1、26.1 反比例函数第二十六章 反比例函数 九年级数学下（RJ） 教学课件26.1.1 反比例函数1. 理解并掌握反比例函数的概念. (重点)2. 从实际问题中抽象出反比例函数的概念，能根据已知 条件确定反比例函数的解析式. (重点、难点)学习目标 生活中我们常常通过控制电阻的变化来实现舞台灯光的效果. 在电压 U 一定时，当 R 变大时，电流 I 变小，灯光就变暗，相反，当 R 变小时，电流 I 变大，灯光变亮. 你能写出这些量之间的关系式吗? 当杂技演员表演滚钉板的节目时，观众们看到密密麻麻的钉子，都为他们捏一把汗，但有人却说钉子越多，演员越安全，钉子越少反而越危险，你认同吗？为什么？讲授
2、新课讲授新课反比例函数的概念一 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式.合作探究(1) 京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速 度v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t (单位：h) 的变化而变化；1463.vt(2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草 坪，草坪的长 y (单位：m) 随宽 x (单位：m)的 变化而变化；(3) 已知北京市的总面积为1.68104 km2 ，人均占 有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的 变化而变化.41.68 10.Sn1000.yx 观察以上三个解析式，你觉得它们有什
3、么共同特点？问题：1463vt，1000yx，41.68 10.Sn都具有 的形式，其中 是常数分式分子 (k为常数，k 0) 的函数，叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数.一般地，形如kyx 反比例函数 (k0) 的自变量 x 的取值范围是什么？kyx思考： 因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是所有非零实数. 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围. 例如，在前面得到的第一个解析式 中，t 的取值范围是 t0，且当 t 取每一个确定的值时，v 都有唯一确定的值与其对应.1463vt 反比例函数除了可以用 (k 0) 的形式表示，还有没有
4、其他表达方式？kyx想一想：反比例函数的三种表达方式：(注意 k 0)kyx，1ykx，.xyk下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值.是，k = 3不是不是不是练一练13yx3xy 111yx 31yx21yx是，111k 例1 已知函数 是反比例函数，求 m 的值.2223321mmymmx典例精析解得 m =2.2223321mmymmx方法总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可，如本题中 x 的次数为1，且系数不等于0.解：因为 是反比例函数，所以2m2 + 3m3=1，2m2 + m10.2. 已知函数 是反比例函数，则 k 必须满
5、足 .(2)(1)kkyx1. 当m= 时， 是反比例函数.22myxk2 且 k11练一练确定反比例函数的解析式二例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2时，y=6.(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；提示：因为 y 是 x 的反比例函数，所以设 .把 x=2 和 y=6 代入上式，就可求出常数 k 的值.kyx解：设 . 因为当 x=2时，y=6，所以有 kyx6.2k解得 k =12. 因此 12.yx(2) 当 x=4 时，求 y 的值.解：把 x=4 代入 ，得12yx123.4y 方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：设出含有待定系数的反比例函数解析
6、式，将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；解方程，求出待定系数； 写出反比例函数解析式.已知 y 与 x+1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4.(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x = 7 时，求 y 的值1kyx43 1k161yx162.7 1y 练一练建立简单的反比例函数模型三例3 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算
7、当车速为100km/h 时视野的度数.当 v=100 时，f =40.所以当车速为100km/h 时视野为40度.解：设 . 由题意知，当 v =50时，f =80，kfv80.50k解得 k =4000. 因此 4000.fv所以例4 如图，已知菱形 ABCD 的面积为180，设它的两条对角线 AC，BD的长分别为x，y. 写出变量 y与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数.ABCD解:因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，所以 1180.2ABCDSxy菱形所以变量 y与 x 之间的关系式为 ，它是反比例函数.360yxA. B. C. D.1. 下列函数中，y 是 x 的反比例函数
8、的是 ( )A12yx 21yx 12yx11yx 当堂练习当堂练习2. 生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中， x 和 y 成反比例函数关系的有 ( ) x人共饮水10 kg，平均每人饮水 y kg；底面半径为 x m，高为 y m的圆柱形水桶的体积为10 m3；用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成圆的半径为 y cm；在水龙头前放满一桶水，出水的速度为 x，放满一桶水的时间 yA. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个B3. 填空 (1) 若 是反比例函数，则 m 的取值范围 是 . (2) 若 是反比例函数，则m的取值范 围是 . (3) 若 是反比例函数，则m的取值范
9、围 是 . 1myxm 12m myxm 0 且 m 2212mmmyxm = 14. 已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x = 3时，y =4. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 y=6 时，求 x 的值.解：(1) 设 . 因为当 x = 3时，y =4，kyx4.3k 解得 k =12. 因此，y 关于 x 的函数解析式为 12.yx 所以有 (2) 把 y=6 代入 ，得12yx 126.x 解得 x =2. 5. 小明家离学校 1000 m，每天他往返于两地之间，有 时步行，有时骑车假设小明每天上学时的平均速 度为 v ( m/min )，所用的时间为 t
10、( min ) (1) 求变量 v 和 t 之间的函数关系式； 解： (t0)1000vt(2) 小明星期二步行上学用了 25 min，星期三骑自行 车上学用了 8 min，那么他星期三上学时的平均 速度比星期二快多少？ 1254085 ( m/min )答：他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min.解：当 t25 时， ；10004025v 当 t8 时， .10001258v 能力提升：6. 已知 y = y1+y2，y1与 (x1) 成正比例，y2 与 (x + 1) 成 反比例，当 x=0 时，y =3；当 x =1 时，y = 1，求：(1) y 关于 x 的关系式；解：
11、设 y1 = k1(x1) (k10)， (k20)，221kyx则 .2111kykxx x = 0 时，y =3；x =1 时，y = 1，3=k1+k2 ，2112k ，k1=1，k2=2.21.1yxx (2) 当 x = 时，y 的值.12解：把 x = 代入 (1) 中函数关系式，得 y = 1211.2课堂小结课堂小结建立反比例函数模型用待定系数法求反比例函数解析式 反比例函数：定义/三种表达方式 反比例函数26.1.2 反比例函数的图象和性质第二十六章 反比例函数第1课时 反比例函数的图象和性质学习目标1. 经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的 图象特征和性质的过程 (
12、重点、难点)2. 会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图 象和性质. (重点)3. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题. (重点、 难点) 7 月 30 日，2017 游泳世锦赛在西班牙布达佩斯的多瑙河体育中心落下帷幕. 在 8 天的争夺中，中国代表团不断创造佳绩，以 12 金 12 银 6 铜的成绩排名奖牌榜第二. 孙杨在此次世锦赛中收获了个人世锦赛首枚200 米自由泳金牌. 回顾我们上一课的学习内容，你能写出 200米自由泳比赛中，孙杨游泳所用的时间 t(s) 和游泳速度 v(m/s) 之间的数量关系吗？ 试一试，你能在坐标轴中画出这个函数的图象吗？反比例函数的图象和性质讲授新课
13、讲授新课例1 画反比例函数 与 的图象.合作探究6yx12yx提示：画函数的图象步骤一般分为：列表描点连线. 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0.解：列表如下：x 6543 2 1123456 6yx12yx1 1.2 1.5 2 3 6 6 32 1.5 1.2 12 2.4 3 4 6643 2.4 2O2描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点56xy43211 2 3 4 5 6341561234566yx连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得 的图象6yx12yxx 增大O256xy43211 2 3 4 5 6341561234566yx12y
14、x 观察这两个函数图象，回答问题：思考：(1) 每个函数图象分 别位于哪些象限？(2) 在每一个象限内， 随着x的增大，y 如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？y 减小(3) 对于反比例函数 (k0)，考虑问题(1)(2)， 你能得出同样的结论吗？kyxOxy由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限 它们与 x 轴、y 轴都不相交；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.反比例函数 (k0) 的图象和性质：kyx归纳：1. 反比例函数 的图象大致是 ( ) CyA.xyoB.xoD.xyoC.xyo练一练3yx例2 反比例函数 的图象上有两点 A(x1，y1)，B(x2， y2)，且A，B
15、均在该函数图象的第一象限部分，若 x1 x2，则 y1与y2的大小关系为 ( )A. y1 y2B. y1 = y2C. y1 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；(2) 当 k ”“”或“=”).练一练2yx 例3 已知反比例函数 ，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大，求a的值.271aayax 解：由题意得a2+a7=1，且a1 x2 0，则 y1y2 0.kyx6. 已知反比例函数 y = mxm5，它的两个分支分别在 第一、第三象限，求 m 的值.解：因为反比例函数 y = mxm5 的两个分支分别在第 一、第三象限， 所以有m25=
16、1，m0，解得 m=2.能力提升：7. 点 (a1，y1)，(a1，y2)在反比例函数 (k0) 的图象上，若y1y2，求a的取值范围.kyx 解：由题意知，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而 减小. 当这两点在图象的同一支上时， y1y2，a1a+1， 无解； 当这两点分别位于图象的两支上时， y1y2，必有 y10y2. a10，a+10， 解得：1a1. 故 a 的取值范围为：1a1 反比例函数 (k0)kk 0k 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当 k 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.复习
17、引入问题1 问题2 用待定系数法求反比例函数的解析式一典例精析例1 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如 何变化？解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的 图象位于第一、三象限； 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.(2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5)是否在这个 函数的图象上？122445解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12. kyx62k因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D
18、 不在这个函数的图象上. 所以反比例函数的解析式为 .12yx练一练已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3) (1) 求这个函数的表达式；kyx解： 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)， 把点 A 的坐标代入表达式，得 ，kyx32k 解得 k = 6. 这个函数的表达式为 .6yx(2) 判断点 B (1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的 图象上，并说明理由；解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析 式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C 的坐标满足该解析式， 所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函 数的图象上 (3) 当 3 x 0， 当 x 0 时，y
19、随 x 的增大而减小， 当 3 x 1 时，6 y 2.反比例函数图象和性质的综合二(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围 是什么？Oxy例2 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题：5myx解：因为这个反比例函数图象的一 支位于第一象限，所以另一支 必位于第三象限.由因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m50，解得m5.(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和 点B (x2，y2). 如果x1x2，那么 y1 和 y2 有怎样的 大小关系？解：因为 m5 0，所以在这个函数图象的任一支 上，y 都随 x 的增大而减小，因此当x1x2时
20、， y1y2.练一练 如图，是反比例函数 的图象，则 k 的值可以是 ( )1 kyxA1 B3 C1 D0OxyB反比例函数解析式中 k 的几何意义三1. 在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形， 填写下页表格： 4yx合作探究5123415xyOPP (2，2) Q (4，1)S1的值S2的值 S1与S2的关系猜想 S1，S2 与 k的关系4yx 4 4S1=S2S1=S2=k5432143232451QS1的值 S2的值S1与S2的关系猜想与 k 的关系P (1，4)Q (2，2)2. 若在反比例函数 中也 用同样的方法分别取 P，
21、Q 两点，填写表格：4yx4yx4 4S1=S2S1=S2=kyxOPQ由前面的探究过程，可以猜想： 若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.xky yxOPS我们就 k 0 的情况给出证明：设点 P 的坐标为 (a，b)AB点 P (a，b) 在函数 的图象上，kyx ，即 ab=k.kba S矩形 AOBP=PBPA=ab=ab=k；若点 P 在第二象限，则 a0，若点 P 在第四象限，则 a0，bSBSC B. SASBSCC. SA =SB=SC D. SASC0) 图像上的任意两点，P
22、A，CD 垂直于 x 轴. 设 POA 的面积为 S1，则 S1 = ；梯形CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3.4yx2S1S2S3 如图，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是AB 上的点， AOC 的面积 S1、 BOD 的面积 S2、 POE 的面积 S3 的大小关系为 .S1 = S2 S3练一练解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知，SOFE = S1 = S2，而 S3SOFE，所以 S1，S2，S3的大小关系为S1 = S2
23、0b 0k1 0k2 0b 0合作探究xyOxyOk2 0b 0k1 0k2 0 xyOk1 0 xyO 例6 函数 y=kxk 与 的图象大致是 ( ) )0( kxkyD.xyOC.yA.yxB.xyODOOk0k0k0k0由一次函数增减性得k0由一次函数与y轴交点知k0，则k0 x提示：由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案. 在同一直角坐标系中，函数 与 y = ax+1 (a0) 的图象可能是 ( )ayx A.yxOB.yxOC.yxOD.yxOB练一练例7 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1
24、y2 时，x 的取值范围为 .23yx0 2 x 32myx解析：y1y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，可知2 x 3.方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了.练一练 如图，一次函数 y1= k1x + b (k10) 的图象与反比例函数 的图象交于 A，B 两点，观察图象，当y1y2时，x 的取值范围是 22kyx12yx0A B 1 x 2例8 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (3，4).试求出它们的解析式，并画出图象.由于这两个函数的图象交于点 P (3，4)，则点 P (3，4) 是这两个函数图象上的点， 即点 P 的坐标
25、分别满足这两个解析式.解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y=k1x 和 . 2kyx所以 ， .143k 243k解得 ， .143k 212k P则这两个函数的解析式分别为 和 ， 它们的图象如图所示.43yx 12yx 这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？想一想： 反比例函数 的图象与正比例函数 y = 3x 的图象的交点坐标为 12yx(2，6)，(2，6)解析：联立两个函数解析式，解方程即可. 练一练当堂练习当堂练习A. 4 B. 2 C. 2 D.不确定1. 如图， P 是反比例函数 的图象上一点， 过点 P 作 PB x 轴于点 B，点
26、 A 在 y 轴上， ABP 的面积为 2，则 k 的值为 ( ) kyxOBAPxyA2. 反比例函数 的图象与一次函数 y = 2x +1 的 图象的一个交点是 (1，k)，则反比例函数的解析 式是_ xky 3yx3. 如图，直线 y=k1x + b 与反比例函数 (x0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x +b 的解集是_2kyx2kx1x5OBAxy154. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，4). (1) 求 k 的值；kyx解： 反比例函数 的图象经过点 A(2，4)， 把点 A 的坐标代入表达式，得 ，kyx42k 解得 k = 8.(2) 这个函数的图
27、象分布在哪些象限？y 随 x 的增大 如何变化?解：这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个 象限内，y 随 x 的增大而增大.(3) 画出该函数的图象；Oxy解：如图所示：(4) 点 B (1，8) ，C (3，5)是否在该函数的图象上？因为点 B 的坐标满足该解析式，而点 C 的坐标不满足该解析式，所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数的图象上. 解：该反比例函数的解析式为 .8yx xyOBA5. 如图，直线 y=ax + b 与双曲线 交于两点 A(1，2)，B(m，4)两点， (1) 求直线与双曲线的解析式；kyx所以一次函数的解析式为 y = 4x2. 把A，B两点坐标代
28、入一次函数解析式中，得到a =4，b =2.解：把 B(1，2)代入双曲线解析式中， 得 k = 2，故其解析式为 . 当y =4时，m= . 2yx12(2) 求不等式 ax + b 的解集. kxxyOBA解：根据图象可知，若 ax + b ，kx则 x1或 x0.126. 如图，反比例函数 与一次函数 y =x + 2 的图象交于 A，B 两点. (1) 求 A，B 两点的坐标；AyOBx8yx 解：8yx ，y=x + 2 ， 解得 x = 4， y =2 所以A(2，4)，B(4，2). 或 x = 2， y = 4. 作ACx轴于C，BDx轴于D，则AC=4，BD=2. (2) 求
29、AOB的面积.解：一次函数与x轴的交点为M (2，0)， OM=2.OAyBxMCDSOMB=OMBD2=222=2，SOMA=OMAC2=242=4，SAOB=SOMB+SOMA=2+4=6.课堂小结课堂小结面积问题面积不变性与一次函数的综合判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意b 的正负中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称反比例函数图象和性质的综合运用26.2 实际问题与反比例函数第二十六章 反比例函数第1课时 实际问题中的反比例函数学习目标1. 体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识， 提高运用代数方法解决问题的能力.2. 能够通
30、过分析实际问题中变量之间的关系，建立反 比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图 象、性质的综合能力. (重点、难点)3. 能够根据实际问题确定自变量的取值范围 拉面小哥舞姿妖娆，手艺更是精湛. 如果他要把体积为 15 cm3 的面团做成拉面，你能写出面条的总长度 y (单位：cm) 与面条粗细 (横截面积) S (单位：cm2)的函数关系式吗？15ySS0 你还能举出我们在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例吗？实际问题与反比例函数例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室.(1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m) 有
31、怎样的函数关系?讲授新课讲授新课解：根据圆柱体的体积公式，得 Sd =104， S 关于d 的函数解析式为410.Sd典例精析(2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队 施工时应该向下掘进多深?解得 d = 20.如果把储存室的底面积定为 500 m，施工时应向地下掘进 20 m 深.解：把 S = 500 代入 ，得410Sd410500d，(3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公 司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相 应地，储存室的底面积应改为多少 (结果保留小 数点后两位)?解得 S666.67.当储存室的深度为15 m 时，底
32、面积应改为 666.67 m.解：根据题意，把 d =15 代入 ，得410Sd41015S， 第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方程和求代数式的值的问题有何联系？ 第 (2) 问实际上是已知函数 S 的值，求自变量 d 的取值，第 (3) 问则是与第 (2) 问相反 想一想：1. 矩形面积为 6，它的长 y 与宽 x 之间的函数关系用 图象可表示为 ( ) B练一练A.B.C.D.xyxyxyxy2. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升 (1升1立方分米)的圆锥形漏斗 (1) 漏斗口的面积 S (单位：dm2)与漏斗的深 d (单位： dm) 有怎样的函数关系?d解：
33、3.Sd(2) 如果漏斗的深为10 cm，那么漏斗口 的面积为多少 dm2？解：10cm=1dm，把 d =1 代入解析式，得 S =3. 所以漏斗口的面积为 3 dm2.(3) 如果漏斗口的面积为 60 cm2，则漏斗的深为多少?解：60 cm2 = 0.6 dm2，把 S =0.6 代入解析式，得 d =5. 所以漏斗的深为 5 dm.例2 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间.(1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v (单位： 吨/天)与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系?提示：根据平均装货速度装货天数=货物的总量，可以求出轮船装载货物的总量；再根据平
34、均卸货速度=货物的总量卸货天数，得到 v 关于 t 的函数解析式.解：设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得 k =308=240， 所以 v 关于 t 的函数解析式为240.vt(2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5天卸 载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨?从结果可以看出，如果全部货物恰好用 5 天卸载完，则平均每天卸载 48 吨. 而观察求得的反比例函数的解析式可知，t 越小，v 越大. 这样若货物不超过 5 天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨.解：把 t =5 代入 ，得240vt24048.vt方法总结：在解决反比例函数相关的实际问题中，若题目要求“至多”、“
35、至少”，可以利用反比例函数的增减性来解答 .练一练 某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走(1) 假如每天能运 x 立方米，所需时间为 y 天，写出 y 与 x 之间的函数关系式；解：1200.yx(2) 若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的 拖拉机要用多少天才能运完？解：x =125=60，代入函数解析式得120020.60y 答：若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的拖拉机要用 20 天才能运完.(3) 在 (2) 的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不 超过 6 天的时间内完成，那么至少需要增加多少 辆这样
36、的拖拉机才能按时完成任务？解：运了8天后剩余的垃圾有 1200860=720 (立方米)， 剩下的任务要在不超过6天的时间完成，则每天 至少运 7206=120 (立方米)， 所以需要的拖拉机数量是：12012=10 (辆)， 即至少需要增加拖拉机105=5 (辆).例3 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时 的平均速度用 6 小时达到乙地. (1) 甲、乙两地相距多少千米？解：806=480 (千米)答：甲、乙两地相距 480 千米.(2) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？解：由题意得 vt=480，整理得 (t 0).480vt当堂练习当堂练习
37、1. 面积为 2 的直角三角形一直角边为x，另一直角边 长为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象可大致表示为 ( ) A.xy1O2xy4O4B.xy1O4C.xy1O414D.C2. 体积为 20 cm3 的面团做成拉面，面条的总长度 y (单位：cm) 与面条粗细 (横截面积) S (单位：cm2) 的函数关系为 ，若要使拉出来的面 条粗 1 mm2，则面条的总长度是 cm. 20ySS020003. A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城. (1) 火车的速度 v (千米/时) 和行驶的时间 t (时) 之间的函数关系是_ (2) 若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求 在
38、3 小时内回到 A 城，则返回的速度不能低 于_240千米/时 720vt4. 学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进一批煤， 现在知道：按每天用煤 0.6 吨计算，一学期 (按150 天计算) 刚好用完. 若每天的耗煤量为 x 吨，那么 这批煤能维持 y 天. (1) 则 y 与 x 之间有怎样的函数关系？ 解：煤的总量为：0.6150=90 (吨)，根据题意有90yx(x0).(2) 画出函数的图象；解：如图所示.30901xyO(3) 若每天节约 0.1 吨，则这批煤能维持多少天？ 解： 每天节约 0.1 吨煤， 每天的用煤量为 0.60.1=0.5 (吨)， 这批煤能维持 180 天 9
39、090180.0.5yx5. 王强家离工作单位的距离为3600 米，他每天骑自行 车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟 (1) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？解：3600.vt(2) 若王强到单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速 度是多少？解：把 t =15代入函数的解析式，得：答：他骑车的平均速度是 240 米/分.3600240.15y (3) 如果王强骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少 需要几分钟到达单位?解：把 v =300 代入函数解析式得： 解得：t =12答：他至少需要 12 分钟到达单位3600300t，6. 在某村河治理工程施工过程中，某
40、工程队接受一项 开挖水渠的工程，所需天数 y (天) 与每天完成的工 程量 x (m/天) 的函数关系图象如图所示. (1) 请根据题意，求 y 与 x 之间的函数表达式；5024x(m/天)y(天)O解：1200.yx(2) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够 开挖水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完 成此项任务？解：由图象可知共需开挖水渠 2450=1200 (m)， 2 台挖掘机需要 1200(215)=40 (天).(3) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内 (按 30 天计算)完成任务，那么每天至少要完成多 少 m？解：120030=40 (m)， 故每天至
41、少要完成40 m课堂小结课堂小结实际问题中的反比例函数过程：分析实际情境建立函数模型明确数学问题注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值；作实际问题中的函数图像时，横、纵坐标的单位长度不一定相同第二十六章 反比例函数26.2 实际问题与反比例函数第2课时 其他学科中的反比例函数学习目标1. 通过对“杠杆原理”等实际问题与反比例函数关系的 探究，使学生体会数学建模思想和学以致用的数学 理念，并能从函数的观点来解决一些实际问题. (重 点)2. 掌握反比例函数在其他学科中的运用，体验学科的 整合思想. (重点、难点) 在周星驰的电影西游降魔篇中，村民们为了制服水妖而合力大战. 观看完影片片段，
42、你能说说他们是如何制服水妖的吗？ 这个方法的原理是什么？ 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡. 后来人们把它归纳为“杠杆原理”. 通俗地说，杠杆原理为： 阻力阻力臂=动力动力臂.阻力动力阻力臂动力臂例1 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m.(1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系? 当动力臂为 1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力?讲授新课讲授新课反比例函数在力学中的应用一典例精析解：根据“杠杆原理”，得 Fl =12000.5， F 关于l 的函数解析式为600.Fl当 l=1
43、.5m 时，600400.1.5F 对于函数 ，当 l =1.5 m时，F =400 N，此时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要400N的力.600Fl(2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则 动力臂l至少要加长多少? 提示：对于函数 ，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求出 F =200 N 时对应的 l 的值，就能 确定动力臂 l 至少应加长的量.600Fl解：当F=400 =200 时，由200 = 得12600l6003200l，3001.5 =1.5 (m). 对于函数 ，当 l 0 时，l 越大，F越小. 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，则动力臂至少
44、要加长 1.5 m.600Fl 在物理中，我们知道，在阻力和阻力臂一定的情况下，动力臂越长就越省力，你能用反比例函数的知识对其进行解释吗？想一想： 假定地球重量的近似值为 61025 牛顿 (即阻力)，阿基米德有 500 牛顿的力量，阻力臂为 2000 千米，请你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动？由已知得Fl610252106 =1.21032 ，当 F =500时，l =2.41029 米， 解： 2000 千米 = 2106 米，练一练变形得：321.2 10.Fl故用2.41029 米动力臂的杠杆才能把地球撬动.例2 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一
45、片烂泥湿地. 当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积 S (m2)的变化，人和木板对地面的压强 p (Pa)也随之变化变化. 如果人和木板对湿地地面的压力合计为 600 N，那么(1) 用含 S 的代数式表示 p，p 是 S 的反比例函数吗？ 为什么？解：由 得FpS600.pSp 是 S 的反比例函数，因为给定一个 S 的值，对应的就有唯一的一个 p 值和它对应，根据函数定义，则 p 是 S 的反比例函数(2) 当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？解：当 S 0.2 m2 时， 故当木板面积为0.2m2时，压强是3000Pa6003000.0.2p (3) 如果要求压强不超过 6
46、000 Pa，木板面积至少要 多大？解：当 p=6000 时，由 得6006000S6000.1.6000S 对于函数 ，当 S 0 时，S 越大，p 越小. 因此，若要求压强不超过 6000 Pa，则木板面积至少要 0.1 m2.600pS(4) 在直角坐标系中，作出相应的函数图象20000.10.5O0.60.30.20.410003000400050006000S/m2p/Pa解：如图所示. 某人对地面的压强与他和地面接触面积的函数关系如图所示若某一沼泽地地面能承受的压强不超过300N/m2，那么此人必须站立在面积为多少的木板上才不至于下陷 (木板的重量忽略不计) ( )A. 至少2m2
47、 B. 至多2m2 C. 大于2m2 D. 小于2m2 练一练204060O602040S/m2p/(N/m2)A反比例函数与电学的结合二例3 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110220 . 已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如图所示.(1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系?U解：根据电学知识， 当 U = 220 时，得2220.pR(2) 这个用电器功率的范围是多少?解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率 越小. 把电阻的最小值 R = 110 代入求得的解析式， 得到功率的最大值 把电阻的最大值 R = 220 代入求得的解析式， 得到功率的最小值 2220
48、440110p ；2220220.220p 因此用电器功率的范围为220440 W. 1. 在公式 中，当电压 U 一定时，电流 I 与电 阻 R 之间的函数关系可用图象大致表示为 ( )D练一练A.B.C.D.IRIRIRIRUIR2. 在某一电路中，保持电压不变，电流 I (安培) 和电阻 R (欧姆) 成反比例，当电阻 R5 欧姆时，电流 I2 安培 (1) 求 I 与 R 之间的函数关系式； (2) 当电流 I0.5 时，求电阻 R 的值 解：(1) 设 当电阻 R = 5 欧姆时，电流 I = 2 安培， U =10 I 与 R 之间的函数关系式为 UIR，10.IR100.5R(2
49、) 当I = 0.5 安培时， ，解得 R = 20 (欧姆)当堂练习当堂练习1. 当电压为 220 V 时 (电压=电流电阻)，通过电路 的电流 I (A) 与电路中的电阻 R () 之间的函数关 系为 ( )B. I=220RD. R=220IA.220IRC.220RI A2. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时， 气球内气体的气压 p (kPa) 是气体体积 V (m3)的反 比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大 于120 kPa 时，气球将爆炸为了安全起见，气 球的体积应 ( ) A. 不大于 B. 小于 C. 不小于 D. 大于CO60V/m3p/kPa1.6345m
50、345m345m345m3. 受条件限制，无法得知撬石头时的阻力，小刚选 择了动力臂为 1.2米 的撬棍，用了 500 牛顿的力刚 好撬动；小明身体瘦小，只有 300 牛顿的力量， 他该选择动力臂为 的撬棍才能撬动这块大石 头呢. 2 米4. 在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的 二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会 随之改变，密度 (单位：kg/m3) 是体积 V (单位： m3) 的反比例函数，它的图象如图所示， 当 V =10m3 时，气体的 密度是 . 21345V/m3/(kg/m3)5O632411 kg/m3 5. 蓄电池的电压为定值使用此电源时，电流 I (A)
