1、6.12 向量内积的坐标运算向量内积的坐标运算1122( ,),(,),ax ybxy1.已知 12121212(,),(,)abxxyyabxxyy11(,)axy1.平面向量的坐标运算：复习回顾:AByxByxA则若),(),(. 22211),(1212yyxx注注:向量坐标等于向量坐标等于终点终点坐标减去坐标减去起点起点坐标坐标),(),(2211yxbyxa若标表示：向量平行充要条件的坐. 4:. 3向量平行充要条件.,)0(/babba使存在唯一实数1221/ (0)0ab bx yx y 则一、复习引入.cos;0)2(cos)1(2babababaaaaaaababa；或二、新
2、课讲授二、新课讲授问题问题1 1：),(),(2211yxbyxa已知已知怎样用怎样用ba ,的坐标表示的坐标表示呢？请同学们看下呢？请同学们看下列问题列问题.ba 设设x轴上单位向量为轴上单位向量为，Y轴上单位向量为轴上单位向量为请计算下列式子请计算下列式子：ij=ii=jj=ji=ij），（），（已已知知两两非非零零向向量量2211yxbyxa ，则有，则有轴方向相同的单位向量轴方向相同的单位向量轴和轴和分别为与分别为与，设设yxjijyixa11 jyixb22 ）（）（jyixjyixba2211 2211221221jyyijyxjiyxixx ，1122 j i0 ijji2121
3、yyxxba 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。问题问题2：推导出推导出 的坐标公式的坐标公式.ba （）例例 1 1 已已知知a a= = （5 5， - -7 7）， b b= = （- -6 6， - -4 4），求求a a b b问题问题3：写出，向量平行和垂直的坐标表示式写出，向量平行和垂直的坐标表示式,向量夹角公式的坐标表示式向量夹角公式的坐标表示式.（1）两向量垂直条件的坐标表示）两向量垂直条件的坐标表示0 baba），（），（已已知知两两非非零零向向量量2211yxbyxa 02121 yyxxba注意：与向量垂直的坐标表示
4、区别清楚。注意：与向量垂直的坐标表示区别清楚。(2)两平面向量共线条件的坐标表示两平面向量共线条件的坐标表示babba 使得使得存在唯一的存在唯一的）（0/11221221/0axybxyabx yx y若（ ， ）， （，）， （）例例 1 1 已已知知a a= = （5 5， - -7 7）， b b= = （- -6 6， - -4 4），求求a a b b则实数 为（2 2）已已知知a a = =（3 3，4 4）， b b = =（2 2， - - 1 1），且且（a a + + m mb b ） （a a - - b b ），m m何何值值？则实数 为（3 3）已已知知a a =
5、= （1 1，2 2）， b b = = （n n，1 1），且且（a a+ +2 2b b ）/ / /（2 2a a- - b b ），n n何何值值？（3）向量的长度（模）向量的长度（模）212122yxaa 2121yxa 或或），那那么么，），（，为为（点点的的坐坐标标分分别别的的有有向向线线段段的的起起点点和和终终若若表表示示向向量量2211yxyxa212212）（）（yyxxa 公式）公式）（平面内两点间的距离（平面内两点间的距离（4）两向量的夹角）两向量的夹角baba cos 夹角为夹角为），（），），（两非零向量两非零向量,2211yxbyxa 212121212121yx
6、yxyyxx 例例1.设设a = (3, 1)，b = (1, 2)，求，求a b，|a|，|b|，和和解：解： a b = (3, 1) (1, 2)=3+2=5.|a|=223( 1)10a a |b|=221( 2)5b b cos =52| |210 5a bab所以所以 =45 例例2.已知已知A(1, 2)，B(2, 3)，C( 2, 5)，求证：求证：ABC是直角三角形是直角三角形 证明：证明：AB =(1, 1),AC=(3, 3)所以所以AB AC =3+3=0，即即ABAC， ABC是直角三角形是直角三角形. 例例3. 已知点已知点A（1，2），），B（3，4），），C（5
7、，0），求），求BAC的余弦值。的余弦值。(2,2),AB (4, 2),AC 10cos,10| |AB ACBACABAC 例例4. 已知已知a=(1, 0)，b=(2, 1)，当，当k为何实数时，为何实数时，向量向量kab与与a+3b （1）平行；（）平行；（2）垂直。）垂直。解：解：kab=(k2, 1), a+3b=(7, 3), （1）由向量平行条件得）由向量平行条件得3(k2)+7=0,所以所以k=13（2）由向量垂直条件得）由向量垂直条件得7(k2) 3=0,所以所以k=177(2,3),(1, ),ABACkABC ：在 ABC中，设且是直角三角形变形，求k的值。 这节课我们
8、主要学习了平面向量数量积这节课我们主要学习了平面向量数量积的坐标表示以及运用平面向量数量积性质的坐的坐标表示以及运用平面向量数量积性质的坐标表示解决有关垂直、平行标表示解决有关垂直、平行、长度、角度等几长度、角度等几何问题。何问题。（1）两向量垂直条件的坐标表示）两向量垂直条件的坐标表示02121 yyxxba（2）两向量平行条件的坐标表示）两向量平行条件的坐标表示1 22 1/0a bxyx y1122ax ybxy设 （ ， ） ，（ ， ）（3）向量的长度（模）向量的长度（模）212122yxaa 2121yxa 或或（4）两向量的夹角）两向量的夹角baba cos1 21222221122x x +y y=x +yx +y1122axybxy设（ ， ），（ ， ）布置作业：布置作业： 同步训练同步训练P95 112P95 112
