsinrl20sinTFmrcosTFmg（2）当细线与竖直方向成）当细线与竖直方向成60角时角时T
9、Fmg0sin60rl02sin60TFmr0cos60TFm g02 5 rad/scos60 glmgFN60课堂探究课堂探究 图图5mgFN60f30课堂探究课堂探究 图图5mgFN60f课堂探究课堂探究 图图5例题 3如图所示，长度为 L 的细绳上端固定在天花板上O 点，下端拴着质量为 m 的小球当把细绳拉直时，细绳与竖直线夹角为60，此时小球静止于光滑的水平面上 突破训练突破训练1如图所示，用细绳一端如图所示，用细绳一端系着的质量为系着的质量为M0.6 kg的物体的物体A静止静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔心的光滑小孔O吊着质量为吊
10、着质量为m0.3 kg的小球的小球B，A的重心到的重心到O点的距离为点的距离为0.2 m若若A与转盘间的最大静摩擦力为与转盘间的最大静摩擦力为Ff2 N，为使小球，为使小球B保持静止，求转盘保持静止，求转盘绕中心绕中心O旋转的角速度旋转的角速度的取值范的取值范围围(取取g10 m/s2)答案答案2.9 rad/s6.5 rad/s解析要使B静止，A必须相对于转盘静止具有与转盘相同的角速度A需要的向心力由绳的拉力和静摩擦力的合力提供角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心趋势，静摩擦力背离圆心O.设角速度的最大值为1，最小值为2对于B：FTmg对于A：FTF
11、fMr12或FTFfMr22代入数据解得16.5 rad/s，22.9 rad/s所以2.9 rad/s6.5 rad/s. 2.如图所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘盘如图所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘盘面上，离轴心面上，离轴心r20 cm处放置一小物块处放置一小物块A，其质，其质量为量为m2 kg，A与盘面间相互作用的静摩擦力的与盘面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的最大值为其重力的k倍倍(k0.5) (1)当圆盘转动的角速度当圆盘转动的角速度2 rad/s时，物块与圆时，物块与圆盘间的摩擦力大小多大？方向如何？盘间的摩擦力大小多大？方向如何？ (2)欲使欲使A与盘面间不发生相对滑
12、动，则圆盘转动与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度多大？的最大角速度多大？(取取g10 m/s2)解析(1)物块随圆盘一起绕轴转动，需要向心力，而竖直方向物块受到的重力mg、支持力FN不可能提供向心力，向心力只能来源于圆盘对物块的静摩擦力根据牛顿第二定律可求出物块受到的静摩擦力的大小FfF向m2r1.6 N，方向沿半径指向圆心(2)欲使物块与盘面不发生相对滑动，做圆周运动的向心力应不大于最大静摩擦力所以F向mr2maxkmg解得max kg/r 5 rad/s.答案(1)1.6 N方向沿半径指向圆心(2)5 rad/s3在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108 km/h.
13、汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍(1)如果汽车在这种高速公路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？(2)如果高速公路上设计了圆弧拱形立交桥，要使汽车能够以设计时速安全通过圆弧拱桥，这个圆弧拱形立交桥的半径至少是多少？(取g10 m/s2)解析(1)汽车在水平路面上拐弯，可视为汽车做匀速圆周运动，其向心力由车与路面间的静摩擦力提供，当静摩擦力达到最大值时，由向心力公式可知这时的半径最小，有Fmax0.6mgmV2/rmin，由速度v108 km/h30 m/s得，弯道半径rmin150 m.(2)汽车过拱桥，可看做在竖直平面内做匀
14、速圆周运动，到达最高点时，根据向心力公式有 mgFNmV2/R.为了保证安全通过，车与路面间的弹力FN必须大于等于零，有mgmv2/R，则R90 m.4 4图图16甲所示，甲所示，m为在水平传送带上被传送的小物为在水平传送带上被传送的小物体体(可视为质点可视为质点)，A为终端皮带轮已知皮带轮的半径为为终端皮带轮已知皮带轮的半径为r，传送带与皮带轮间不会打滑当传送带与皮带轮间不会打滑当m可被水平抛出时，可被水平抛出时，A轮每秒轮每秒的转数最少为的转数最少为()图图16甲甲A B C D12grgrgr12gr【 解 析 】【 解 析 】 m 到 达 皮 带 轮 的 顶 端 时到 达 皮 带 轮
15、的 顶 端 时 , 若若m = mg+FNmg,表示表示m受到的重力小于受到的重力小于(或等于或等于)m沿皮带轮表面做圆周运动的沿皮带轮表面做圆周运动的向心力，所以当向心力，所以当v 时时 m将离开皮带轮的外表面而做平抛将离开皮带轮的外表面而做平抛运动运动.又因为转数又因为转数n所以当所以当v ，即转数，即转数n 时时,m可被水平抛出，可被水平抛出，故选项故选项A正确正确2rv22r vgr12grgr跟踪训练 4如图所示， 两个用相同材料制成的靠摩擦转动的轮 A 和 B 水平放置，两轮半径 RA2RB.当主动轮 A 匀速转动时， 在 A 轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在 A 轮边缘上若将小
16、木块放在 B 轮上，欲使木块相对 B 轮也静止，则木块距 B 轮转动轴的最大距离为() 5.如图所示是用以说明向心力和质量、半径如图所示是用以说明向心力和质量、半径之间关系的仪器，球之间关系的仪器，球P和和Q可以在光滑水平杆上可以在光滑水平杆上无摩擦地滑动，两球之间用一条轻绳连接无摩擦地滑动，两球之间用一条轻绳连接(图中图中未画出未画出)，mP2mQ当整个装置绕中心轴以角当整个装置绕中心轴以角速度速度匀速旋转时，两球离转轴的距离保持不匀速旋转时，两球离转轴的距离保持不变，则此时变，则此时()A两球均受到重力、支持力、绳的拉力和向两球均受到重力、支持力、绳的拉力和向心力四个力的作用心力四个力的作
17、用BP球受到的向心力大于球受到的向心力大于Q球受到的向心力球受到的向心力CrP一定等于一定等于rQ/2D当当增大时，增大时，P球将球将向外运动向外运动 答案C 解析绳的拉力提供向心力，向心力是一个效果力， 在分析物体受力时要分析性质力，A项错； 同一根绳上张力相等，所以P球受到的向心力等于Q球受到的向心力，B项错； 对两球而言，角速度相同， 有：mP2rPmQ2rQ， 所以rP一定等于rQ/2，C项正确； 当增大时，两球受到绳的张力都增大， 仍会使FTmP2rPmQ2rQ， 所以球不会向外运动，D项错(1)求这段时间内悬索对被困人员求这段时间内悬索对被困人员B的拉力大小；的拉力大小；(2)求在
18、求在5 s末被困人员末被困人员B的速度大小及位移大小；的速度大小及位移大小；(3)直升机在直升机在t5 s时停止收悬索时停止收悬索,但发现仍然未脱离洪但发现仍然未脱离洪水围困区水围困区,为将被困人员为将被困人员B尽快运送到安全处尽快运送到安全处,飞机在飞机在空中旋转后静止在空中寻找最近的安全目标空中旋转后静止在空中寻找最近的安全目标,致使被致使被困人员困人员B在空中做圆周运动在空中做圆周运动,如图乙所示如图乙所示.此时悬索与此时悬索与竖直方向成竖直方向成37角角,不计空气不计空气阻力阻力,求被困人员求被困人员B做圆周运做圆周运动的线速度以及悬索对被困动的线速度以及悬索对被困人员人员B的拉力的拉
19、力.(sin 370.6,cos 370.8)作业1 在一次抗洪救灾工作中，一架直升机在一次抗洪救灾工作中，一架直升机A用长用长H50 m的悬索的悬索(重力可忽略不计重力可忽略不计)系住一质量系住一质量m50 kg的被困人员的被困人员B，直升机直升机A和被困人员和被困人员B以以v010 m/s的速度一起沿水平方向匀的速度一起沿水平方向匀速运动，如图甲所示某时刻开始收悬索将人吊起，在速运动，如图甲所示某时刻开始收悬索将人吊起，在5 s时时间内，间内，A、B之间的竖直距离以之间的竖直距离以l50t2(m)的规律变化，取的规律变化，取g10 m/s2.2如图所示，甲、乙两水平圆盘紧靠在一块，如图所示
20、，甲、乙两水平圆盘紧靠在一块，甲圆盘为主动轮，乙靠摩擦随甲转动无滑动，甲圆盘为主动轮，乙靠摩擦随甲转动无滑动，甲圆盘与乙圆盘的半径之比为甲圆盘与乙圆盘的半径之比为r甲甲 r乙乙3 1，两圆盘和小物体两圆盘和小物体m1、m2之间的动摩擦因数相之间的动摩擦因数相同，同，m1距距O点为点为2r，m2距距O点为点为r，当甲缓慢，当甲缓慢转动起来且转速慢慢增加时转动起来且转速慢慢增加时()A滑动前滑动前m1与与m2的角速度之比的角速度之比 1 23 1B滑动前滑动前m1与与m2的向心加速度之比的向心加速度之比 a1 a21 3C随着转速慢慢增加，随着转速慢慢增加， m1先开始滑动先开始滑动D随着转速慢慢
21、增加，随着转速慢慢增加， m2先开始滑动先开始滑动13如图所示，装置如图所示，装置BOO可绕竖直轴可绕竖直轴OO转动，可视为质点的小球转动，可视为质点的小球A与两与两细线连接后分别系于细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线两点，装置静止时细线AB水平，细线水平，细线AC与与竖直方向的夹角竖直方向的夹角37。已知小球的质量。已知小球的质量m1 kg，细线，细线AC长长l1 m，B点距点距C点的水平和竖直距离相等。点的水平和竖直距离相等。(重力加速度重力加速度g取取10 m/s2)(1)若装置匀速转动的角速度为若装置匀速转动的角速度为1时，细线时，细线AB上的张力为上的张力为0而细线而细线A
22、C与竖与竖直方向的夹角仍为直方向的夹角仍为37，求角速度，求角速度1的大小；的大小；(2)若装置匀速转动的角速度若装置匀速转动的角速度2 rad/s，求细线，求细线AC与与竖直方向的夹角。竖直方向的夹角。（3）装置可以以不同的角速度匀速转动，试通过计算在坐标图）装置可以以不同的角速度匀速转动，试通过计算在坐标图19中画出中画出细线细线AC上张力上张力T随角速度的平方变化的关系图像随角速度的平方变化的关系图像因为B点距C点的水平和竖直距离相等，所以，当时，细线AB恰好竖直，且时细线AB松弛，细线AC上张力的水平分量等于小球做圆周运动需要的向心力： 2分时，细线在竖直方向绷直，仍然由细线AC上张力
23、的水平分量提供小球解析：选D.由题意可知，线速度v甲v乙，又r甲 r乙3 1，则甲 乙1 3，m1、m2随甲、乙运动1甲，2乙，则1 21 3，故A错；由ar2得a12r2r，a2rr，a1 a22 2 9，故B错；m1、m2所受向心力由摩擦力提供，则a1Ff1/m1，a2Ff3/m2，Ff1maxm1g，Ff2maxm2g，a1g，a2g，又a1 a22 9，故m2先滑动，选D.解析：(1)当细线AB上的张力为0时，小球的重力和细线AC张力的合力提供小球圆周运动的向心力，有：mgtan 37m12lsin 37解得：1 rad/s(2)当2 rad/s时，小球应该向左上方摆起，假设细线AB上
24、的张力仍然为0，则：mgtan m22lsin 解得：cos ，53因为B点距C点的水平和竖直距离相等，所以，当53时，细线AB恰好竖直，且tan 53说明细线AB此时的张力恰好为0，故此时细线AC与竖直方向的夹角为53。答案：(1) rad/s(2)53作业1如图所示，在水平地面上固定一如图所示，在水平地面上固定一倾角倾角37，表面光滑的斜面体，物，表面光滑的斜面体，物体体A以以v16 m/s的初速度沿斜面上滑，的初速度沿斜面上滑，同时在物体同时在物体A的正上方，有一物体的正上方，有一物体B以以某一初速度水平抛出。如果当某一初速度水平抛出。如果当A上滑到上滑到最高点时恰好被最高点时恰好被B物
25、体击中。物体击中。A、B均均可看作质点可看作质点(g取取10 m/s2)。求：。求：(1)物体物体A上滑到最高点上滑到最高点所用的时间；所用的时间；(2)物体物体B抛出时的初速度抛出时的初速度v2；(3)物体物体A、B间初始位置的间初始位置的高度差高度差h。解析：(1)物体A上滑过程中，由牛顿第二定律得：mgsin ma代入数据得：a6 m/s2设物体A滑到最高点所用时间为t，由运动学公式：0v1at解得：t1 s(2)物体B平抛的水平位移：xv1tcos 372.4 m物体B平抛的初速度：v22.4 m/s(3)物体A、B间的高度差：hhAhBv1tsin 37gt26.8 m答案：(1)1 s(2)2.4 m/s(3)6.8 m
