1、2.1 认识一元二次方程第二章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 一元二次方程九年级数学上（BS） 教学课件学习目标1.理解一元二次方程的概念.（难点）2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点）导入新课导入新课复习引入没有未知数1.下列式子哪些是方程？2+6=82x+35x+6=22x+3y=8924xx-518代数式一元一次方程二元一次方程不等式分式方程2.什么叫方程？我们学过哪些方程？含有未知数的等式叫做方程.我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.3.什么叫一元一
2、次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.想一想：什么叫一元二次方程呢？一元二次方程的相关概念一问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为8m,宽为5m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2 的地毯 ,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？解：如果设所求的宽为 x m ,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为 m,根据题意,可得方程：(8 - - 2x)(5 - - 2x)xx(8 2x)xx(5 2x)( 8 - - 2x)（ 5 - - 2x）= 18.化简：化简：2x2 - - 13x + 11 = 0 .该方程中未知数的个数和最高次数各是多少
3、？讲授新课讲授新课问题2：观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为： , , , .根据题意，可得方程： x+1x+2x+3x+4x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2.化简得化简得，x2 - - 8x - - 200. 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙m.如果设梯子底端滑动x m ,那么滑动后梯子底端距墙 m ,根据题意，可得方
4、程：问题3：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？6x+672 + (x + 6)2 = 102.化简得化简得，x2 + 12 x - - 15 = 0. 10m8m1mxm该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 2x2 - - 13x + 11 = 0 ； x2 - - 8x - - 200； x2 + 12 x - - 15 = 0.1.只含有一个未知数; 2.未知数的最高次数是2;3.整式方程 观察与思考方程、 、 都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？特点
5、: 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a0)ax2 称为二次项, a 称为二次项系数. bx 称为一次项,b 称为一次项系数. c 称为常数项.知识要点u一元二次方程的概念一元二次方程的概念 u一元二次方程的一般形式是一元二次方程的一般形式是想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a0，b、c 可以为零吗？当 a = 0 时bxc = 0 当 a 0 ， b = 0时 ，ax2c = 0 当 a 0 ， c = 0时 ，ax2bx =
6、0 当 a 0 ，b = c =0时 ，ax2 = 0 总结：只要满足a 0 ，b ， c 可以为任意实数.典例精析222221A.0B.350C.(1)(2)0D.0 xxxyyxxxaxbxc例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ）C不是整式方程含两个未知数化简整理成x2-3x+2=0少了限制条件a0提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. 判断下列方程是否为一元二次方程？判断下列方程是否为一元二次方程？212(4)0 xx (2) x3+ x2=36(3)x+3y=36(5) x+1=0 63)6(2x22)32(14)7(xx
7、062)(8(2xx (1) x2+ x=36例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax2x=2x2(2) (a1)x |a|+1 2x7=0.解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-20，即a2时，原方程是一元二次方程； (2)由 a +1 =2，且a-1 0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值变式：方程(2a-4)x22bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
8、解（1）当 2a40，即a 2 时是一元二次方程（2）当a=2 且 b 0 时是一元一次方程一元一次方程一元一次方程一元二次方程一元二次方程一般式一般式相同点相同点不同点不同点思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？与联系？ax=b (a0）ax2+bx+c=0 (a0）整式方程，只含有一个未知数整式方程，只含有一个未知数未知数最高次数是未知数最高次数是1未知数最高次数是未知数最高次数是2 例3：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.解：去括号，得3x2-3x=5x+10.移项、合
9、并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.系数和项均包含前面的符号.注意视频：一元二次方程一般式当堂练习当堂练习 1. 下列哪些是一元二次方程？3x+2=5x-2x2=0(x+3)(2x-4)=x23y2=(3y+1)(y-2)x2=x3+x2-13x2=5x-12.填空：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项2320 xx2312 3yy 245x (2)(34)3xx2320 xx232 310yy -21313-540-53-22450 x 23250 xx3.关于关于x的方程的方程(k21)x2
10、 2 (k1) x 2k 20,当当k 时，是一元二次方程时，是一元二次方程当当k 时，是一元一次方程时，是一元一次方程114.(1) 如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中取3）.解：设由于圆的半径为xcm，则它的面积为 3x2 cm2.整理，得225000 x根据题意有，4315020031502002x200cm150cm(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.解：该市两年来汽车
11、拥有量的年平均增长率为x整理，得22550110 xx根据题意有，1081752 x课堂小结课堂小结一 元 二次 方 程概 念 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是2.一般形式ax2+bx+c=0 (a 0) 其中(a0)是一元二次方程的必要条件；2.1 认识一元二次方程第二章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 一元二次方程的解及其估算九年级数学上（BS） 教学课件1.理解方程的解的概念.2.经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义.(重点)3.会估算一元二次方程的解.（难点）学习目标问1：一元二次方程有哪些特点？ 只含有一个未知数; 未知数的最高次项系数是2;整式方
12、程导入新课导入新课问2：一元二次方程的一般形式是什么？ ax2 +bx + c = 0(a , b , c为常数, a0)复习引入一元二次方程的根一u一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.练一练：下面哪些数是方程 x2 x 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4解： 3和-2.你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根.讲授新课讲授新课 例1：已知a是方程 x2+2x2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+2018的值. 解：由题意得2220aa 即222aa 2242018aa 2 220182022
13、22(2 )2018aa 方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值2.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=09+4a=094a 4a=-91.已知方程5x+mx-6=0的一个根为4，则的值为_练一练一元二次方程解的估算二问题1：在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度x满足方程(8 - -2x)(5- -2x)= 18，你能求出这个宽度吗？(1) x可能小于0吗?说说你的理由 (2) x可能大于4吗?可能
14、大于2.5吗?说说你的理由.（3）完成下表：x00.511.52(8 - -2x)(5- -2x)（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗? 还有其他求解方法吗?与同伴进行交流410182840问题2：在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方程 x2 +12 x - - 15 = 0.10m8m1mxm你能猜出滑动距离x的大致范围吗？(1) 小明认为底端也滑动了1 m,他的说法正确吗？为什么？(2) 底端滑动的距离可能是2 m吗？可能是3 m吗？为什么？下面是小亮的求解过程：x0 0.5 11.52x2+12x - - 15- -15- - 8.75- - 25.2513可知x取值的大致范围是
15、:1x1.5.进一步计算：所以1.1x1.2,因此x整数部分是1 ,十分位部分是1x1.11.21.31.4x2 +12x- -15- - 0.590.842.293.76用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤：在未知数x的取值范围内排除一部分取值;根据题意所列的具体情况再次进行排除;对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选;最终得出未知数的最小取值范围或具体数据. 规律方法 上述求解是利用了“两边夹”的思想归纳总结 例2：一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练,在正常情况下,运动员必需在距水面5m以前完成规定的翻腾动作,并且调整好入水姿势,否则就容易出现失误.假设运动员起跳后的运动时间t(
16、s)和运动员距水面的高度h(m)满足关系: h10+2.5t5t2. 那么他最多有多长时间完成规定动作？510+2.5t5t2.2t2t20.即解：根据题意得w完成下表(在0t3这个范围内取值计算,逐步逼近):根据题意,t的取值范围大致是0t3.完成下表(在0t3这个范围内取值计算,逐步逼近):由此看出,可以使2t2-t-2的值为0的t的范围是1.2t1.3.故可知运动员完成规定动作最多有1.3s.t2t2-t-2 0 1 1.1 1.2 1.3 1.4 2 3 -2 -1 -0.68 -0.32 0.08 0.52 4 13根据题意,t的取值范围大致是0t3.1.请求出一元二次方程 x2 -
17、 - 2x - - 1=0的正数根（精确到0.1）.解：（1）列表.依次取x=0,1,2,3,由上表可发现，当2x3时, - -1 x2 - - 2x - -1 2；x0123x2 - - 2x - - 1 - -1- -2- -12当堂练习当堂练习（2）继续列表,依次取x=2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,由表发现，当2.4x2.5时,-0.04 x2 - -2x-10.25;（3）取x=2.45,则x2 - - 2x - - 10.1025.2.4x2.45,x2.4.x2.22.32.42.5x2 - - 2x - - 1 - -0.79- -0.31- -0.040.252.根据
18、题意,列出方程,并估算方程的解：一面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？解：设苗圃的宽为x m,则长为(x+2) m ,根据题意得： x (x + 2) = 120.即 x2 + 2x - - 120 = 0.120m2(x+2)mxm根据题意,x的取值范围大致是0 x 11.根据题意,x的取值范围大致是0 x 11.解方程 x2 + 2x - - 120 = 0.完成下表(在0 x 0)的方程.（重点）2.理解配方法的基本思路.（难点）3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.（重点）学习目标1.如果 x2=a,则x叫做a的 .导入新课导入新课复习引入平方根
19、2.如果 x2=a(a 0),则x= .3.如果 x2=64 ,则x= .a84.任何数都可以作为被开方数吗？负数不可以作为被开方数.讲授新课讲授新课直接开平方法一 问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可，可列出方程106x2=1500，由此可得 x2=25开平方得即x1=5，x2=5.因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dmx=5，试一试： 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1) x2=4(2) x2=0(3) x2+1
20、=0解:根据平方根的意义，得x1=2, x2=-2.解:根据平方根的意义，得x1=x2=0.解:根据平方根的意义，得 x2=-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 =0；(3)当p0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根 ， ；1px 2px12xx 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.归纳 例1 利用直接开平方法解下列方程:(1) x2=6；(2) x2900=0.解： （1） x2=6，直接开平方，得（2）移项，得 x2=900.直接开平方，得x= 30，x1=30, x2=30.典例精析6,x
21、1266xx， 在解方程(I)时，由方程x2=25得x=5.由此想到:（x+3)2=5 ， 得得对照上面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5探究交流35,x 3535 .xx ， 或123535xx ， 或于是，方程（x+3）2=5的两个根为 上面的解法中 ，由方程得到，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.解题归纳例2 解下列方程： （x1）2= 2 ； 解析：第1小题中只要将（x1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.22.即x1=-1+，x2=-1- 解：（1）x+1是2的平方根，2.x+1=解析：第2小题先将4移到方程
22、的右边，再同第1小题一样地解.例2 解下列方程：（2）（x1）24 = 0；即x1=3，x2=-1.解：解：（2）移项，得（x-1）2=4.x-1是4的平方根，x-1=2. x1= ，547.4 x2=(3) 12（32x）23 = 0.解析：第3小题先将3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可. 解：(3)移项，得12（3-2x）2=3，两边都除以12，得（3-2x）2=0.25.3-2x是0.25的平方根，3-2x=0.5.即3-2x=0.5,3-2x=-0.51.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有x2=p或（x
23、n）2= p（p0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.探讨交流配方的方法二问题问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.(1) a2+2ab+b2=( )2；(2) a2-2ab+b2=( )2.a+ba-b探究交流问题问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.（1）x2+4x+ = ( x + )2（2）x2-6x+ = ( x- )2（3）x2+8x+ = ( x+ )2（4）43x2- x+ = ( x- )2你发现了什么规律？22232342422( )323二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方
24、.归纳总结想一想：x2+px+( )2=(x+ )22p2p配方的方法用配方法解二次项系数为1的一元二次方程三合作探究怎样解方程: x2+6x+4=0 (1)问题1 方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？解： x2+6x+4=0 x2+6x=-4移项 x2+6x+9=-4+9两边都加上9二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.方法归纳在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.问题2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.方
25、程配方的方法：要点归纳 像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.配方法的定义配方法解方程的基本思路把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解例3：解方程 x2 + 8x - - 9 = 0 解：可以把常数项移到方程的右边,得x2 + 8x = 9 , 两边都加42（一次项系数8的一半的平方）,得x2 + 8x + 42 = 9 + 42 , 即 （x+4）2 = 25 . 两边开平方,得x + 4 = 5 , 即 x + 4 =5 或 x + 4 = - -5. 所以x1 = 1 , x2= - -9.试一试：解决梯子底部滑动问题：x2 +
26、12x - -15=0 .解：可以把常数项移到方程的右边,得x2 + 12x = 15 , 两边都加62（一次项系数6的一半的平方）,得x2 + 12x + 62 = 15 + 62 , 即 （x+6）2 = 51 . 两边开平方,得x + 6 = , 即 x + 6 = 或 x + 6 = . 所以 x1 = , x2= .515151651 651 当堂练习当堂练习 (C) 4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= 3, x1= ; 4741x2=(D) (2x+3)2=25,解方程，得解方程，得2x+3=5, x1= 1;x2=-4 1.下列解方程的过程中，正确的是（ ）(A) x2
27、=-2,解方程，得x=2(B) (x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4 D(1)方程x2=0.25的根是 . (2)方程2x2=18的根是 . (3)方程(2x-1)2=9的根是 .3. 解下列方程： (1)x2-810； (2)2x250； (3)(x1)2=4 . x1=0.5,x2=-0.5x13,x2-3x12,x21解：x19, x29；解：x15, x25；解：x11, x23.4.4.（请你当小老师）下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正.21150,3y2115,3y115,3y 115,3y 3 51,y 解
28、：解：不对，从开始错，应改为115,3y 123 53,3 53.yy 21445xx解：解：225,x25,x 25,25,xx 方程的两根为方程的两根为125x 225.x 5.解下列方程：45,x 22810 xx ；12415,415.xx解：（1）移项，得x28x=1,配方，得x28x+42=1+42 ,( x4)2=15由此可得即解方程解方程: :22(2)(25)xx挑战自我挑战自我解：解：22225,xx2(25),xx 方程的两根为方程的两根为17x 21x 225,225xxxx 用配方法解一元二次方程直接开平方法：基本思路：解二次项系数为1的一元二次方程步骤形如（x +
29、m）2 = n (n0)将方程转化为（x + m）2 = n (n0)的形式，在用直接开平方法，直接求根.1.移项3.直接开平方求解2.配方课堂小结课堂小结2.2 用配方法求解一元二次方程第二章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 配方法(2)九年级数学上（BS） 教学课件1.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程;.（重点）2.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程.（难点）学习目标导入新课导入新课复习引入(1) 9x2=1 ；(2) (x-2)2=2.1.用直接开平方法解下列方程:(1) x2+6x+9 =5；(2)x2+6x+4=0.把两题转化成(x+n)2=p
30、(p0)的形式，再利用开平方用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程一问题1：观察下面两个是一元二次方程的联系和区别： x2 + 6x + 8 = 0 ; 3x2 +8x3 = 0.问题2：用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 . 解：移项，得 x2 + 6x = - -8 , 配方，得 （x + 3）2 = 1. 开平方, 得 x + 3 = 1. 解得 x1 = - -2 , x2= - -4.想一想怎么来解3x2 +8x3 = 0.讲授新课讲授新课试一试：解方程： 3x2 + 8x - -3 = 0. 解：两边同除以3,得 x2 + x - - 1=0. 配方,得 x2 + x
31、+ ( ) 2 - - ( )2 - - 1 = 0, （x + ）2 - - =0. 移项,得 x + = , 即 x + = 或 x + = . 所以 x1= , x2 = -3 . 343438349253435343435353831配方，得2223313,2424xx 231,416x31,44x 由此可得2111,.2xx二次项系数化为1，得231,22xx 2 1213 xx ；解：移项，得 2x23x=1,即移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?例1 解下列方程：配方，得2224211,3xx 211.3x 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立
32、，所以原方程无实数根解：移项，得2364,xx 二次项系数化为1，得242,3xx 2 23640.xx为什么方程两边都加12？即即思考思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？注意些什么？思考思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤用配方法解一元二次方程的一般步骤.移项时需注意改变符号移项时需注意改变符号.移项，二次项系数化为移项，二次项系数化为1；左边配成完全平方式；左边配成完全平方式；左边写成完全平方形式；左边写成完全平方形式；降次；降次；解一次方程解一次方程.一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成一般地，如果一个一元二次方程通过配方转
33、化成 (x+n)2=p.当当p0时时,则则 ,方程的两个根为方程的两个根为当当p=0时时,则则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两开平方得方程的两个根为个根为 x1=x2=-n.当当p0，当b2-4ac 0时，a 0,4a20， 当b2-4ac 0时，22240.24bbacxaa 而x取任何实数都不能使上式成立.因此，方程无实数根. 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的根由方程的系数a，b，c确定因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a0) ，当b2-4ac 0 时，将a，b，c 代入式子 就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程
34、的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.2.42bbacxa 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a0); 2.b2-4ac0.注意视频：求根公式的趣味记忆 公式法解方程二 例1 用公式法解方程程 5x2-4x-12=0解：a=5,b=-4,c=-12，b2-4ac=(-4)2-45(-12)=2560.242bbacxa 242bbacxa典例精析( 4)25641628=25105 1262,5xx 242bbacxa 例2 解方程：232 3xx化简为一般式：22330 xx
35、1-2 33.abc、解：Q（），2242 34 1 30bac 即 ：123.xx 这里的a、b、c的值是什么？（-2 3）2 303.2 12x 例3 解方程： （精确到0.001）.210 xx1,1,1,abc 22414 1 ( 1)50bac 152x 120.618,1.618.xx 解：用计算器求得：52.2361例4 解方程：4x2-3x+2=0224,3,2.4( 3)4 4 2932230.abcbac Q因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根.解：要点归纳公式法解方程的步骤1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;3.计算:
36、b2-4ac的值; 4.判断：若b2-4ac 0，则利用求根公式求出; 若b2-4ac 0 = 0 0时,方程有两个不相等的实数根.b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根.b2 - 4ac -1 B.k-1且k0 C.k1 D.k0，同时要求二次项系数不为0，即 ，k0.解得k-1且k0，故选B.B2( 2)40k例7:不解方程，判断下列方程的根的情况（1）3x2+4x3=0；（2）4x2=12x9; (3) 7y=5(y2+1).解：（1）3x2+4x3=0，a=3,b=4,c=3, b24ac=3243(3)=520. 方程有两个不相等的实数根 （2）方程化为：4x212x+9
37、=0, b24ac=(12)2449=0. 方程有两个相等的实数根例7:不解方程，判断下列方程的根的情况 (3) 7y=5(y2+1).解：（3）方程化为：5y27y+5=0, b24ac=(7)2455=510. 方程有两个相等的实数根1.解方程：x2 +7x 18 = 0.解：这里 a=1, b= 7, c= -18. b 2 - 4ac =7 2 4 1 (-18 ) =1210, 即 x1 = -9, x2 = 2 .7121711.2 12x 当堂练习当堂练习2. 解方程（x - 2) (1 - 3x) = 6.解：去括号 ，得 x 2 - 3x2 + 6x = 6, 化简为一般式
38、3x2 - 7x + 8 = 0, 这里 a = 3, b = -7 , c = 8. b2 - 4ac=(-7 )2 4 3 8 = 4996 = - 47 0 , 即 x1= x2=33.4333x333.234.关于x的一元二次方程 有两个实根，则m的取值范围是 . 注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况.04414)2(422mmacb解：1m022mxx1m 5.不解方程，判断下列方程的根的情况（1）2x2+3x-4=0；（2）x2-x+ =0; (3) x2-x+1=0.解：（1）2x2+3x-4=0，a=2,b=3,c=-4, b2-4ac=3
39、2-42(-4)=410. 方程有两个不相等的实数根 （2）x2-x+ =0,a=1,b=-1,c= . b2-4ac=(-1)2-41 =0. 方程有两个相等的实数根14141414（3）x2-x+1=0，a=1,b=-1,c=1. b2-4ac=(-1)2-411=-30. 方程无实数根 (3) x2-x+1=0.6.不解方程，判别关于x的方程 的根的情况.222 20 xkxk222224481422kkkkk解：004022kk所以方程有两个实数根能力提升： 在等腰ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求ABC 的
40、周长.解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实 数根，所以所以= =b24ac=(b-2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0.所以b=-10或或b=2.将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）；）；所以所以ABC 的三边长为的三边长为4，4，5，其周长为其周长为4+4+5= =13.课堂小结课堂小结公式法求 根公 式步 骤一化（一般形式）；二定（系数值）；三求（ 值）； 四判（方程根的情况）；五代（求根公式计算）.242bbacxa根的判别式b2-4ac务必将方程化为一般形式2.3 用
41、公式法求解一元二次方程第二章 一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 利用一元二次方程解决面积问题九年级数学上（BS） 教学课件学习目标1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）导入新课导入新课问题 某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为xm，则由题意列的方程为_.CBDA(30-2x)(20-x)=678问题引入利用一元二次方程解决面积问题一问题：在一块长16
42、m,宽12m的矩形荒地上,要建造上个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半.16m12m想一想，你会怎么设计这片荒地？看一看：下面几位同学的设计方法是否合理？讲授新课讲授新课解：设小路的宽为 xm, 根据题意得： 即 x2 - - 14x + 24 = 0. 解方程得 x1 = 2 , x2 = 12. 将x =12 代入方程中不符合题意舍去. 答：小路的宽为2m.小明设计： 如右图所示.其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程, 得到小路的宽为2m或12m.16m12m问题：他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？.21216212216xxxx解：设扇形半径为 xm, 根据题意得： 即 x
43、2 = 96. 解方程得 x1 = , x2 = (舍去), 答：扇形半径约为5.5m.小亮设计： 如右图所示.其中花园每个角上的扇形都相同.问题：你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗？5596. .212162x 9616m12m 小颖设计： 如右图所示.其中花园是两条互相垂直的小路,且它的宽都相等.问题：你能帮小颖计算一下图中x吗？16m12mxmxm解：设小路的宽为 xm, 根据题意得： 即 x2 - - 28x + 96 = 0. 解方程得 x1 = 4 , x2 = 24, 将x =24 代入方程中不符合题意舍去答：小路的宽为4m.212161216xx例1：要设计一本书的封面,
44、封面长27,宽21cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)27cm21cm典例精析 分析:这本书的长宽之比 ： 正中央的矩形长宽之比 ： ，上下边衬与左右边衬之比 ： .9 79 727cm21cm解：设中央长方形的长和宽分别为9a和7a由此得到上下边衬宽度之比为：11(27 9 ):(21 7 )22aa9 79(3):7(3)9:7.aa27cm21cm解:设上下边衬的9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得3(27 18 )(21 14 )27 21,4xx
45、解方程得63 3.4x故上下边衬的宽度为:63 391.8,4故左右边衬的宽度为:63 371.4.4方程的哪个根合乎实际意义?为什么?试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？解:设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm.依题意得27cm21cm39727 21,4xx解得 223 33 322xx，（舍去）.故上下边衬的宽度为:3 327 927 954 27 321.8.224x 3 321 721 742 21 321.4.224x 故左右边衬的宽度为:例2：如图所示，在ABC中，C=90， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速
46、度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使PCQ的面积为9 cm？根据题意得AP= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm解：若设出发x s后可使PCQ的面积为9cm整理，得解得 x1= x2=3答：点P，Q出发3s后可使PCQ的面积为9cm.92)6(21xx0962 xx 主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;方法点拨220 323220540 xxx2032xx解：设道路的宽
47、为x米例3：如图，在一块宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540,求道路的宽为多少？典例精析还有其他还有其他解法吗？解法吗？2032xx解：设道路的宽为 x 米20-x32-x(32-x)(20-x)=540整理，得x2-52x+100=0解得 x1=2,x2=50当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.取x=2答：道路的宽为2米.方法二： 在宽为在宽为20m, 长为长为32m的矩形的矩形地面上修筑同样宽的道路地面上修筑同样宽的道路,余下的部分余下的部分种上草坪种上草坪,要使草坪的面积为要使草坪的面积为540,求求这种方案下的
48、道路的宽为多少？这种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为解：设道路的宽为 x 米米(32-x)(20-x)=540可列方程为可列方程为2032xxx20-x 在宽为在宽为20m, 长为长为32m的矩形地面上修筑同的矩形地面上修筑同样宽的道路样宽的道路,余下的部分种上草坪余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为要使草坪的面积为540m2,求这种种方案下的道路的宽为多少？求这种种方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为解：设道路的宽为 x 米米(32-2x)(20-x)=540可列方程为可列方程为32-2x2032xxxx20322x2x32-2x20-2x 在宽为在宽为20m, 长为长为32m的
49、矩形地面上修筑同样宽的道的矩形地面上修筑同样宽的道路路,余下的部分种上草坪余下的部分种上草坪,要使要使草坪的面积为草坪的面积为540m2,求这种种求这种种方案下的道路的宽为多少？方案下的道路的宽为多少？解：设道路的宽为解：设道路的宽为 x 米米(32-2x)(20-2x)=540可列方程为可列方程为在宽为在宽为20m, 长为长为32m的矩形地面上修筑四条道路的矩形地面上修筑四条道路,余余下的部分种上草坪，下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为如果横、纵小路的宽度比为3：2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,求道路的宽求道路的宽为多少？为多少？小路所占
50、面积是矩形小路所占面积是矩形面积的四分之一面积的四分之一 剩余面积是矩形面剩余面积是矩形面积的四分之三积的四分之三解解:设横、竖小路的宽度分别为设横、竖小路的宽度分别为3x、 2x， 于是可列方程于是可列方程(30-4x)(20-6x)= 203020303x2x30-4x20-6x433x2x6x4x30-4x20-6x 我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.方法点拨视频：平移求面积动态展示解：设AB长是x m. (100-4x)x=400 x2-25x+100=0 x1=5，x
