1、1.1 探索勾股定理第一章 勾股定理导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学上（BS） 教学课件第1课时 认识勾股定理情境引入1.了解勾股定理的内容，理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系（重点）2.能够运用勾股定理进行简单的计算（难点）学习目标导入新课导入新课 如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧.情境引入几何画板：勾股树动态演示.gsp双击图标（图中每一格代表 一平方厘米）（1）正方形P的面积是 平方厘米；（2）正方形Q的面积是 平方厘米；（3）正方形R的面积是 平方厘米.121SP+SQ=SRRQPACBAC2+BC2=AB2等腰直角三
2、角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？Sp=AC2 SQ=BC2 SR=AB2勾股定理的初步认识一讲授新课讲授新课上面三个正方形的面积之间有什么关系？做一做：观察正方形瓷砖铺成的地面.填一填：观察右边两幅图：完成下表（每个小正方形的面积为单位1）. A的面积B的面积C的面积左图右图4 ？怎样计算正方形C的面积呢？9 16 9 方法一：割方法二：补方法三：拼分割为四个直角三角形和一个小正方形.补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.分析表中数据，你发现了什么？ A的面积 B的面积C的面积左图4913右图169
3、25结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.几何画板：面积法验证勾股定理.gsp双击图标 分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立.做一做几何语言：在RtABC中 ，C=90，a2+b2=c2（勾股定理）.aABCbc总结归纳定理揭示了直角三角形三边之间的关系.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2勾股定理 求下列直角三角形中未知边的长:练一练8 8x171712125 5x解：由勾股定理可得：
4、 82+ x2=172 即:x2=172-82 x=15解:由勾股定理可得： 52+ 122= x2 即：x2=52+122 x=13 我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用砖铺成的地面（如下图所示）：ABC穿越毕达哥拉斯做客现场正方形A的面积正方形B的面积正方形C的面积+=一直角边2另一直角边2斜边2+=知识链接例1 已知ACB=90,CDAB,AC=3,BC=4.求CD的长.利用勾股定理进行计算二典例精析解：由勾股定理可得， AB2=AC2+BC2=25， 即 AB=5. 根据三角形面积公式， ACBC= ABCD. CD= .ADBC34212
5、1512方法总结 由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用例2 如图，已知AD是ABC的中线 求证：AB2AC22(AD2CD2)证明：如图，过点A作AEBC于点E.在RtACE、RtABE和RtADE中，AB2AE2BE2，AC2AE2CE2，AE2AD2ED2， AB2AC2(AE2BE2)(AE2CE2) 2AD2DB2DC22DE(DCDB)又AD是ABC的中线，BDCD，AB2AC22AD22DC22(AD2CD2)E方法总结 构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来一般地，涉及线段之间的平方
6、关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题解：当高AD在ABC内部时，如图.在RtABD中，由勾股定理，得BD2AB2AD2202122162，BD16；在RtACD中，由勾股定理，得CD2AC2AD215212281，CD9.BCBDCD25，ABC的周长为25201560.例3 在ABC中，AB20，AC15，AD为BC边上的高，且AD12，求ABC的周长 题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况如在本例题中，易只考虑高AD在ABC内的情形，忽视高AD在ABC外的情形当高AD在ABC外部时，如图.同理可得 BD16，CD9.BCBDCD7，ABC的周长为7201542.综上
7、所述，ABC的周长为42或60.方法总结解析：因为AEBE，所以SABE AEBE AE2.又因为AE2BE2AB2，所以2AE2AB2，所以SABE AB2 ；同理可得SAHCSBCF AC2 BC2.又因为AC2BC2AB2，所以阴影部分的面积为 AB2 .例4 如图，以RtABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边AB3，则图中ABE的面积为_，阴影部分的面积为_2121414941412129方法总结 求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系求下列图形中未知正方形的面积及未知边的长
8、度（口答）： ?225100已知直角三角形两边，求第三边.练一练当堂练习当堂练习1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .8 cm10 cm36 cm2. 求下列图中未知数x、y的值：解：由勾股定理可得： 81+ 144=x2 即:x2=225 x=15解：由勾股定理可得： y2+ 144=169 即:y2=25 y=53.在ABC中，C=90.（1）若a=6，b=8，则c= . （2）若c=13，b=12，则a= .4.若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三 边长的平方为（ ） A 25 B 14 C 7 D 7或25105D5.一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图
9、),这时梯脚与墙的距离是多少? ABC解：在RtABC中，根据勾股定理，得：BC2=AB2-AC2 =2.52-2.42=0.49，所以BC=0.7.答：梯脚与墙的距离是0.7米.6.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三角形的面积.解：设另一条直角边长是x cm. 由勾股定理得:152+ x2 =172，x2=172-152=289225=64，所以 x=8（负值舍去），所以另一直角边长为8 cm，直角三角形的面积是: (cm2).思维拓展S1S2S3S4S5S6S7S5=S1+S2=4，S7=S5+S6=10.已知S1=1，S2=3，S3=2，S4=4，求S5，S6，S7的值.
10、S6=S3+S4=6，认识勾股定理如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么a2+b2=c2 课堂小结课堂小结利用勾股定理进行计算1.1 探索勾股定理第一章 勾股定理导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 验证勾股定理八年级数学上（BS） 教学课件1.学会用几种方法验证勾股定理（重点）2.能够运用勾股定理解决简单问题（重点，难点）学习目标导入新课导入新课观察与思考 活动：请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形 有不同的拼法吗？讲授新课讲授新课勾股定理的验证一 据不完全统计，验证的方法有400多种，你有自己的方法吗？问题：上节课我们认识了勾股定理，你还记
11、得它的内容吗？那么如何验证勾股定理呢 ？几何画板：勾股定理的多种证明演示.gsp双击图标aaaabbbbcccc方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理 验证方法一：验证方法一：毕达哥拉斯证法大正方形的面积可以表示为 ;也可以表示为 .(a+b)2c2 +4 ab (a+b)2 = c2 + 4 ab a2+2ab+b2 = c2 +2ab a2+b2=c21212cabcab 验证方法二：赵爽弦图验证方法二：赵爽弦图bcabc大正方形的面积可以表示为 ;也可以表示为 . c2= 4 ab +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2
12、=a2+b2 a2+b2=c2c24 ab+(b- a)21212bcabcaABCD如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式,得化简,得2111()()2.222a b b aabc 222.abc 验证方法三：美国总统证法验证方法三：美国总统证法 abc青入青方青出青出青入青入朱入朱方朱出青朱出入图课外链接abcABCDEFO达芬奇对勾股定理的证明AaBCbDEFOABCDEF 如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE， 并交 DE 于 L，交 BC 于 M.通过证明BCFBDA，利用三角形面积与长方形面积的关系，得到正方形ABFG与矩形BDLM等积，同理正
13、方形ACKH与 矩形MLEC也等积，于是推得222ABACBC 欧几里得证明勾股定理推荐书目议一议ccbbaa观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.勾股定理的简单应用二例1：我方侦查员小王在距离东西向公路400m处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m,10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?公路公路BCA400m500m解:由勾股定理，得AB2=BC2+AC2，即 5002=BC2+4002，所以，BC=300.敌方汽车10s行驶了300m,那么它1h行驶的距离为300660=108000（
14、m）即它行驶的速度为108km/h.练一练1.湖的两端有A、两点，从与A方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为（ )ABCA.50米 B.120米 C.100米 D.130米130120?AABC2.如图,太阳能热水器的支架AB长为90 cm,与AB垂直的BC长为120 cm.太阳能真空管AC有多长?解：在RtABC中,由勾股定理, 得 AC2=AB2+BC2， AC2=902+1202， AC=150(cm).答:太阳能真空管AC长150 cm. 例2：如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA12km，BB14km，A
15、1B18km.现要在高速公路上A1、B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，求这个最短距离和解：作点B关于MN的对称点B，连接AB，交A1B1于P点，连BP.则APBPAPPBAB，易知P点即为到点A，B距离之和最短的点过点A作AEBB于点E，则AEA1B18km，BEAA1BB1246(km)由勾股定理，得BA2AE2BE28262，AB10(km)即APBPAB10km，故出口P到A，B两村庄的最短距离和是10km.变式：如图，在一条公路上有A、B两站相距25km，C、D为两个小镇，已知DAAB,CB AB, DA=15km,CB= 10km，现在要在公路边上建设一个加油
16、站E，使得它到两镇的距离相等，请问E站应建在距A站多远处?DAEBC151025-x,25)AExEBx 解解：设设长长为为 千千米米则则长长为为( (千千米米，由由题题意意得得：2222151025)xx （10 x 解解得得：10EA答答： 站站应应建建在在距距 站站千千米米处处. .当堂练习当堂练习1.在直角三角形中，满足条件的三边长可以是 (写出一组即可)【解析】答案不唯一，只要满足式子a2+b2=c2即可.答案：3，4，5（满足题意的均可） 2.如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽8m，高6m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，阳光透过的最大面积是_.200m23.如图
17、,一根旗杆在离地面9 m处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处.旗杆原来有多高?12 m12 m9 m9 m解：设旗杆顶部到折断处的距离为x m，根据勾股定理得222912x，解得x=15, 15+9=24(m).答：旗杆原来高24 m.4.如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB=3m，BC=4m，AD=13m，B=ACD=90小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？解：在RtABC中,由勾股定理, 得 AC2=AB2+BC2，AC=5m，在RtACD中,由勾股定理, 得 CD2
18、=AD2AC2，CD=12m，S草坪=SRtABC+SRtACD= ABBC+ ACDC = (34+512)=36 m2故需要的费用为36100=3600元2121215.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长. DABCEF解：在RtABF中,由勾股定理, 得 BF2=AF2AB2=10282BF=6(cm).CF=BCBF=4.设EC=x ，则EF=DE=8x ，在RtECF中,根据勾股定理,得 x2+ 42=(8x)2解得 x=3.所以EC的长为3 cm.探索勾股定理勾股定理的验证课堂小结课堂小结勾股定理的简单运用1.2
19、 一定是直角三角形吗第一章 勾股定理导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学上（BS） 教学课件情境引入学习目标1.了解直角三角形的判定条件（重点）2.能够运用勾股数解决简单实际问题 （难点）导入新课导入新课 问题：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗? 用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第9个结,拉紧绳子就得到一个直角三角形, 其直角在第1个结处.讲授新课讲授新课勾股定理的逆定理一 探究：下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17.回答下列问
20、题:1.这三组数都满足 a2+b2=c2吗？2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？0180150120906030实验结果： 5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形; 7,24,25满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形; 8,15,17满足a2+b2=c2 ,可以构成直角三角形.724255131217815思考：从上述问题中，能发现什么结论吗？ 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 有同学认为测量结果可能有误差,不同意 这个发现.你觉得这个发现正确吗?你能给 出一个更有说服力的理由吗?ABC A
21、BC ？ C是直角ABC是直角三角形ABCa b c 已知：如图，ABC的三边长a,b,c，满足a2+b2=c2 求证：ABC是直角三角形构造两直角边分别为a,b的RtABC证明结论简要说明：作一个直角MC1N，在C1M上截取C1B1=a=CB,在C1N上截取C1A1=b=CA,连接A1B1.在RtA1C1B1中，由勾股定理,得A1B12=a2+b2=AB2 . A1B1=AB ， ABC A1B1C1 . （SSS） C=C1=90， ABC是直角三角形.acbACBbaC1MNB1A1u勾股定理的逆定理归纳总结如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.
22、ACBabc 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角 ，最长边所对角为直角.u特别说明：典例精析例1：一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件中A和DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图2所示,这个零件符合要求吗?DABC4351312DABC图1图2在BCD中， 所以BCD 是直角三角形，DBC是直角.因此，这个零件符合要求.解：在ABD中， 所以ABD 是直角三角形，A是直角.例2 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？(1) a=15 ， b=8
23、 ，c=17; 解：因为152+82=289，172=289，所以152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且C是直角.(2) a=13 ， b=14 ， c=15; 解：因为132+142=365，152=225，所以132+142152，不符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形.(3) a:b: c=3:4:5;解：设a=3k,b=4k,c=5k,因为(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，C是直角. 根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三
24、角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.归纳变式1： 已知ABC，AB=n-1，BC=2n，AC=n+1(n为大于1的正整数).试问ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由解：AB+BC=(n-1)+(2n) =n4 -2n+1+4n =n4 +2n+1 =(n+1) =AC，ABC直角三角形，边AC所对的角是直角.先确定AB、BC、AC、的大小变式2： 若三角形ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断ABC的形状.解： a2+b2+c2+50=6a+8b+10c a26a+9+b28b+16+c210c+25=0
25、. 即 (a3)+ (b4)+ (c5)=0. a=3, b=4, c=5 即 a2+b2+c2. ABC直角三角形.例3 在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由 解：AFEF.设正方形的边长为4a, 则ECa，BE3a，CFDF2a.在RtABE中，得AE2AB2BE216a29a225a2.在RtCEF中，得EF2CE2CF2a24a25a2.在RtADF中，得AF2AD2DF216a24a220a2.在AEF中，AE2EF2AF2，AEF为直角三角形，且AE为斜边AFE90，即AFEF.14如果三角形的三边长a，b，c满足
26、a2+b2=c 那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数二概念学习常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股数拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数k，得到一组新数，这组数同样是勾股数.例4：下列各组数是勾股数的是( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132A 方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.当堂练习当堂练习1.如果线段a,b,c能组成直角三角形
27、,则它们的比可以是 ( ) A.3:4:7 B.5:12:13 C.1:2:4 D.1:3:52. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( )A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形BA4.如果三条线段a，b，c满足a2=c2-b2,这三条线段组成的三角形是直角三角形吗?为什么?解：是直角三角形.因为a2+b2=c2满足勾股定理的逆定理.3.以ABC的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面积是25, 144 , 169, 则这个三角形是_三角形.直角5.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1， 图中有几个直角三角形，你
28、是如何判断的？ 与你的同伴交流.412243解:ABE，DEF，FCB均为直角三角形. 由勾股定理知 BE2=22+42=20， EF2=22+12=5， BF2=32+42=25, BE2+EF2=BF2, BEF是直角三角形.6.如图，四边形ABCD中，ABAD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.解：连接BD.在RtABD中,由勾股定理, 得 BD2=AB2+AD2，BD=5m，又 CD=12cm，BC=13cm BC2=CD2+BD2，BDC是直角三角形.S四边形ABCD=SRtBCDSRtABD= BDCD ABAD = (512
29、34)=24 m2212121CBAD变式：如图，在四边形ABCD中，ACDC，ADC的面积为30 cm2，DC12 cm，AB3 cm，BC4 cm，求ABC的面积. 解: SACD=30 cm2，DC12 cm. AC=5 cm,又ABC是直角三角形, B是直角.DCBA一定是直角三角形吗勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.课堂小结课堂小结勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数1.3 勾股定理的应用第一章 勾股定理导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学上（BS） 教学课件情境引入学习目标1.学会运用勾股定理求立体图形中两点之
30、间的最短距离（重点）2.能够运用勾股定理解决实际生活中的问题.(重点,难点) 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？CBAAC+CBAB（两点之间线段最短）导入新课导入新课情境引入思考：在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？情景引入数学来源于生活，勾股定理的应用在生活中无处不在，观看下面视频，你们能理解曾小贤和胡一菲的做法吗？导入新课导入新课讲授新课讲授新课立体图形中两点之间的最短距离一BA问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近
31、？BAdABAABBAO想一想：蚂蚁走哪一条路线最近？A 蚂蚁AB的路线 若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，取3，则: BA3O12侧面展开图123AB15)33(12222ABAB【方法归纳】立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.AA例1 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米?(已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，取3）ABABAB解：油罐的展开图如图，则AB为梯子的最短距离. AA=232=12, AB=5,AB=13. 即梯子最短需13米.典例精析数
32、学思想：立体图形平面图形转化展开变式1：当小蚂蚁爬到距离上底3cm的点E时，小明同学拿饮料瓶的手一抖，那滴甜甜的饮料就顺着瓶子外壁滑到了距离下底3cm的点F处，小蚂蚁到达点F处的最短路程是多少？（取3）EFEFEFEF解：如图，可知ECF为直角三角形，由勾股定理,得 EF2=EC2+CF2=82+(12-3-3)2=100，EF=10(cm). B牛奶盒牛奶盒A变式2：看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲儿，小明又灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？6cm8cm10cmBB18AB2610B3AB12 =102 +（6+8
33、）2 =296AB22= 82 +（10+6）2 =320AB32= 62 +（10+8）2 =360勾股定理的实际应用二问题：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.（1）你能替他想办法完成任务吗？解解: :连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可.AB2+BC2=AC2ABC为直角三角形（2）量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，得DAB=90，AD边垂直于AB边.（3）若随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，能有办法检验AD边是
34、否垂直于AB边吗？解:在AD上取点M,使AM=9,在AB上取点N使AN=12,测量MN是否是15，是，就是垂直；不是，就是不垂直.例2 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长.故滑道AC的长度为5 m.解：设滑道AC的长度为x m，则AB的长也为x m，AE的长度为（x-1）m.在RtACE中，AEC=90，由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即（x-1）2+32=x2，解得x=5.数学思想：实际问题数学问题转化建模例3 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?2m1m
35、ABDC典例精析解：在RtABC中，根据勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5 52.24.AC 因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过. 分析：可以看出木板横着，竖着都不能通过，只能斜着.门框AC的长度是斜着能通过的最大长度，只要AC的长大于木板的宽就能通过.ABDCO 解：在RtABC中，根据勾股定理得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1， OB=1.在RtCOD中，根据勾股定理得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,3.151.77,OD1.7710.77.BDODOB 梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5
36、m，而是外移约0.77m. 例4 如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m. 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?例5 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？ 8 米6米 8 米米6米米ACB解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图.在RtABC中，AC=6米，BC=8米，由勾股定理得22226810.ABACBC米这棵树在折断之前的高度是10+6=16（米）.利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；（2）构
37、造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解决实际问题.归纳总结数学问题直角三角形勾股定理实际问题转化构建利用解决例6 如图，在一次夏令营中，小明从营地A出发，沿北偏东53方向走了400m到达点B，然后再沿北偏西37方向走了300m到达目的地C.求A、C两点之间的距离解：如图，过点B作BEAD.DABABE53.37CBAABE180，CBA90，AC2BC2AB2300240025002，AC500m，即A、C两点间的距离为500m.E方法总结 此类问题解题的关键是将实际问题转化为数学问题；在数学模型(直角三角形)中，应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题当堂练习当堂练习1如图是一张直角三
38、角形的纸片，两直角边AC6 cm，BC8 cm，将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ） A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cmABCDEB2有一个高为1.5 m，半径是1 m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒有多长？解:设伸入油桶中的长度为x m,则最长时:最短时, x=1.5所以最长是2.5+0.5=3(m).答:这根铁棒的长应在23 m之间.所以最短是1.5+0.5=2(m).2221.52x 解得：x=2.5梯子的顶端沿墙下滑4 m,梯子底端外移8 m.解：在RtAOB中，,24
39、2522222AOABOB. 7OB在RtCOD中，3.一个25m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为24m,如果梯子的顶端A沿墙下滑4m,那么梯子底端B也外移4m吗?,202522222COCDOD.15OD. 8OBODBD4.我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？D DA AB BC C解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长AD=AB=（x+1）尺，在直
40、角三角形ABC中，BC=5尺由勾股定理得，BC2+AC2=AB2即 52+ x2= (x+1)225+ x2= x2+2x+1，2 x=24， x=12， x+1=13.答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.5. 为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？解：如图，在RtABC中，因为AC36cm，BC108427(cm)由勾股定理，得AB2AC2BC23622722025452，所以AB45cm，所以整个油纸的长为454180(cm)勾股定理的应用立体图形中两点之间的最短距离课堂小结课堂小结勾股定理的实际应用
