1、2.1 二次函数第二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学下（BS） 教学课件学习目标1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点）2.会利用二次函数的概念解决问题.3.会列二次函数表达式解决实际问题.（难点）导入新课导入新课情景引入里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象？你能猜出下面表情包是谁吗？你们是根据哪些特征猜出的呢？下面来看傅园慧在里约奥运会赛后的采访视频，注意前方高能表情包.通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特征是什么呢？ “数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”-中科院数学与系统科学研究院 李邦河问题1 我们以前学过的函
2、数的概念是什么？如果变量y随着x而变化，并且对于x取的每一个值，y总有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数.函 数一次函数反比例函数y=kx+b (k0)(正比例函数) y=kx (k0)问题2 我们学过哪些函数？0kxky思考 一个边长为x的正方形的面积y为多少？y是x的函数吗？是我们学过的函数吗？y=x2，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.这个函数不是我们学过的函数.思考：这种函数叫什么？这节课我们一起来学习吧.问题1：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减
3、少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ 讲授新课讲授新课二次函数的定义一合作探究(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3)如果要使得果园橙子的总产量为60320个,那么应该增种多少棵橙子树？(4)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子 y=(100+x)(600-5x) =-5x+100 x+60000. (100+x)(600-5x)=60320 解得，124,16xx对于x的每一个值
4、，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.问题2 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 . y=6x2 此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.问题3 某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.你能列出矩形水面的面积关于矩形水面的边长的关系式吗？ 设围成的矩形水面的一边长为x m,那么，矩形水面的另一边长应为（20-x）m.若它的面积是S m2，则有20Sxx220Sxx 此式表示了边长x与围网的面积S之间的关系，对于x的每一个值，S都有唯一的一个对应
5、值，即S是x的函数.前面求出的三个函数有什么共同点?函数都是用自变量的二次整式表示的 y=6x2 y=-5x+100 x+60000.220Sxx 二次函数的定义： 一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0)的形式，则称y是x的二次函数.归纳总结a为二次项系数，ax2叫做二次项；b为一次项系数，bx叫做一次项；c为常数项.温馨提示：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；（2）a,b,c为常数，且a 0;（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项； 例1 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？（2）
6、 m取什么值时，此函数是二次函数？解：（1）由题可知解得=2 2;m （2）由题可知解得 m=3. 第（2）问易忽略二次项系数a0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.273.mymx271,30,mm272,30,mm典例精析注意1.下列函数中,哪些是二次函数?2222) 1()4()1 ()3(1)2() 1 (xxyxxyxyxy先化简后判断练一练是不是是不是2.把下列函数化成一元二次函数的一般式.(1)y=(x-2)(x-3);(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2;(3)y=-2(x+3)2.解：(1)y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6;(
7、2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2=-x2+4x-6;(3)y=-2(x+3)2=-2x2-12x-18.问题4：上述问题中的三个函数的自变量的取值范围是什么？ y=(100+x)(600-5x)=-5x+100 x+60000. y=6x2 20Sxx2=20 xx600-5x0，x0，0 x0.20-x0，0 x20.二 二次函数的自变量取值范围归纳总结 二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制.列二次函数关系式三例3一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x+1)cm的小长方形剩余部分的面积为ycm2.写出y与
8、x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？解：由题意得y1222x(x+1)， 又x+12x12，1x6， 即y2x22x144(1x6)， y是x的二次函数.分析：本题中的数量关系是： 剩余面积=正方形面积-长方形面积.当堂练习当堂练习2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )A . m,n是常数,且m0 B . m,n是常数,且n0C. m,n是常数,且mn D . m,n为任何实数C1.把y=(2-3x)(6+x)变成y=ax+bx+c的形式，二次项为 _,一次项系数为_，常数项为 .3下列函数是二次函数的是 ( )Ay2x1 BCy3x21 D2yx211yx
9、C-3x2-16124. 已知函已知函数数 y=3x2m-15 当当m=时，时，y是关于是关于x的一次函数；的一次函数； 当当m=时，时，y是关于是关于x的二次函数的二次函数 .1325.（1） n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？21122mnn（2）假设人民币一年定期储蓄的年利率是设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期一年到期后后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果如果存款是存款是10（万元）（万元）,那么请你写出两年后的本息和那么请你写出两年后的本息和y(万万元元)的表达式的表达式(不考虑利息
10、税不考虑利息税).y=10(x+1)=10 x+20 x+10.6.矩形的周长为16cm,它的一边长为x cm,面积为y cm2.求（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；（2）当x=3时矩形的面积.解：(1)y(8x)xx28x (0 x8)；(2)当x3时，y328315 (cm2 ).课堂小结课堂小结二次函数定 义y=ax2+bx+c(a 0，a,b,c是常数)一般形式右边是整式；自变量的指数是2；二次项系数a 0.特殊形式y=ax2；y=ax2+bx；y=ax2+c(a 0，a,b,c是常数).第二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学下（BS） 教学课件2.
11、2 二次函数的图象与性质第1课时 二次函数y=x2和y=x2的图象与性质学习目标1知道二次函数的图象是一条抛物线.2会画二次函数y=x2与y=-x2的图象.（难点）3掌握二次函数y=x2与y=-x2的性质，并会灵活应用.（重点）1、一次函数一次函数y=kx+b(k0) xyob0b=0 xyob0b=0导入新课导入新课复习引入你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？2、反比例函数、反比例函数 y(k0)kx0 xy6yx xy62.通常怎样画一个函数的图象？列表、描点、连线3.那么二次函数y=x2的图象是什么样的呢？你能动手画出它吗？讲授新课讲授新课二次函数y=x2和y=-x2的图象和性质一x-
12、3-2-10123y=x2 2你会用描点法画二次函数 y=x2 的图象吗?9410194合作探究1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：24-2-40369xy 函数图象画法函数图象画法列表描点连线2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 3. 连线：如图，再用光滑的曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象观察思考24-2-4O369xyx-3-2-10123y=x29410149 问题1 你能描述图象的形状吗？二次函数y=x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.当x0时，y随x的增大而增大.24-2-4O369xy问题2 图象与x轴
13、有交点吗？如果有，交点坐标是什么？有，(0,0).问题3 当x0时呢？问题4 当x取何值时，y的值最小？最小值是什么？x=0时，ymin=0.33o369xy对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点,它是图象的最低点，为(0,0).问题5 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？这条抛物线关于y轴对称, y轴就是它的对称轴. 练一练：画出函数y=x2的图象，并仿照y=x2的性质说出y=x2有哪些性质？y24-2-40-3-6-9xx-3-2-10123y=-x2-9 -4 -10-1 -4 -9 合作探究 抛物线关于y轴对称. 顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最高点.24-2-40-3-6
14、-9x 图象是一条开口向下的抛物线. 当x0时，y随x的增大而减小， 当x=0时，ymax=0.yx2yx2图象位置开口方向对称性顶点最值增减性开口向上,在x轴上方开口向下,在x轴下方关于y轴对称，对称轴方程是直线x0顶点坐标是原点（0，0）当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减要点归纳yOxyOx 例例1 若点A(-3,y1),B(-2,y2)是二次函数y=-x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是_.典例精析y2y1 例例1变式变式 若点A(-1,y1),B(2,y2)是二次函数y=-x2图象上的两点，那么y1与
15、y2的大小关系是_.y1y2例例2：已知：如图，直线y3x4与抛物线yx2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积解：由题意得 解得所以两函数的交点坐标为A(4，16)和B(1，1)直线y3x4与y轴相交于点C(0，4)，即CO4.SACO CO48，SBOC 412，SABOSACOSBOC10.234, yxyx4,1,16,1,xxyy 或1212当堂练习当堂练习 1.两条抛物线 与 在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（）A. 顶点坐标均为(0,0) B. 对称轴均为x=0 C开口都向上 D. 都有(0,0)处取最值C2yx2yx 2二次函数 y =
16、 -x2 的图象，在 y 轴的右边，y 随 x 的增大而_减小3若点 A(2,m)在抛物线 y=x2 上，则点A关于 y 轴对称点的坐标是 (-2，4)aS-1-2-3O1233216549874设正方形的边长为 a，面积为 S，试作出 S 随 a 的变化而变化的图象解：S = a2(a0)列表：a0 01 12 23 3S0149描点并连线S=a2 5.已知二次函数y=x2，若xm时，y最小值为0，求实数m的取值范围解：二次函数y=x2， 当x=0时，y有最小值，且y最小值=0， 当xm时，y最小值=0， m06.已知 是二次函数，且当x0时，y随x的增大而减小，则a=_.27(2)aya
17、x解析：由题意可知 解得a=3或a=-3. 又当x0时，y随x的增大而减小， a=3.220,72,aa225.yxyx 或37.已知点(3，y1)，(1，y2)，( ，y3)都在函数yx2的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是_解析：方法一：把x3， ，1，分别代入yx2中， 得y19，y21，y32，则y1y3y2；方法二：如图，作出函数yx2的图象，把各点依次在函数图象上标出由图象可知y1y3y2；22y1y3y2方法三：在对称轴的右边，y随x的增大而增大，而点(3，y1)关于y轴的对称点为(3，y1)又3 1，y1y3y2.2课堂小结课堂小结二 次 函 数y=x2和y=x2图象与性质
18、画法描点法以对称轴为中心 对 称 取 点图象抛物线轴对称图形性质重点关注4 个 方 面开口方向对 称 轴顶点坐标增 减 性2.2 二次函数的图象与性质第二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学下（BS） 教学课件第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质学习目标1.会画二次函数y=ax2和和y=ax2+c的图象.（难点）2.掌握二次函数y=ax2和和y=ax2+c的性质并会应用.（重点）3.比较函数y=ax2与y=ax2+c的联系.导入新课导入新课情境引入门禁反映了图形的平移，大家还记得平移的要点吗？羽毛球的运动轨迹可以用y=ax2的图象刻画,大家能回忆出二次函数
19、y=x2的性质吗？如果二次函数y=ax2的图象与平移碰撞在一起,会擦出怎样的火花呢？让我们拭目以待吧！二次函数y=ax2的图象与性质一讲授新课讲授新课合作探究画出函数 的图象.22yx列表.x1.51 0.500.511.54.520.504.520.5描点，连线. 2224644822yx2yx观察思考问题1 二次函数y=2x2的图象是什么形状？二次函数y=2x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.问题2 图象的对称轴是什么？y轴就是它的对称轴. 2224644822yx问题3 图象的顶点坐标是什么？原点 (0,0).问题4 当x取何值时，y的值最小？最小值是什么？x=0时，ymin=0
20、. 2224644822yx当x0时，y随x的增大而增大.问题5 当x0时呢？yax2a0a0图象位置开口方向对称性顶点最值增减性开口向上,在x轴上方开口向下,在x轴下方关于y轴对称，对称轴方程是直线x0当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减要点归纳yOxyOx顶点坐标是原点（0，0）3.函数y= x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ;顶点是抛物线的最_点.2.函数y=3x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是_ 顶点是抛物线的最_点1.函数y=4x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ; 向上 向下y轴y轴(0,0)
21、(0,0)4.函数y= 0.2x2的图象的开口 ,对称轴是_ _,顶点是 ; 3向上y轴(0,0)向下y轴(0,0)高低练一练5.关于二次函数y2x2，下列说法正确的是()A它的开口方向是向下 B当x0时，a的绝对值越大，开口越小.22yx2yx212yx合作探究问题 在同一直角坐标系中画出二次函数 的图象如图，观察其开口大小与a的绝对值有什么关系？221,2yxyx22yx22246448当a 0 时,向上平移c个单位长度得到.当c 0 时,向下平移-c个单位长度得到.二次函数y=ax2 与y=ax2+c（a 0）的图象的关系u上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减.要点归纳二次函数y3x
22、21的图象是将()A抛物线y3x2向左平移3个单位得到 B抛物线y3x2向左平移1个单位得到 C抛物线y3x2向上平移1个单位得到 D抛物线y3x2向上平移1个单位得到练一练D42224648102y = 2x21y = 2x21问题 抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ y =2 x2y =2 x21y = 2x21二次函数 开口方向顶点坐标对称轴向上向上(0,1)(0,-1)y轴y轴向上(0,0)y轴合作探究问题 抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的增减性又如何？ 42224648102y = 2x21y = 2x21当x=0时，y最小值=0当x0时，y
23、随x的增大而增大.二次函数 y=ax2+c的性质 y=ax2+ca0a0开口方向对称轴顶点坐标最值增减性要点归纳向上向下直线x=0直线x=0（0,c）当x=0时，y最小值=c当x=0时，y最大值=c当x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大.当x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大.（0,c）想一想 1.画抛物线y=ax2+c的图象有些方法？2.抛物线y=ax2+c 中的a决定什么？c决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移c 单位.第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.a决定开口
24、方向和大小；c决定顶点的纵坐标.对称轴为y轴；顶点坐标为(0,c).例3：如图，抛物线yx24与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且SP AB4，求P点的坐标解：抛物线yx24，令y0，得到x2或2，即A点的坐标为(2，0)，B点的坐标为(2，0)，AB4.SP AB4，设P点纵坐标为b， 4|b|4，|b|2，即b2或2.当b2时，x242，解得x ，此时P点坐标为( ，2)，( ，2)；当b2时，x242，解得x ，此时P点坐标为( ，2)，( ，2)12666222当堂练习当堂练习1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线 2.填表：y = 2x2函数开口方向顶点对称轴有最
25、高（低）点y = x2y = 3x21y = -4x25向上向上向下（0,0）(0,1)(0,-5)y轴y轴y轴有最低点有最低点有最高点3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n) _（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.4. 若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k_；若顶点位于x轴上方，则k_；若顶点位于x轴下方，则k .在=220=01(0,1)(-1,0),(1,0)开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.6.在平面直角坐标系xOy中，函数y=2x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若-4x1-2，0 x22，则y
26、1与y2的大小关系是_.y1y27.在同一直角坐标系中，一次函数yaxc和二次函数yax2c的图象大致为()方法总结：熟记一次函数ykxb在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键D8.已知 y =(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式m2+m解: 依题意有:m+10 m2+m=2 解得:m1=2, m2=1 由得:m1 m=1 此时,二次函数为: y=2x2.二次函数y=ax2+c（a0)的图象和性质图 象性 质与y=ax2的关系1.开口方向由a的符号决定；2.c决定顶点位置；3.对称轴是y轴.增减性结合开
27、口方向和对称轴才能确定.平移规律：c正向上；c负向下.课堂小结课堂小结2.2 二次函数的图象和性质第二章 二次函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学下（BS） 教学课件第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质情境引入学习目标1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象.（难点）2.掌握二次函数y=a(x-h)2的性质.(重点）3.比较函数y=ax2 与 y=a(x-h)2的联系.导入新课导入新课复习引入a,c的符号a0,c0a0,c0a0a0,c0图象开口方向对称轴顶点坐标函数的增减性最值向上向下y轴（直线x=0）y轴（直线x=0）（0,c）（0,c）当x0时，y随x增大而增大.当
28、x0时，y随x增大而减小.x=0时，y最小值=cx=0时，y最大值=c问题1 说说二次函数y=ax2+c(a0)的图象的特征. 问题2 二次函数 y=ax2+c（a0）与 y=ax2（a 0） 的图象有何关系？二次函数y=ax2+c（a 0）的图象可以由 y=ax2（a 0）的图象平移得到： 当c 0 时，向上平移c个单位长度得到. 当c 0).u左右平移规律： 括号内左加右减；括号外不变.y=a(x-h)2当向左平移 h 时y=a(x+h)2当向右平移 h 时y=ax2例2 抛物线yax2向右平移3个单位后经过点(1，4)，求a的值和平移后的函数关系式解：二次函数yax2的图象向右平移3个单
29、位后的二次函数关系式可表示为ya(x3)2，把x1，y4代入，得4a(13)2， ，平移后二次函数关系式为y (x3)2.141=4a方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”将二次函数y2x2的图象平移后，可得到二次函数y2(x1)2的图象，平移的方法是()A向上平移1个单位B向下平移1个单位 C向左平移1个单位D向右平移1个单位解析：抛物线y2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y2(x1)2的顶点坐标是(1，0)则由二次函数y2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y2(x1)2的图象故选C
30、.练一练C1.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 .2.二次函数y=2(x- )2图象的对称轴是直线_，顶点坐标是_.当堂练习当堂练习23 y=-(x+3)2或y=-(x-3)2 32x 3( ,0)2 3.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.抛物线开口方向对称轴顶点坐标向上直线x=3( 3, 0 )直线x=2直线x=1向下向上(2, 0 )( 1, 0)2314yx 223yx222yx4 .若（- ，y1）（）（- ，y2）（）（ ，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为_.4134541y1 y2
31、 y35.在同一坐标系中，画出函数y2x2与y2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系解：图象如图.函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的图象向右平移2个单位得到.yOx y = 2x2 2 平移规律：括号内：左加右减；括号外不变. 复习y=ax2+k探索y=a(x-h)2的图象及性质图象的画法图象的特征描点法平移法开口方向及增减性顶点坐标对称轴平移关系平移关系直线x=h（h,0）a0,开口向上a0，k0).y = ax2y = ax2 + k y = a(x - h )2y = a( x - h )2 + k上下平移左右平移上下平移左右平移u平移规律简记为：上下平移，括号
32、外上加下减；左右平移，括号内左加右减.二次项系数a不变.1.请回答抛物线y = 4(x3)27由抛物线y=4x2怎样平移得到?由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.2.如果一条抛物线的形状与 形状相同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式.2312xy21(4)23yx 练一练当堂练习当堂练习二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2+5向上( 1, 2 )向下向下( 3 , 7)( 2 , 6 )向上直线x=3直线x=1直线x=3直线x=2(3, 5 )y=3(x1)22y = 4(x3)27y=5(2x)261.完成下列表格:2.抛物线y=-3x2+2的图象向右平
33、移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为_2323yx 3.抛物线y=2x2不动，把x轴、y轴分别向上、向左平移3个单位，则在新坐标系下，此抛物线的解析式为_y=2（x-3）2-34.已知y (x3)22的部分图象如图所示，抛物线与x轴交点的一个坐标是(1，0)，则另一个交点的坐标是_解析：由抛物线的对称性知，对称轴为x3，一个交点坐标是(1，0)，则另一个交点坐标是(5，0)(5，0)125.对于抛物线y=- (x2）2+6，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线x=2；顶点坐标为（2，6）；当x2时，y随x的增大而减小其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个12D6.已知
34、点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=-（x-1）2+1的图象上，若-1x10，3x24，则y1_y2（填“”、“”或“=”）解析：抛物线y=-（x-1）2+1的对称轴为直线x=1，a=-10，抛物线开口向下，-1x10，3x24，y1y27.抛物线抛物线 与与x轴交于轴交于B,C两点，顶点为两点，顶点为A，则，则ABC的周长为（的周长为（ ）A. B. C.12 D.42 xy54454452B8.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y(xh)2k.所得抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，顶点为D
35、.(1)求h，k的值；解：(1)将抛物线yx2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y(x1)24，h1，k4；(2)判断ACD的形状，并说明理由(2)ACD为直角三角形理由如下：由(1)得y(x1)24.当y0时，(x1)240，x3或x1，A(3，0)，B(1，0)当x0时，y(x1)24(01)243，C点坐标为(0，3)顶点坐标为D(1，4)作出抛物线的对称轴x1交x轴于点E，过D作DFy轴于点F，如图所示在RtAED中，AD2224220；在RtAOC中，AC2323218；在RtCFD中，CD212122.AC2CD2AD2，ACD是直角三角形课堂小结课堂小结一般地，抛物
36、线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质图象特点当a0,开口向上；当a0a0开口方向顶点坐标对称轴增减性最值向上向下(h ,k)(h ,k)x=hx=h当xh时，y随着x的增大而增大. 当xh时，y随着x的增大而减小. x=h时,y最小最小=kx=h时,y最大最大=k抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴最值最值y=-2x2y=-2x2-5y=-2(x+2)2y=-2(x+2)2-4y=(x-4)2+3y=-x2+2xy=3x2+x-6(0,0)y轴0(0,-5)y
37、轴-5(-2,0)直线x=-20(-2,-4)直线x=-2-4(4,3)直线x=43?讲授新课讲授新课二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质一合作探究我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？216212yxx问题1 怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式？216212yxx216212yxx配方可得2221(126642)2xx21(1242)2xx2221(126 )6422xx21(6)62x21(6)3.2x 想一想：配方的方法及步骤是什么？配方216212xxy你知道是怎样配方的吗？ (1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配
38、成完全平方；(3)“化”：化成顶点式.提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.3)6(212xy问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？21(6)32yx答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.问题3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？21(6)32yx212yx答：平移方法1： 先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2： 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.问题4 如何用描点法画二次函数 的图象？216212yxx9 98 87 76 65 54 43 3x解: 先利用图形的对称性列表21(6)32yx7.553.533.5 57.5510 xy5
39、10然后描点画图，得到图象如右图.O问题5 结合二次函数 的图象，说出其增减性.216212yxx510 xy510 x=6当x6时，y随x的增大而增大.试一试 你能用上面的方法讨论二次函数y=2x2-8x+7的图象和性质吗？O2287yxx22(44) 87xx 22(4 )7xx22(2)1.x 因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1)，当x2时，y随x的增大而减小，当x2时，y随x的增大而增大.解：典例精析例例1：求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴、顶点坐标和增减性.y=ax+bx+c 2baxxca2222222bbbaxxcaaa22
40、424bacbaxaa因此，二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标是：对称轴是：直线24(,).24bacbaa.2bxa 例例2：求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴、顶点坐标.要点归纳二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质1.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即2224().24bacbyaxbxca xaa因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：对称轴是：直线24(,).24bacbaa.2bxa (1)xyO如果a0,当x 时，y随x的增大而增大；当x= 时，函数达到最小值，最小值为 .2bxa 2ba2ba2ba二
41、次函数y=ax2+bx+c的图象和性质244acba(2)2bxa xyO如果a0,当x 时，y随x的增大而减小;当x= 时，函数达到最大值，最大值为 .2ba2ba2ba244acba二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质例3 已知二次函数y=x22bxc，当x1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ） Ab1 Bb1 Cb1 Db1解析：二次项系数为10，抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x1时，y的值随x值的增大而减小，抛物线y=x22bxc的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=x22bxc的对称轴 ，即b1，故选择D .22 (
42、1)bxb D填一填顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴最值最值y=-x2+2xy=-2x2-1y=9x2+6x-5(1,1)x=1最大值1(0,-1)y轴最大值-1最小值-6( ,-6)13直线x=13二次函数的系数与图象的关系二合作探究问题1 一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：xyOy=k1x+b1xyOy=k2x+b2y=k3x+b3k1 _ 0b1 _ 0k2 _ 0b2 _ 0k3 _ 0b3 _ 0 xyO222bxa 112bxa 问题2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：2yaxbxca1 _ 0b1_ 0c1_ 0a2_ 0b2_
43、 0c2_ 0开口向上，a0对称轴在y轴左侧，对称轴在y轴右侧，1102bxa 2202bxa x=0时，y=c.xyO442bxa 332bxa a3_ 0b3_ 0c3_ 0a4_ 0b4_ 0c4_ 0开口向下，a0对称轴是y轴，对称轴在y轴右侧，33=02bxa 4402bxa x=0时，y=c.二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系字母符号图象的特征a0开口_a0开口_b=0对称轴为_轴a、b同号对称轴在y轴的_侧a、b异号对称轴在y轴的_侧c=0经过原点c0与y轴交于_半轴c0与y轴交于_半轴向上向下y左右正负要点归纳例4 已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，下
44、列结论：abc0；2ab0；4a2bc0；(ac)2b2. 其中正确的个数是 ()A1B2C3D4D由图象上横坐标为 x2的点在第三象限可得4a2bc0，故正确； 由图象上x1的点在第四象限得abc0，由图象上x1的点在第二象限得出 abc0，则(abc)(abc)0，即(ac)2b20，可得(ac)2b2，故正确【解析】由图象开口向下可得a0，由对称轴在y轴左侧可得b0，由图象与y轴交于正半轴可得 c0，则abc0，故正确；由对称轴x1可得2ab0，故正确；练一练二次函数 的图象如图，反比例函数 与正比例函数 在同一坐标系内的大致图象是（ ）2yaxbxcayxybx解析：由二次函数的图象得
45、知a0，b0.故反比例函数的图象在二、四象限，正比例函数的图象经过一、三象限.故选C.C1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：x-10123y51-1-11A.y轴 B.直线x= C. 直线x=2 D.直线x= 则该二次函数图象的对称轴为( )D当堂练习当堂练习52322.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和最值：22(1) 21213;(2) 580319;1(3) 22 ;2(4)1 2.yxxyxxyxxyxx直线x=33, 5直线x=88, 1直线x=1.2559, 48直线x= 0.519, 24最小值-5最大值1最小值 98最大值 94Oyx1
46、233.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，则下列结论：（1）a、b同号；（2）当x= 1和x=3时，函数值相等；（3） 4a+b=0；（4）当y=2时，x的值只能取0；其中正确的是 .直线x=1（2）4.把抛物线yx2bxc的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为yx23x5，则()Ab3，c7 Bb6，c3Cb9，c5 Db9，c21解析：yx23x5化为顶点式为y(x )2 .将y(x )2 向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，即为yx2bxc.则yx2bxc(x )2 ，化简后得yx23x7，即b3，c7.故选A.321143
47、211432194A5.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：b-2a=0；4a-2b+cy2.其中正确的是（ ）23A B C DxyO2x=-1B6.已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且x3-1x1x2，则y1，y2，y3的大小关系是（）Ay1y2y3By2y3y1Cy3y1y2Dy2y1y3D课堂小结课堂小结24(,)24bacbaa2bxa y=ax2+bx+c（a 0)(一般式一般式)(顶点式顶点式)224()24bacbya xaa
