1、问题引入问题引入:? ,?abba,Rb,a.立立的的条条件件是是什什么么号号成成如如果果能能它它们们能能成成立立相相等等关关系系吗吗的的大大小小关关系系如如何何与与则则设设 2122.,ba,abba:等号成立等号成立时时当且仅当当且仅当结论结论 222?b,ab,a,b,a,.你你能能证证明明吗吗能能得得到到什什么么结结果果代代替替分分别别用用如如果果上上述述结结论论中中002 .,bab,a,abba:等号成立等号成立时时当且仅当当且仅当结论结论 002知识要点知识要点:.,ba,abba,Rb,a等号成立等号成立时时当且仅当当且仅当有有对任意对任意定理定理 2122 .ba:;Rb,a
2、: 的条件的条件取取适用范围适用范围说明说明21知识要点知识要点:.,ba,abba,Rb,a等号成立等号成立时时当且仅当当且仅当有有对任意对任意定理定理 22 .:.ba:;Rb,a:数数不小于它们的几何平均不小于它们的几何平均两个正数的算术平均数两个正数的算术平均数语言描述语言描述的条件的条件取取适用范围适用范围说明说明321 .abba:小于半弦长小于半弦长不不圆的半径长圆的半径长几何解释几何解释24 :abba的几何解释的几何解释 2DAaCBbabE如图如图AB是圆的直径，是圆的直径，在直径在直径AB上取一点上取一点C，使使AC=a，CB=b，过，过C作弦作弦DE AB，连，连AD、
3、BD，你能利用这个图，你能利用这个图形得出上述不等式的几形得出上述不等式的几何解释吗？何解释吗？abCDCBACCD 2abCDba2而半径为基本不等式的应用基本不等式的应用: abcdbdaccdab:,d,c ,b,a:.41 求求证证都都是是正正数数已已知知例例.cabcabcba: 222证证明明练练习习点评：点评：可以用基本不等式来证明其它不等可以用基本不等式来证明其它不等式，但要注意基本不等式的式，但要注意基本不等式的适用范围适用范围，一，一般要点明般要点明等号成立的条件等号成立的条件。基本不等式的推广基本不等式的推广:.,ba.babaabba,Rb,a等号成立等号成立时时当且仅
4、当当且仅当则则若若 2211222即，两个正数的调和平均数小于等于几何平均即，两个正数的调和平均数小于等于几何平均数小于等于算术平均数小于等于平方平均数。数小于等于算术平均数小于等于平方平均数。21:1),2)202320ababaaaababba骣+桫+公式变形（） ）（）等等。基本不等式的应用基本不等式的应用:例例2.2.x0 0，求，求 的最小值的最小值1xx+变式一：变式一：x0 0，求，求x + + 的最大值的最大值x1变式二变式二: :设设0 0 x1 1，求函数，求函数 的最小值的最小值xxy3 变式三变式三: :设设x5 5，求函数，求函数 的最小值的最小值xxy3 点评点评:
5、可以用基本不等式来求某些函数的最值可以用基本不等式来求某些函数的最值, 但要但要注意基本不等式的注意基本不等式的适用范围适用范围，一般，一般要点明要点明等号成立的条件等号成立的条件.练习：练习：例例3、求求 的最小值的最小值.（其中（其中 ）1432xxy1xmin2 31,4 353xy=+=+当且仅当时2:1,.1xxyx=-变式1 已知求的最小值点评：为凑积为定值点评：为凑积为定值, 技巧技巧: 添项添项 拆项拆项233,31xxyxxx若函数，当 为何值时，函数有最值，并求其最值思思考考：，并求其最值为何值时，函数有最值当，函数：若变式xxxxyx313, 322基本不等式的应用基本不
6、等式的应用:已知已知 x , y 都是都是正数：正数： （1）如果积）如果积 xy 是定值是定值P , 那么当那么当 x = y 时时, 和和 x + y 有最小值有最小值 ； （2）如果和）如果和 x + y 是定值是定值S , 那么当那么当 x = y 时时, 积积 xy 有最大值有最大值 .p2241S.,:积最大积最大和定和定和最小和最小积定积定的前提下的前提下两数为正数两数为正数结论结论“一正二定三相等一正二定三相等”基本不等式的应用基本不等式的应用:()( )( )224.,10,02,.2,28,loglog.31,33.abxyxyxyx yxyxyab=+=+= -+例 根据
7、条件 求下列式子的最值 要求指明是最大还是最小值 并指出何时取到最值？若且求的最值若为正数且 求的最值若求的最值.,:积最大积最大和定和定和最小和最小积定积定的前提下的前提下两数为正数两数为正数点评点评“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”基本不等式的应用基本不等式的应用:()5.02,2xxx-例 已知求的最大值。()51.0,522xxx=+=+例 已知且 试求和的取值范围。的不等式。的不等式。利用均值定理建立利用均值定理建立点评点评ab:11.0,0,0kabababk+变式已知且恒成立， 试求实数 的最小值。117.,31,x yxyxy+=+例 若正数满足求的最小值。yxyxy,x
8、 3231为正数得为正数得解：由解：由321 xy故故343212211211 xyyxyx.yx3411的的最最小小值值为为 错错等号当且仅当等号当且仅当3 x = y时成立。时成立。等号当且仅当等号当且仅当 即即 x = y 时成立。时成立。y1x1 故两个等号不能同时成立。故两个等号不能同时成立。117.,31,x yxyxy+=+例 若正数满足求的最小值。点评点评:1.:1.利用两次均值定理求最值时利用两次均值定理求最值时, ,一定要注意一定要注意 等号的传递性等号的传递性, ,即两个等号成立的条件即两个等号成立的条件一一 定要一致。定要一致。2.2.最简单的解法数最简单的解法数“1
9、1”的替代。的替代。基本不等式的应用基本不等式的应用:19.,1,x yxyxy+=+变式若正数满足求的最小值。例例7.7.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为积为48004800m，深为，深为3 3m，如果池底每平方米的造价为，如果池底每平方米的造价为150150元，池壁每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为120120元，怎样设计水元，怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少？池能使总造价最低，最低总造价是多少？例例6.6.（1 1）用篱笆围成一个面积为）用篱笆围成一个面积为100100m2 2的矩形菜园，的矩形菜园，问这个矩形的长、宽
10、各为多少时，所用篱笆最短，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？最短的篱笆是多少？（2 2）一段长为）一段长为3636m篱笆围成一个矩形菜园，问这个篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大的面积是多少？的面积是多少？基本不等式的应用基本不等式的应用:例例8.8.甲、乙两地相距甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过到乙地，速度不得超过c千米千米/ /时，已知汽车每小时，已知汽车每小时的运输成本由可变部分和固定部分组成：可变时的运输成本由可变部分和固定部
11、分组成：可变部分与速度部分与速度v（千米（千米/ /时）的平方成正比，比例系时）的平方成正比，比例系数为数为b，固定部分为，固定部分为a元。元。（1 1）把全程运输成本）把全程运输成本y表示为速度表示为速度v的函数，并的函数，并指出这个函数的定义域；指出这个函数的定义域；（2 2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？速度行驶？基本不等式的应用基本不等式的应用:小结小结:1.基本不等式基本不等式:.,ba.babaabba,Rb,a等号成立等号成立时时当且仅当当且仅当则则若若 22112222.基本不等式应用基本不等式应用:（2）求函数最值：）求函数最值：“一正、二定、三相一正、二定、三相等等”（1）证明不等式：适用范围，等号成立条件；）证明不等式：适用范围，等号成立条件；
