1、 单向复合材料是各向异性的非均质体，而其组分材料（纤维和基体）单向复合材料是各向异性的非均质体，而其组分材料（纤维和基体）可视为均质的、各向同性的。纤维具有高的强度和刚度，作为承载的主可视为均质的、各向同性的。纤维具有高的强度和刚度，作为承载的主体；纤维是密实的，性能比较稳定。基体的力学性能较弱，但对复合材体；纤维是密实的，性能比较稳定。基体的力学性能较弱，但对复合材料的结构完整性起着重要作用。通常基体中包含着孔隙，复合材料的强料的结构完整性起着重要作用。通常基体中包含着孔隙，复合材料的强度与孔隙含量亦有密切关系。另外，纤维与基体之间的界面结合完好性度与孔隙含量亦有密切关系。另外，纤维与基体之
2、间的界面结合完好性对复合材料的力学性能亦有影响。然而基体中的孔隙含量和界面黏结程对复合材料的力学性能亦有影响。然而基体中的孔隙含量和界面黏结程度都可通过制造工艺来控制。为了简明分析组分材料与复合材料之间的度都可通过制造工艺来控制。为了简明分析组分材料与复合材料之间的力学关系，本章采用的细观力学方法须有如下的力学关系，本章采用的细观力学方法须有如下的基本假设基本假设：（1 1）复合材料单层是宏观均质的、线弹性的、正交各向异性的，且无初）复合材料单层是宏观均质的、线弹性的、正交各向异性的，且无初应力；应力；（2 2）增强材料（纤维）是均质的、线弹性的、各向同性（玻璃纤维）或）增强材料（纤维）是均质
3、的、线弹性的、各向同性（玻璃纤维）或横向各向同性的（石墨纤维、硼纤维），且分布规则；横向各向同性的（石墨纤维、硼纤维），且分布规则；（3 3）基体材料是均质的、线弹性的、各向同性的，孔隙可忽略不计；）基体材料是均质的、线弹性的、各向同性的，孔隙可忽略不计；（4 4）界面黏结完好，无缺陷。）界面黏结完好，无缺陷。 8.1 8.1 细观力学的基本假设细观力学的基本假设 为了对复合材料进行细观力学研究，必须建立合理的分析模型，这种模为了对复合材料进行细观力学研究，必须建立合理的分析模型，这种模型是从复合材料中选取的一种体积单元。取出的典型单元必须小得足以表示型是从复合材料中选取的一种体积单元。取出的
4、典型单元必须小得足以表示材料的细观结构特征，而且又要大到足以代表复合材料的全部物理性能。这材料的细观结构特征，而且又要大到足以代表复合材料的全部物理性能。这种简化的单元体称为代表性体积单元（种简化的单元体称为代表性体积单元（RVE），如图），如图8.1所示。所示。RVE选定后，选定后，边界条件也就确定了。边界条件必须与复合材料内的真实条件相同，于是可边界条件也就确定了。边界条件必须与复合材料内的真实条件相同，于是可以由代表性体积单元估算出复合材料的力学性能。以由代表性体积单元估算出复合材料的力学性能。图图8.1 代表性体积单元（代表性体积单元（RVE） 纤维与基体的相对比例是决定复合材料性能的
5、重要因素，常用质量分数和纤维与基体的相对比例是决定复合材料性能的重要因素，常用质量分数和体积分数表示各相材料所占的比例。长为体积分数表示各相材料所占的比例。长为l，横截面为，横截面为A的代表性体积单元，其的代表性体积单元，其质量为质量为m，密度为，密度为 ；该单元的纤维质量为；该单元的纤维质量为mf，密度为，密度为 f；基体质量为；基体质量为mm，密度，密度为为 m；纤维和基体的横截面分别为；纤维和基体的横截面分别为Af和和Am。则有关系式。则有关系式mfmmmlAlAAlmf（8.1）（8.2）由式（由式（8.2）可得出组分材料的体积分数关系式为）可得出组分材料的体积分数关系式为1mf（8.
6、3）上式中，上式中， f 是纤维的体积分数：是纤维的体积分数： f =Af/A； m是基体的体积分数：是基体的体积分数： m =Am/A。按照密度定义，即有按照密度定义，即有由以上公式可得由以上公式可得mmffmmmfffmfAlAAmAlAAmlAmlAmlAm（8.4） lAmlAmAlmmmmfff,这是复合材料的这是复合材料的密度混合律。密度混合律。8.2 8.2 材料主方向工程弹性常数的细观预测材料主方向工程弹性常数的细观预测 在复合材料细观力学分析中，首先以复合材料单层作为典型的研究对象，在复合材料细观力学分析中，首先以复合材料单层作为典型的研究对象，选择合理的选择合理的RVE，建
7、立简化分析模型，用以预测复合材料材料主方向的工程，建立简化分析模型，用以预测复合材料材料主方向的工程弹性常数。细观力学中采用的基本假设是：弹性常数。细观力学中采用的基本假设是：纤维和基体沿纤维方向的变形相纤维和基体沿纤维方向的变形相同同，且为平面应力状态。下面讨论用材料力学方法确定复合材料的工程弹性，且为平面应力状态。下面讨论用材料力学方法确定复合材料的工程弹性常数。常数。 从复合材料单层中切取一个典型的从复合材料单层中切取一个典型的RVE，如图，如图8.2所示，细观结构特征所示，细观结构特征为：一根纤维被部分基体所包围，长度为为：一根纤维被部分基体所包围，长度为l、宽度为、宽度为w、厚度为、
8、厚度为t；该单元的；该单元的纤维体积分数与复合材料相同。方便于分析，再将单元简化为图纤维体积分数与复合材料相同。方便于分析，再将单元简化为图8.2（b）所）所示，即把纤维的圆形截面改成矩形，并保持截面积相等。则有示，即把纤维的圆形截面改成矩形，并保持截面积相等。则有wwAAwwAAwwwmmmfffmf,图图8.2 8.2 复合材料单层中的代表性体积单元复合材料单层中的代表性体积单元一、纵向弹性模量一、纵向弹性模量EL和主泊松比和主泊松比vLT设代表性体积单元体在设代表性体积单元体在1方向受到单向拉伸，伸长量为方向受到单向拉伸，伸长量为 l (见图见图8.3)。根据根据等应变假设等应变假设，假
9、定纤维和基体沿纤维方向（，假定纤维和基体沿纤维方向（1方向）的应变相同，方向）的应变相同，均与复合材料的纵向应变均与复合材料的纵向应变 1相等，则有相等，则有llmf1（8.5） 图图8.3 代表性体积单元体代表性体积单元体1方向方向拉伸示意图拉伸示意图根据胡克定律，纤维应力根据胡克定律，纤维应力 f 和基体应力和基体应力 m 可表示为可表示为:11,mmffEE由由静力平衡关系静力平衡关系，可得单元受到的合力为，可得单元受到的合力为mmffAAF1于是单元的平均应力于是单元的平均应力 1为为mmmfffmmffmmffEEAAAAAF11根据根据纵向弹性模量纵向弹性模量EL表示表示的胡克定律
10、的胡克定律，即，即 lLE1可得复合材料沿纤维方向的可得复合材料沿纤维方向的表观弹性模量表观弹性模量为为fmffmmffLEEEEE1（8.6） 这就是复合材料沿纤维方向的这就是复合材料沿纤维方向的弹性模量混弹性模量混合律合律。EL与与 f具有具有线性关系线性关系，当，当 f由由01变化时，变化时，EL从从EmEf按线性变化，如图按线性变化，如图8.4所示。所示。 图图8.4 EL和和 f的关系的关系 假设代表性体积单元长度为假设代表性体积单元长度为l，宽度为宽度为w，而且，而且w=wf+wm(见图见图8.3)。当单。当单元体在元体在1方向受到拉伸时，引起纤维和基体的横向应变（方向受到拉伸时，
11、引起纤维和基体的横向应变（2方向）分别为方向）分别为112112,mmmmffff式中，式中，vf 和和 vm分别是分别是纤维和基体的泊松比纤维和基体的泊松比。单元的单元的横向变形横向变形w可以表示为可以表示为122mmffmmffmfwwwwwww则单元的横向应变为则单元的横向应变为112mmffmmffwwwwww由此可得复合材料的由此可得复合材料的主泊松比主泊松比 图图8.3 代表性体积单元体代表性体积单元体1方向拉伸示意图方向拉伸示意图fmffmmffLTv112主泊松比主泊松比vLT也服从混合律。也服从混合律。vLT与与 f具有线性具有线性关系关系，如图，如图8.5所示。所示。图图8
12、.5 vLT和和 f的关系的关系 二、横向弹性模量二、横向弹性模量ET图图8.6 代表性体积单元体代表性体积单元体2方向拉伸示意图方向拉伸示意图当代表性体积单元体在当代表性体积单元体在2方向受到单向拉伸时，横向方向受到单向拉伸时，横向变形为变形为 w，如图，如图8.6所示。根据沿所示。根据沿2方向的平衡条件，方向的平衡条件，纤维和基体必然承受相同的横向应力，均等于单元受纤维和基体必然承受相同的横向应力，均等于单元受到的横向应力到的横向应力，有，有222mf（8.8） 纤维和基体的横向应变为纤维和基体的横向应变为 mmffEE2222,单元的横向变形是纤维和基体的变形之和，则有单元的横向变形是纤
13、维和基体的变形之和，则有mmffmfwwwww22于是单元的于是单元的横向应变横向应变 2为为mmmfffmmffEEwwwwww22222引入横向弹性模量引入横向弹性模量ET，可建立单元的应变与应力关系为：，可建立单元的应变与应力关系为：TE22由以上各式可将复合材料的由以上各式可将复合材料的表观横向弹性模量表观横向弹性模量ET表示为：表示为：mfffmmffTEEEEE11式（式（8.9）表示沿）表示沿2方向的方向的弹性模量倒数（柔量）满足混合律弹性模量倒数（柔量）满足混合律，该式可改写，该式可改写成无量纲形式，即成无量纲形式，即（8.9） fmfmfmfmTEEEEEE/111/1（8.
14、10） 对于不同的弹性模量比对于不同的弹性模量比Ef/Em，按式，按式(8.10)确定的确定的ET/Em随随 f 的变化曲线如图的变化曲线如图8.7所示，在表所示，在表8.1中列出中列出ET/Em的一些数值。显然，要使横向弹性模量提高到基的一些数值。显然，要使横向弹性模量提高到基体模量的体模量的2倍，需要倍，需要50%以上的纤维体积分数。所以，一般纤维增强复合材料以上的纤维体积分数。所以，一般纤维增强复合材料的纤维体积分数都比较高。的纤维体积分数都比较高。图图8.7 ET/Em与与 f关系关系 表表8.1 ET/Em值值 fEm / Ef11/21/51/101/1000111110.211.
15、111.191.221.250.311.181.321.371.420.411.251.471.561.660.511.331.671.821.980.611.431.922.172.460.711.542.272.703.250.811.672.273.574.801.012510100 上述确定横向弹性模量上述确定横向弹性模量ET时没有考虑时没有考虑纤维与基体之间的变形协调纤维与基体之间的变形协调。通常纤。通常纤维和基体的泊松比不同，沿维和基体的泊松比不同，沿1方向的应变也不同，引起纤维与基体在界面处变方向的应变也不同，引起纤维与基体在界面处变形不一致，这不符合实际情况（实际相同）。为了克
16、服上述模型的缺点，可形不一致，这不符合实际情况（实际相同）。为了克服上述模型的缺点，可假假定沿定沿1方向纤维与基体的应变相等方向纤维与基体的应变相等，即，即 11mf（8.11） 为了保证变形协调，纤维和基体均为二向应力状态。当为了保证变形协调，纤维和基体均为二向应力状态。当典型单元只在典型单元只在2方向拉伸时（见图方向拉伸时（见图8.6），考虑到），考虑到复合材复合材料沿料沿1方向的合力为零，也就是应力方向的合力为零，也就是应力 1为零为零，则有，则有0111222mmffmf（8.12） 沿沿1方向的纤维和基体的应变为方向的纤维和基体的应变为21121111mmmmmfffffEE（8.1
17、3） 由式（由式（8.11）式式(8.13)，可求解出沿，可求解出沿1方向纤维和基体的应力为方向纤维和基体的应力为2121fmmffmffmmmmmfffmmffEEEEEEEE（8.14） 沿沿2方向的纤维和基体的应变为方向的纤维和基体的应变为12212211mmmmffffEE（8.15） 典型单元体的横向应变典型单元体的横向应变 2为为mmffTE2222（8.16） 由式由式(8.14)式式(8.16)，可得出复合材料的表观横向弹性模量，可得出复合材料的表观横向弹性模量ET的表达式为的表达式为ffmmfmmfmmmmmffmfmfmfmfmmffmfmmffTEEEEEEEEEEEEE
18、EEE11212222（8.17） 对于常用的纤维增强聚合物基复合材料，一般有对于常用的纤维增强聚合物基复合材料，一般有1, 1ffmmfmmfEEEE则式（则式（8.17）可简化为）可简化为 211mmmffTEEE（8.18） 可把上式改写无量纲形式，即可把上式改写无量纲形式，即21/1mmfmfmTEEEE（8.19） 由于碳纤维很细，单丝直径为由于碳纤维很细，单丝直径为57 m，一般不能直接用单丝制备复合材料，一般不能直接用单丝制备复合材料，而是采用加捻后的纤维束，这样会使基体刚度增大。因此，要对计算而是采用加捻后的纤维束，这样会使基体刚度增大。因此，要对计算ET的公的公式（式（8.1
19、9）作如下修正，即）作如下修正，即21/1mmfmfmTEEEE式中式中21mmmEE三、面内剪切弹性模量三、面内剪切弹性模量GLT 在在1O2平面内，对代表性体积单元体进行剪切试验，如图平面内，对代表性体积单元体进行剪切试验，如图8.8（a）所示；）所示；单元体的变形如图单元体的变形如图8.8(b)所示。可确定所示。可确定面内剪切模量面内剪切模量GLT。根据。根据平衡条件平衡条件，纤，纤维和基体中的切应力必须相等，且等于复合材料受到的切应力维和基体中的切应力必须相等，且等于复合材料受到的切应力 ，即，即mf（8.20） 因此，纤维和基体的切应变可表示为因此，纤维和基体的切应变可表示为mmff
20、GG,图图8.8 代表性体积单元体纯剪切示意图代表性体积单元体纯剪切示意图单元的单元的总剪切变形总剪切变形 为为mmffmfww所以所以单元的切应变单元的切应变 为为mmmfffmmffGGw单元的切应变与切应力之间的关系为单元的切应变与切应力之间的关系为LTG由以上各式，可得复合由以上各式，可得复合材料的材料的表观面内剪切弹表观面内剪切弹性模量性模量的表达式为：的表达式为：mfffmmffLTGGGGG11（8.21） 这是复合材料的这是复合材料的剪切模量倒数混合律剪切模量倒数混合律。上式亦可表示成无量纲形式，即上式亦可表示成无量纲形式，即fmmmfmfmLTGGGGG/111/1（8.22
21、） 这与横向弹性模量这与横向弹性模量ET的表达式相似，的表达式相似，GLT/Gm随随 f的变化曲线如图的变化曲线如图8.9所示。所示。GLT/Gm随随 f的变化曲线如图的变化曲线如图8.9所示。所示。图图8.9 GLT/GM与与 f的关系的关系一、弹性力学的极值法一、弹性力学的极值法 保尔（保尔（Paul）首先用极值法分析了颗粒增强复合材料，该方法也可用于）首先用极值法分析了颗粒增强复合材料，该方法也可用于纤维增强复合材料。先陈述常用的最小总势能原理和最小总余能原理。纤维增强复合材料。先陈述常用的最小总势能原理和最小总余能原理。 设弹性体的体积为设弹性体的体积为V，体力为，体力为Fi；表面为；
22、表面为S=ST+Su，在，在ST上给定面力上给定面力Ti，在在Su上给定位移上给定位移 。真实的位移场。真实的位移场ui（或应变场（或应变场 ij）和应力场）和应力场 ij所对应弹性所对应弹性的总势能的总势能II 和总余能和总余能II ，定义为，定义为8.3 工程弹性常数极限分析工程弹性常数极限分析 上节通过建立简单的细观力学分析模型，用材料力学方法求解了单向复上节通过建立简单的细观力学分析模型，用材料力学方法求解了单向复合材料的工程弹性常数。由于采取了某些假设，其结果就有一定的近似性。合材料的工程弹性常数。由于采取了某些假设，其结果就有一定的近似性。因此，有必要对工程弹性常数作进一步的讨论，
23、以便说明所得近似解的有效因此，有必要对工程弹性常数作进一步的讨论，以便说明所得近似解的有效性和精确性。通常利用性和精确性。通常利用极值法对复合材料进行分析极值法对复合材料进行分析，即用，即用弹性理论中的能量弹性理论中的能量极值原理极值原理来确定复合材料来确定复合材料工程弹性常数的上、下限工程弹性常数的上、下限。 一、弹性力学的极值法一、弹性力学的极值法iu TSiiViiijijdSuTdVuFUuSiiijijdSuTU（8.23）对于线弹性体，应变能对于线弹性体，应变能U 与应力能与应力能U （余能）相等，即（余能）相等，即 （8.24） VVijijijijijijdVdVUUU1212
24、131323233322112121,（8.25） 最小总势能原理最小总势能原理认为，在所有满足位移边界条件的位移场中，真实的位认为，在所有满足位移边界条件的位移场中，真实的位移场使弹性体的总势能最小值，即移场使弹性体的总势能最小值，即 00ijij（8.26） 二、用最小总余能原理确定纵向弹性模量的下限二、用最小总余能原理确定纵向弹性模量的下限 设复合材料单元体只在纵向（设复合材料单元体只在纵向（1方向）受有正应力方向）受有正应力 ，其余应力均为零，其余应力均为零，即单元体的宏观真实应力场（按平均应力）可表示为即单元体的宏观真实应力场（按平均应力）可表示为0,231312321 令令ui0为
25、许可位移场，相应的为许可位移场，相应的 ij0为为许可应变场许可应变场，能满足，能满足Su上的位移边界条上的位移边界条件；件； ij0为为静力许可应力场静力许可应力场，能满足平衡方程和，能满足平衡方程和ST上的应力边界条件。由许上的应力边界条件。由许可变形场（可变形场（uij0, ij0）所对应的总势能记为）所对应的总势能记为 z0；由许可应力场（；由许可应力场（sij0）所对应）所对应的总余能记为的总余能记为 ij0。 00ijij(8.27) 最小总余能原理认为，在所有满足平衡方程和应力边界条件的应力场最小总余能原理认为，在所有满足平衡方程和应力边界条件的应力场中，真实的应力场使弹性的总余
26、能取最小值，即中，真实的应力场使弹性的总余能取最小值，即 显然该应力场满足显然该应力场满足平衡方程平衡方程，另外单元体的全部边界给定了，另外单元体的全部边界给定了S=ST，Su=0。根据式（。根据式（8.24）和式）和式(8.25)易求出单元体的总余易求出单元体的总余能为能为VLLVijijijVEdVEdV212121221式中，式中，EL是单元体的表观纵向弹性模量，是单元体的表观纵向弹性模量，EL= 1/ 1 设复合材料单元体内（纤维和基体）的静力许可应力场为设复合材料单元体内（纤维和基体）的静力许可应力场为0,023013012030201按式（按式（8.24）和式（）和式（8.25），
27、并取），并取Su=0，可求得两相材料内的许，可求得两相材料内的许可应力场所对应的可应力场所对应的总余能量总余能量为为VijdVE20100121由于由于E在单元体内不是常数，在在单元体内不是常数，在 f体积分数中弹性模量为体积分数中弹性模量为Ef，在在 m体积分数中弹性模量为体积分数中弹性模量为Em，而且，而且 f+ m=1，这样，这样VmmmffmVfVEVEVEdVEdVdVEf1于是于是VEEmmffij2200根据最小总余能原理式（根据最小总余能原理式（8.27），并由以上结果可得），并由以上结果可得LfmmfmfLmmffLEEEEEEEWE或1（8.28） 这就是说，这就是说，fm
28、mfmfLEEEEE是单向复合材料纵向弹性模量是单向复合材料纵向弹性模量EL的下限的下限。注意到。注意到211mfmfmffmmfmfmffmmfmfmfmffmmfmmffEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE则有则有2mffmmfmfLmmffEEEEEE通常通常EfEm，上式第二项比较大而不可忽略。因此，上式第二项比较大而不可忽略。因此，由极值由极值法求得法求得EL的下限的下限EL0与材料力学方法所确定的与材料力学方法所确定的EL值有明显差异值有明显差异。三、用最小总势能原理确定纵向弹性模量的上限三、用最小总势能原理确定纵向弹性模量的上限设复合材料单元体只在纵向（设复合材料单元体只在纵
29、向（1方向）承受有单轴正应力方向）承受有单轴正应力 ，使，使其发生了均匀应变；设单元体无体力，其发生了均匀应变；设单元体无体力，Fi=0。简单应力状态下。简单应力状态下单元体的宏观真实应变场可表示为单元体的宏观真实应变场可表示为0,231222LTLlE设单元体在此简单应力应变场下的全部边界的位移已确定，另设单元体在此简单应力应变场下的全部边界的位移已确定，另外，已给定了单元体部位移边界条件，外，已给定了单元体部位移边界条件，S=Su，ST=0。根据式。根据式（8.23）和（）和（8.25）易求出单元体的总势能为）易求出单元体的总势能为 VEdVEdVLVLVijijij221212121设复
30、合材料单元体内（纤维和基体）的许可应变场为设复合材料单元体内（纤维和基体）的许可应变场为0,023013012030201LT该许可应变场所对应的纤维和基体应力可按该许可应变场所对应的纤维和基体应力可按胡克定律胡克定律求得，即求得，即0212121021221210230130122030220102301301220302201mmmmmmLTmmmmmmLTmmmffffffLTffffffLTfffEEEE将这些应变分量和应力分量代入式（将这些应变分量和应力分量代入式（8.23）和式（）和式（8.25），注），注意到意到Fi=0，ST=0，可求出两相材料内的许可应变场所对应的，可求出两相
31、材料内的许可应变场所对应的总总势能为势能为VEdVULVijijijij2002121式中式中mmmmLTLTmmffffLTLTffLEEE22222124121241根据最小总势能原理式（根据最小总势能原理式（8.26），并由以上结果可得），并由以上结果可得vmmffLLEEEEE（8.29） 这就是说，这就是说， vmmffLEEEE是单向复合材料是单向复合材料纵向弹性模量纵向弹性模量EL的上限的上限。上式中。上式中 mmmmmLTfffffLTLTvvEEEE21122112222一般地，一般地， , 5 . 00f5 . 00m；因此，；因此， 0vE。上式中的。上式中的 LT尚未给
32、出，这就使得总势能尚未给出，这就使得总势能 ij0 不能确定。然而，可利用不能确定。然而，可利用 ij0（或（或Ev）的）的极小值条件极小值条件求得求得 LT，即，即 021,02122220220LTvLTLTvLTEVEV由极小值第一条件可得由极小值第一条件可得mmmmmLTfffffLTEE211211显然，显然， LT值介于值介于 f与与 m之间。由上式解得之间。由上式解得 mmffffmmmmffmffmmfLTEEEE211211211211（8.30） 再对再对Ev求二次偏导，可知极小值第二条件必然满足，即求二次偏导，可知极小值第二条件必然满足，即0211211422mmmmff
33、ffLTvEEE由此可见，由式（由此可见，由式（8.30）计算的）计算的主泊松比主泊松比 LT必使必使 ij0取取极小值极小值。 以上利用以上利用极值法极值法求得了单向复合材料求得了单向复合材料纵向弹性模量的上下纵向弹性模量的上下限限。由以上结果可得。由以上结果可得LmmffLEEEE（8.31）因此，由材料力学方法所确定的单向复合材料纵向弹性模量因此，由材料力学方法所确定的单向复合材料纵向弹性模量 mmffLEEE是合理的。是合理的。 用同样的方法，也可以确定其他工程常数的上下限。例如，剪用同样的方法，也可以确定其他工程常数的上下限。例如，剪切模量的上下限为切模量的上下限为mmffLTfmm
34、fmfGGGGGGGGG（8.32） 8.4 8.4 哈尔平哈尔平蔡方程蔡方程 通过对单向复合材料弹性常数的理论预测公式的总结分析，通过对单向复合材料弹性常数的理论预测公式的总结分析，哈尔平哈尔平蔡（蔡（Haipin-Tsai）提出了一个简明而通用的细观力提出了一个简明而通用的细观力学公式，即可按下列公式确定单向复合材料的弹性常数。学公式，即可按下列公式确定单向复合材料的弹性常数。ffmMM11（8.33） 式中式中mfmfMMMM/1/（8.34） M是指所要预测的复合材料弹性常数是指所要预测的复合材料弹性常数EL，ET，GLT，vLT等，等，Mf对应于纤维的弹性模量对应于纤维的弹性模量Ef
35、，Gf或或vf；Mm是指基体的弹性模量是指基体的弹性模量Em，Gm或或vm； 是一个非负数，表示纤维增强效果的一个度量因子，是一个非负数，表示纤维增强效果的一个度量因子，它可以从它可以从0到到 变化变化，其大小取决于纤维的几何形状其大小取决于纤维的几何形状、排列方式、排列方式、加载条件等。由式（加载条件等。由式（8.34）知）知， 0时，由式（时，由式（8.33）和式）和式(8.34)，可得，可得mfmMMMM,这说明了比基体刚度大的纤维对基体有增强作用，使复合材这说明了比基体刚度大的纤维对基体有增强作用，使复合材料的弹性常数比基体的高料的弹性常数比基体的高。当当 Em ， mu fu，如图，
36、如图8.12所示。所示。 这时，这时，复合材料的破坏是由纤维控制的复合材料的破坏是由纤维控制的，其纵向拉伸强度，其纵向拉伸强度Xt按混合律式（按混合律式（8.35）（8.37） fmffutX1,ffumfummmmEEEE则拉伸强度公式可改为则拉伸强度公式可改为ffmffutEEX1minff。 （8.36） 是对应于基体应变等于纤维断裂应变时的基体应力是对应于基体应变等于纤维断裂应变时的基体应力，且有，且有式中，式中， m式中，式中， 可得：可得：这说明这说明 ，即加入了少量纤维的复合材料纵向，即加入了少量纤维的复合材料纵向f较小时，较小时， mutX拉伸强度比纯基体的强度还低，纤维相当于
37、杂质，起拉伸强度比纯基体的强度还低，纤维相当于杂质，起了反作用。这是由于纤维太少，纤维断裂处的基体有了反作用。这是由于纤维太少，纤维断裂处的基体有效面积减小，使得由基体控制复合材料破坏的拉伸强效面积减小，使得由基体控制复合材料破坏的拉伸强度降低的缘故。按式（度降低的缘故。按式（8.36）和式（）和式（8.38）画出）画出Xt随随 f变化的曲线如图变化的曲线如图8.13所示。两条直线的交点对应于所示。两条直线的交点对应于 fmin ，其值由下式确定：其值由下式确定： minminmin11fmufmffu当纤维体积分数较小时，当纤维体积分数较小时， minff，在低载荷下纤维就会，在低载荷下纤维
38、就会被拉断。在纤维被全部拉断后，基体将继续承受载荷，此时被拉断。在纤维被全部拉断后，基体将继续承受载荷，此时复合材料的破复合材料的破坏就由基体控制坏就由基体控制，其纵向拉伸强度为，其纵向拉伸强度为 fmutX1（8.38） 图图8.13 Xt 随随 f 的变化的变化fmffutX1（8.36） 即即mmufummufmin（8.39） mmufumufutXmin（8.40） 显然，显然， fmin对应于复合材料拉伸强度的最小值对应于复合材料拉伸强度的最小值Xtmin ，按下式确定：按下式确定：由图由图8.13可知，欲使纤维能起到增强作用，获得可知，欲使纤维能起到增强作用，获得高于基体强度的复
39、合材料，则高于基体强度的复合材料，则 f 应该大于纤维临应该大于纤维临界体积分数界体积分数 fcr ，其值由下式确定：，其值由下式确定：mufcrmfcrfu1即即mfummufcr（8.41） 对于常用的纤维增强聚合物基复合材料，基体对于常用的纤维增强聚合物基复合材料，基体强度很低，强度很低， 因此很小，所以其纤维体积因此很小，所以其纤维体积fumufcrfcr的值。的值。 mmufumufutXmin（8.40） 图图8.13 Xt随随 f的变化的变化fmffutX1分数都大于分数都大于）的复合材料，易发生界面脱黏或）的复合材料，易发生界面脱黏或对于纤维体积分数高（对于纤维体积分数高（ m
40、axff基体开裂，使复合材料的拉伸强度不随基体开裂，使复合材料的拉伸强度不随 f增加而提高，反而有下降趋势增加而提高，反而有下降趋势当纤维体积分数过大时，制备工艺上不能保证组分材料分布均匀，就会有当纤维体积分数过大时，制备工艺上不能保证组分材料分布均匀，就会有缺陷形成，导致复合材料强度下降。因此，复合材料的纤维体积分数应适缺陷形成，导致复合材料强度下降。因此，复合材料的纤维体积分数应适当大（当大（0.5 f Gm），计算中忽略纤维的剪切变形。纤维受压时的变形具有周期性，），计算中忽略纤维的剪切变形。纤维受压时的变形具有周期性，呈现正弦波形屈曲。由于纤维很细，波长也就较短。设纤维的屈曲形状为呈现
41、正弦波形屈曲。由于纤维很细，波长也就较短。设纤维的屈曲形状为 , 3, 2,1sinnlxnauny（8.42） 分别计算出纤维发生微屈曲时的分别计算出纤维发生微屈曲时的纤维应变能增量纤维应变能增量 Uf和和基体应变能量基体应变能量 Um以及以及外力功增量外力功增量 W，其功，其功能关系为能关系为mfUUW（8.43） 以此关系式来确定纤维微屈时的临界载荷。以此关系式来确定纤维微屈时的临界载荷。 1. 拉压型屈曲模型拉压型屈曲模型 在纤维反向屈曲时，基体中产生横向（拉、压）应变。假定基体的横向在纤维反向屈曲时，基体中产生横向（拉、压）应变。假定基体的横向应变应变 my与坐标与坐标y无关，则应变
42、无关，则应变 my可表示为可表示为 lxnwawumnmymysin22设基体处于单向应力状态，则横向应力设基体处于单向应力状态，则横向应力 my为为lxnwaEEmnmmymmysin2于是可得到于是可得到基体的应变能量增量基体的应变能量增量为为lnmmmnmVmymymaEwldxlxnwaEdVUm0222sin42121（8.44） 利用屈曲杆的变形公式，计算利用屈曲杆的变形公式，计算纤维屈曲后的应变能增量纤维屈曲后的应变能增量为为234422204821nffylfffaElwndxdxudIEU（8.45） 式中，式中，If为纤维的截面惯性矩为纤维的截面惯性矩 12/3ffwI 利
43、用利用屈曲杆的外力功公式屈曲杆的外力功公式，计算纤维屈曲后单元体的外力功增量为，计算纤维屈曲后单元体的外力功增量为 22440222482nfflyaElwndxdxudPlPW（8.46）再根据再根据功能关系（功能关系（8.43），可得，可得纤维屈曲时的临界应力纤维屈曲时的临界应力为为mffmfffcrwwEnlEnlwE34242224812（8.47） 式中，式中，n的取值应使的取值应使 fcr最小最小。由于纤维很细，。由于纤维很细，l wf ，通常，通常n是相当大的整是相当大的整数。因此，可按连续函数求出上式的极小值数。因此，可按连续函数求出上式的极小值 (n近似为连续变量近似为连续变
44、量)，即，即0, 022dnddndfcrfcr将式（将式（8.47）代入，可得）代入，可得mffmfmffmwEwEwlwwElEn31248223442再将此结果代入式（再将此结果代入式（8.47），得到），得到纤维屈曲临界应力纤维屈曲临界应力为为mffmfmffmffcrEEEwEwEE3232（8.48） mfUUW（8.43） 相应的纤维临界应变为相应的纤维临界应变为mffmffcrfcrEEE32（8.49） 单元体受压时，基体也有纵向应变和纵向应力。假定基体与纤维单元体受压时，基体也有纵向应变和纵向应力。假定基体与纤维 沿纤维方向上有相同的应变，即沿纤维方向上有相同的应变，即 f
45、xmx，则加载到临界状态，则加载到临界状态 时的基体纵向应力为时的基体纵向应力为 fcrmmxE（可不考虑纤维屈曲时的基体（可不考虑纤维屈曲时的基体即可得到单向复合材料拉压型微屈引起破坏的纵向压缩强度即可得到单向复合材料拉压型微屈引起破坏的纵向压缩强度Xc为为mffmmmffcEEEEX32（8.50） 对于常用的复合材料，上式的第二项值远小于第一项值，可略去第二项，对于常用的复合材料，上式的第二项值远小于第一项值，可略去第二项，于是得于是得ffmffcEEX132（8.51） 横向拉压应力变化）。根据复合材料的应力混合律式（横向拉压应力变化）。根据复合材料的应力混合律式（8.35），），mm
46、ff1（8.35） 当纤维体积分数当纤维体积分数 f趋于零时，由上式计算的纵向压缩强度趋于零时，由上式计算的纵向压缩强度Xc也趋于零；如果也趋于零；如果 f趋于趋于1时，时， Xc时趋于无限大；显然这两种极端情况不符合实际。因此，利用式时趋于无限大；显然这两种极端情况不符合实际。因此，利用式（8.51）只适用于预测纤维含量适中的复合材料的纵向压缩强度）只适用于预测纤维含量适中的复合材料的纵向压缩强度 。mffmfmffmffcrEEEwEwEE3232（8.48） 2. 剪切型屈曲模型剪切型屈曲模型 在剪切型屈曲中，基体的剪切应变是构成基体在剪切型屈曲中，基体的剪切应变是构成基体应变能的主要因
47、素。由于应变能的主要因素。由于Gf Gm ，所以纤维的剪，所以纤维的剪切变形可以忽略。当单元体受纵向载荷使纤维彼切变形可以忽略。当单元体受纵向载荷使纤维彼此同向屈曲时，基体的剪切变形如图此同向屈曲时，基体的剪切变形如图8.16所示。按所示。按弹性力学的几何方程，写出基体的切应变为弹性力学的几何方程，写出基体的切应变为xuyuyxmxy从图从图8.16可以看出，可以看出， uy不随不随y而变，即有而变，即有 xuuyy再根据变形几何关系，则有再根据变形几何关系，则有，xuwyuwyfxmdxduxuyy因而有因而有xuwwymfmxy1即即dxduymmxy1则基体的切应力为则基体的切应力为dx
48、duGGymmmxymmxy于是基体的应变能增量为于是基体的应变能增量为lymmmyVmmVmxymxymdxdxduwGdVdxduGdVUmm0222222121xuwyuwyfxm22即即，xuwwyuymfx22224nmmmmaGlwnU（8.52） 将式（将式（8.42）代入，）代入，（8.42） 可得可得lxnaunysin式中，式中，ux和和uy分别是基体中某分别是基体中某一点沿一点沿x和和y方向的位移。方向的位移。 纤维屈曲后的应变能量增量纤维屈曲后的应变能量增量 Uf和单元体的外力功增量和单元体的外力功增量 W仍可由式仍可由式（8.45）和或（）和或（8.46）给出。将式（
49、）给出。将式（8.45）、式（）、式（8.46）和式（）和式（8.52）代入功）代入功能关系式（能关系式（8.43），可得），可得纤维同向屈曲时的临界应力纤维同向屈曲时的临界应力为为2212lnwEGffmfmfcr（8.53） 由于纤维的屈服半波长由于纤维的屈服半波长 nl远大于纤维宽度远大于纤维宽度wf ，即，即 fnl，所以，所以 上式右端第二项比第一项小得多，可略去，简化为上式右端第二项比第一项小得多，可略去，简化为 ffmfcrG1（8.54） 相应的纤维临界应变为相应的纤维临界应变为fffmfcrEG1（8.55） 复合材料纵向压缩时，载荷主要由纤维承担，基体承载可以忽略。因此，复
50、复合材料纵向压缩时，载荷主要由纤维承担，基体承载可以忽略。因此，复合材料单向板由剪切型微屈曲引起破坏时，纵向压缩强度合材料单向板由剪切型微屈曲引起破坏时，纵向压缩强度Xc为为fmffcrcGX1（8.56） 当当wf趋于趋于1时，时，Xc将趋于无限大，显然不符合实际。因此，利用式（将趋于无限大，显然不符合实际。因此，利用式（8.56）也只适于预测纤维含量适中的复合材料的纵向压缩强度。也只适于预测纤维含量适中的复合材料的纵向压缩强度。22224nmmmmaGlwnU（8.52）mfUUW（8.43） 由上述两种微屈曲模型预测复合材料纵向压缩强度的理论值通常比实测由上述两种微屈曲模型预测复合材料纵
